1、 中考数学（山东专用）第三章 变量与函数3.4二次函数A组20162020年山东中考题组考点一二次函数的解析式1.(2019济宁,8,3分)将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线解析式是()A.y=(x-4)2-6B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2D.y=(x-4)2-2答案答案Dy=x2-6x+5=(x-3)2-4,所以抛物线的顶点坐标为(3,-4),把点(3,-4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,-2),所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x-4)2-2.2.(2020威海,15,3分)下表中y与
2、x的数据满足我们初中学过的某种函数关系,其函数表达式为.x-1013y0340答案答案y=-x2+2x+3解析解析根据表中x与y的数据可设函数表达式为y=ax2+bx+c(a0),将表中(1,4)、(-1,0)、(0,3)代入函数表达式,得解得函数表达式为y=-x2+2x+3.4,0,3,abcabcc1,2,3,abc 3.(2018泰安,17,3分)如图,在ABC中,AC=6,BC=10,tanC=,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过D作DEBC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CD=x,DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为.34答案答案S=-x2+x32532解析解
3、析在RtCDE中,tanC=,故可设DE=3a,CE=4a,则CD=5a=x,a=,DE=x,CE=x,BE=10-x.点F是BD的中点,DEF的面积为DEB的面积的一半,S=BEDE=x=-x2+x,即S=-x2+x.DECE345x3545451212124105x35123253232532考点二二次函数的图象和性质1.(2020滨州,11,3分)对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a0)如图所示,小明同学得出了以下结论:abc4ac,4a+2b+c0,3a+c0,a+bm(am+b)(m为任意实数),当x0,由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上可知c0,对
4、称轴为直线x=-=1,b=-2a0,错误;抛物线与x轴有两个交点,b2-4ac0,b24ac,正确;当x=2时,y=4a+2b+c0,又b=-2a,3a+c0,正确;当x=1时,y的值最小,此时y=a+b+c,又当x=m时,y=am2+bm+c,a+b+cam2+bm+c,故a+bam2+bm,即a+bm(am+b),正确;当x-1时,y随x的增大而减小,错误.故正确结论的个数为3.2ba2.(2018威海,9,3分)二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示,下列结论错误的是()A.abc0B.a+c4acD.2a+b0答案答案D由图象开口可知a0,b0,由抛物线与y轴的交点可知c0,abc0
5、,故A正确;由图象可知当x=-1时,y0,y=a-b+c0,a+c2,又a0,4ac-b24ac,故C正确;x=-1,a0,2a+b0,故D错误,故选D.2ba244acba2ba考点三二次函数与一元二次方程及不等式的联系1.(2016滨州,10,3分)抛物线y=2x2-2x+1与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.32答案答案C=b2-4ac=(-2)2-421=0,抛物线与x轴有一个交点,c=1,抛物线与y轴相交于点(0,1),抛物线与坐标轴有2个交点,故选C.2思路分析思路分析先根据判别式判断出抛物线与x轴的交点个数,再加上与y轴的一个交点,从而得出抛物线与坐标轴的交点个数.易错
6、警示易错警示抛物线与坐标轴的交点包括与x轴的交点和与y轴的交点两种情况,易错的地方是漏掉一种情况.拓展延伸拓展延伸判断函数图象与坐标轴是否有交点,其实就是看自变量和函数值能不能取0,自变量能取0,就与y轴有交点;函数值能取0,就与x轴有交点.例如,反比例函数y=中,x和y都不能取0,所以其图象与坐标轴无交点.但是函数y=中,当x=0时,y=6;当y=0时,x=6,所以这个函数的图象与坐标轴的交点是(0,6)和(6,0).6x61xx2.(2018莱芜,10,3分)函数y=ax2+2ax+m(a0)的图象过点(2,0),则使函数值y0成立的x的取值范围是()A.x2B.-4x2C.x2D.0 x
7、2答案答案A将(2,0)代入y=ax2+2ax+m(a0),得m=-8a,把m=-8a代入y=ax2+2ax+m(a0),得y=ax2+2ax-8a=a(x2+2x-8),令y=0,因为a0,所以x2+2x-8=0,解得x=2或-4.因为a0,即函数图象开口向下,所以使y0成立的x的取值范围是x2.3.(2019泰安,16,4分)若二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为.答案答案x1=2,x2=4解析解析二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,-=2,得b=-4,则x2+bx-5=2x-13可化为x2-4x-5=2x-13
8、,解得x1=2,x2=4.2b思路分析思路分析根据对称轴方程求得b,再解一元二次方程即可.4.(2019威海,23,10分)在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:x-10123y甲63236乙写错了常数项,列表如下:x-10123y乙-2-12714通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),当x时,y的值随x的值增大而增大;(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解析解析(1)由甲同学的错误可知c=3,根据乙同学提供
9、的数据,选择x=-1,y=-2,x=1,y=2,x=0,y=-1代入y=ax2+bx+c(a0),得解得y=x2+2x+3.(2)y=x2+2x+3图象的对称轴为直线x=-1,二次项系数为1,抛物线开口向上,当x-1时,y的值随x的值增大而增大,(3)方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,=4-4(3-k)0,解得k2.2,2,1,abcabcc 1,2,ab思路分析思路分析(1)由甲同学的错误,可知其中的c正确,由乙同学的错误,可知其中的a,b正确,由提供的数据用待定系数法求出a和b即可;(2)先求对称轴方程,再根据开口向上和增减
10、性求得答案;(3)x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,所以由判别式0即可求得答案.考点四二次函数的综合应用1.(2019临沂,14,3分)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:小球在空中经过的路程是40m;小球抛出3秒后,速度越来越快;小球抛出3秒时的速度为0m/s;小球的高度h=30m时,t=1.5s.其中正确的是()A.B.C.D.答案答案D由题图知小球在空中达到的最大高度是40m,故错误;小球抛出3秒后,速度越来越快,故正确;小球抛出3秒时到达最高点,速度为0m/s,故正确;设函数解析式为h=a(t-3)2
11、+40,a0,把O(0,0)代入得0=a(0-3)2+40,解得a=-,函数解析式为h=-(t-3)2+40,把h=30代入解析式得,30=-(t-3)2+40,解得t=4.5或t=1.5,小球的高度h=30m时,t=1.5s或4.5s,故错误.4094094092.(2020滨州,24,13分)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克.(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?(2)当月利润为8750元时,每千克水果售价为多少元?(3)当每千克水果售价为多少元时,
12、获得的月利润最大?解析解析(1)当售价为55元/千克时,每月销售500-10(55-50)=450千克水果.(2)设每千克水果售价为x元,由题意可得8750=(x-40)500-10(x-50),解得x1=65,x2=75.答:每千克水果售价为65元或75元.(3)设每千克水果售价为m元时,获得的月利润为y元,由题意可得y=(m-40)500-10(m-50)=-10(m-70)2+9000,当m=70时,y取得最大值.答:当每千克水果售价为70元时,获得的月利润最大.思路分析思路分析(1)根据月销售量=500-(每千克的售价-50)10即可求解;(2)设每千克水果售价为x元,根据“月利润=每
13、千克水果的利润月销售量”可列方程,即可求解;(3)设每千克水果售价为m元时,获得的月利润为y元,根据“月利润=每千克的利润月销售量”可得y与m的关系式,根据二次函数的性质即可求解.3.(2020聊城,25,12分)如图,二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直线l在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点.(1)求二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式;(2)在动直线l移动的过程中,试求使四边形DEFP为平行四
14、边形的点P的坐标;(3)连接CP,CD,在动直线l移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的三角形与DCE相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.解析解析(1)将点A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4,得解得二次函数的表达式为y=-x2+3x+4,当x=0时,y=4,C(0,4).设BC所在直线的表达式为y=mx+n,将C(0,4),B(4,0)代入y=mx+n,得解得BC所在直线的表达式为y=-x+4.(2)DEx轴,PFx轴,DEPF,04,01644,abab1,3,ab 4,04,nmn1,4,mn 只要DE=PF,四边形DEFP即为
15、平行四边形.y=-x2+3x+4=-+,点D的坐标为.将x=代入y=-x+4,得y=-+4=,点E的坐标为,DE=-=.设点P的横坐标为t,t4,则点P的坐标为(t,-t2+3t+4),点F的坐标为(t,-t+4),232x2543 25,243232523 5,2 22545215432PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t.由DE=PF得-t2+4t=,解得t1=(不合题意,舍去),t2=.当t=时,-t2+3t+4=-+3+4=,点P的坐标为.(3)存在.由(2)得PFDE,CED=CFP,又PCF与DCE有共同的顶点C,且PCF在DCE的内部,PCFDCE,15432525
16、2252522145 21,2 4只有PCF=CDE时,PCFCDE,=.C(0,4),E,CE=.由(2)得DE=,PF=-t2+4t,F的坐标为(t,-t+4),CF=t,=,t0,(-t+4)=3,解得t=.PFCECFDE3 5,2 222354223 22154224(4)tt 2243 22tt2154t154165当t=时,-t2+3t+4=-+3+4=,点P的坐标为.1652165165842516 84,5 25思路分析思路分析(1)将点A,B的坐标代入二次函数的表达式即可,求出二次函数的表达式,进而得到点C(0,4),由待定系数法求出BC所在直线的表达式;(2)易得DEPF
17、,根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知,只要证明DE=PF,四边形DEFP即为平行四边形,由二次函数的表达式求出点D的坐标,由直线BC的表达式求出点E的坐标,则DE=,设点P的横坐标为t,则P的坐标为(t,-t2+3t+4),点F的坐标为(t,-t+4),由DE=PF即可得出答案;(3)由平行线的性质得出CED=CFP,且PCFDCE,故只有当PCF=CDE时,PCFCDE,则=,由此建立方程,解方程即可.154PFCECFDE4.(2019滨州,26,14分)如图1,抛物线y=-x2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,将直线AB绕点A逆时针旋转90,所得直线与x轴交于点
18、D.(1)求直线AD的函数解析式;(2)如图2,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点,当点P到直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最大距离;当点P到直线AD的距离为时,求sinPAD的值.18125 24解析解析(1)当x=0时,y=4,则点A的坐标为(0,4),当y=0时,0=-x2+x+4,解得x1=-4,x2=8,则点B的坐标为(-4,0),点C的坐标为(8,0),OA=OB=4,OBA=OAB=45,将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD,BAD=90,OAD=45,ODA=45,OA=OD,点D的坐标为(4,0),1812设直线AD的函数解析式为y=kx+b,k0,将A、D点的
19、坐标代入y=kx+b得解得直线AD的函数解析式为y=-x+4.(2)作PNx轴交直线AD于点N,如图1所示,设点P的坐标为,则点N的坐标为(t,-t+4),PN=-(-t+4)=-t2+t,作PHAD于点H,则PHN=90,PNx轴,4,40,bkb1,4,kb 211,482ttt211482tt1832PNy轴,OAD=PNH=45,PH=PN=-t2+t=-(t-6)2+,当t=6时,PH取得最大值,此时点P的坐标为,即当点P到直线AD的距离最大时,点P的坐标是,最大距离是.当点P到直线AD的距离为时,如图2所示,则-t2+t=,解得t1=2,t2=10,222221382tt2163
20、242169 249 2456,256,29 245 242163 245 24则P1的坐标为,P2的坐标为,当P1的坐标为时,P1A=,sinP1AD=;当P2的坐标为时,P2A=,sinP2AD=.综上可得sinPAD的值是或.92,2710,292,2229(20)421725 241725 3434710,2227(100)42 2525 242522105 3434210思路分析思路分析(1)根据抛物线y=-x2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,可以求得点A,B,C的坐标,再根据将直线AB绕点A逆时针旋转90,所得直线与x轴交于点D,求得点D的坐标,从而可以求得直线AD的函
21、数解析式;(2)根据题意,作出合适的辅助线,然后根据二次函数的性质即可求得点P到直线AD的距离最大值,进而可以得到点P的坐标;根据中关系式及题意,可以求得点P的坐标,从而可以求得sinPAD的值.18125.(2019聊城,25,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E.(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得PEA和AOC相似的点P的坐
22、标;(3)作PFBC,垂足为F,当直线l运动时,求RtPFD面积的最大值.解析解析(1)将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c得解得抛物线的表达式为y=-x2+2x+8.(2)A(-2,0),C(0,8),OA=2,OC=8,lx轴,PEA=AOC=90,PAECAO,只有当APE=CAO时,PEAAOC,此时=,即=,AE=4PE,420,1640,8,abcabcc1,2,8.abc AECOPEAO8AE2PE设点P的纵坐标为k,则PE=k,AE=4k,OE=4k-2,将点P的坐标(4k-2,k)代入y=-x2+2x+8,得k=-(4k-2)2+2(4k-2)+8,解得k=或0(舍
23、),点P的坐标为.(3)PFD=BOC=90,ly轴,PDF=BCO,RtPFDRtBOC,=,SPFD=SBOC,又SBOC=OBOC=48=16,BC=4,231615 23,4 16PFDBOCSS2PDBC2PDBC121222COBO5SPFD=SBCO=PD2,即当PD取得最大值时,SPFD最大,由B(4,0),C(0,8)易得直线BC的表达式为y=-2x+8,设点P(m,-m2+2m+8),则点D(m,-2m+8),则PD=-m2+2m+8+2m-8=-(m-2)2+4,当m=2时,PD取最大值,最大值为4,当PD=4时,SPDF=PD2=,即RtPFD面积的最大值为.2PDBC
24、1515165165思路分析思路分析(1)将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c即可求解;(2)只有当APE=CAO时,PEAAOC,可得AE=4PE,设P的纵坐标为k,则点P的坐标为(4k-2,k),即可求解;(3)利用RtPFDRtBOC得=PD2,再求出PD的最大值,即可求解.PFDBOCSS2PDBC15B组20162020年全国中考题组考点一二次函数的解析式1.(2020江西,6,3分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,连接AB,将RtOAB向右上方平移,得到RtOAB,且点O,A落在抛物线的对称轴上,点B落在抛物
25、线上,则直线AB的表达式为()A.y=xB.y=x+1C.y=x+D.y=x+212答案答案B令x=0,则y=-3,故A(0,-3).令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,故B(3,0),易得直线AB的表达式为y=x-3.将RtOAB向右上方平移得到RtOAB,且点O、A落在抛物线的对称轴x=1上,点B的横坐标为4,代入抛物线表达式可得B(4,5).ABAB,可设直线AB的表达式为y=x+b,将点B(4,5)代入可得b=1,直线AB的表达式为y=x+1,故选B.思路分析思路分析首先求出点A、B的坐标,然后由待定系数法求出直线AB的表达式.因为点O、B在x轴上,所以向右上方平
26、移后OBx轴,ABAB,又点O、A落在抛物线的对称轴x=1上,可推出点B的横坐标为4,从而可求点B的坐标,将点B的坐标代入所设的直线AB的表达式中即可得解.2.(2020湖南长沙,12,3分)“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小,但制作流程却比较复杂,其中在进行加工煎炸臭豆腐时,我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位:分钟)近似满足的函数关系为:p=at2+bt+c(a0,a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为()A.3.50分钟B.4.
27、05分钟C.3.75分钟D.4.25分钟答案答案C由题图可知函数图象经过点(3,0.8),(4,0.9),(5,0.6),则解得故p=-0.2t2+1.5t-1.9,其图象的对称轴为直线t=-=3.75,所以加工煎炸臭豆腐的最佳时间为3.75分钟.故选C.930.8,1640.9,2550.6,abcabcabc0.2,1.5,1.9,abc 2ba3.(2019广西百色,9,3分)抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到()A.先向左平移3个单位,再向下平移2个单位B.先向左平移6个单位,再向上平移7个单位C.先向上平移2个单位,再向左平移3个单位D.先向右平移3个单位,再向上
28、平移2个单位答案答案A将y=x2+6x+7配方得y=(x+3)2-2,将抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到抛物线y=(x+3)2-2,即y=x2+6x+7.故选A.思路分析思路分析将y=x2+6x+7配方成顶点式得到y=(x+3)2-2,根据“左加右减,上加下减”的平移变换规律,将抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位即可得到抛物线y=(x+3)2-2.4.(2017江苏盐城,6,3分)如图,将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m)、B(4、n)平移后的对应点分别为点A、B.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分
29、),则新图象的函数表达式是()A.y=(x-2)2-2B.y=(x-2)2+7C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+41212121212答案答案D连接AB、AB,则S阴影=S四边形ABBA.由平移可知,AA=BB,且AABB,所以四边形ABBA是平行四边形.分别延长AA、BB交x轴于点M、N.因为A(1,m)、B(4,n),所以MN=4-1=3.S平行四形ABBA=AAMN,即9=3AA,解得AA=3,即图象沿y轴向上平移了3个单位,所以新图象的函数表达式为y=(x-2)2+4.12方法规律方法规律本题不管曲线上下平移还是左右平移,其解决方法是一样的,都是把不规则的图形通过割补法转化
30、为规则的图形.考点二二次函数的图象和性质1.(2020内蒙古呼和浩特,7,3分)关于二次函数y=x2-6x+a+27,下列说法错误的是()A.若将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=-5B.当x=12时,y有最小值a-9C.x=2对应的函数值比最小值大7D.当a0时,图象与x轴有两个不同的交点14答案答案Cy=x2-6x+a+27=(x-12)2+a-9,将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后,所得图象对应的二次函数解析式为y=(x-10)2+a+1,当x=4,y=5时,5=(4-10)2+a+1,解得a=-5,故A中说法正确.当x=12时,ymin=a-
31、9,故B中说法正确.当x=2时,y=(2-12)2+a-9=a+16,a+16-(a-9)=25,故C中说法错误.=(-6)2-4(a+27)=36-a-27=9-a,当a0,图象与x轴有两个不同的交点,故D中说法正确.故选C.1414141414142.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是()A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)D.y的最小值为-9答案答案D图象的对称轴为直线x=-=-1,在y轴的左侧,故A错;当x=0时,y=-8,图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B
32、错;y=x2+2x-8=(x+4)(x-2),图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错;y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)20,(x+1)2-9-9,y的最小值为-9,故D正确.223.(2018湖南永州,9,4分)在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=(b0)与二次函数y=ax2+bx(a0)的图象大致是()bx答案答案DA.抛物线y=ax2+bx开口方向向上,则a0,对称轴位于y轴的右侧,则a、b异号,即b0,对称轴位于y轴的左侧,则a、b同号,即b0,所以反比例函数y=的图象位于第一、三象限,故本选项错误;C.抛物线y=ax2+bx开口方向向下,则a0,所以反
33、比例函数y=的图象位于第一、三象限,故本选项错误.D项正确.故选D.bxbxbx解题关键解题关键此题主要考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象,熟练掌握二次函数,反比例函数中系数与图象位置之间的关系是解决本题的关键.4.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称,则符合条件的m、n的值为()A.m=,n=-B.m=5,n=-6C.m=-1,n=6D.m=1,n=-257187答案答案D若两个抛物线关于y轴对称,则两个抛物线的对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y轴交于同一点,即-+=0,n=2m-4,解
34、得m=1,n=-2,故选D.212m 32mn解题关键解题关键本题考查了二次函数的图象与系数的关系,根据题意得出对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y轴交于同一点是解题关键.5.(2019广西梧州,12,3分)已知m0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是()A.x1-12x2B.-1x12x2C.-1x1x22D.x1-1x20,则在同一坐标系中画出y1与y2的大致图象,如图,从图象中观察得到,x1-120时,点越靠近对称轴的那个函数值越小;当a0,对称轴为直线x=-=-2.线段AB的长不大于4,4a+13,a,a2+a+1的最小值为+
35、1=.42aa1221212748.(2019广西贵港,18,3分)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a0,且b2-4ac0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象(如图所示),并写出下列五个结论:图象与坐标轴的交点为(-1,0),(3,0)和(0,3);图象具有对称性,对称轴是直线x=1;当-1x1或x3时,函数值y随x值的增大而增大;当x=-1或x=3时,函数的最小值是0;当x=1时,函数的最大值是4.其中正确结论的个数是.答案答案4解析解析对于“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|,令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=
36、3.该函数图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0),令x=0,则y=|-3|=3,该函数图象与y轴的交点为(0,3),故正确.y=|x2-2x-3|=因此,当x-1或x3时,函数y=x2-2x-3的图象关于直线x=1对称;当-1x3时,y=-x2+2x+3的图象关于直线x=1对称,故y=|x2-2x-3|的图象具有对称性,对称轴为直线x=1,因此正确.结合、的分析和图象可知,2223(31),23(13),xxxxxxx 或当-1x1或x3时,y随x的增大而增大,故正确.当x=-1或x=3时,y=0,为函数的最小值,正确.当x=1时,y=4,但不是函数的最大值,x3时,y随x的增大而增大,因
37、此函数无最大值,故错误.综上所述,正确的结论的个数是4.思路分析思路分析结合函数及其图象逐个分析判断:对于,分别令x=0和y=0,求出坐标即可判断;中,“鹊桥”函数本质为由两个二次函数构成的分段函数,由两个函数图象均关于直线x=1对称即可判断;均可由图象以及前面的分析判断.考点三二次函数与一元二次方程及不等式的联系1.(2019湖南岳阳,8,3分)对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x11x2,则c的取值范围是()A.c-3B.c-2C.cD.c114答案答案B由题意知两个相异的不动点x1、x
38、2是方程x2+2x+c=x的两个实数根,整理得x2+x+c=0,又x11x2,解得c-2.故选B.0,1 10.c 2.(2018湖北襄阳,9,3分)已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m5B.m2C.m214答案答案A根据题意,得=b2-4ac0,所以(-1)2-410,解得m5.114m3.(2020宁夏,10,3分)若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是.答案答案k-1解析解析若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则=4+4k0,解得k-1.4.(2018湖北黄冈,22,8分)已知直线l:y=kx+1
39、与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求OAB的面积.解析解析(1)证明:令x2-4x=kx+1,则x2-(4+k)x-1=0,因为=(4+k)2+40,所以直线l与该抛物线总有两个交点.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交点为C,则C点的坐标为(0,1),易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1,所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2,所以OAB的面积S=OC|x1-x2|=12=.21212225.(2019广西玉林,26,12分)已知二次函数:y=
40、ax2+(2a+1)x+2(a0).(1)求证:二次函数的图象与x轴有两个交点;(2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数时,求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象(不用列表,只要求用其与x轴的两个交点A,B(A在B的左侧),与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象,同时标出A,B,C,D的位置);(3)在(2)的条件下,二次函数的图象上是否存在一点P使PCA=75?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.解析解析(1)解法一:令y=0,得关于x的一元二次方程ax2+(2a+1)x+2=0(a0),=(2a+1)2-4a2=(2a-1)2
41、,a0,(2分)方程有两个不相等的实数根,故二次函数的图象与x轴有两个交点.(3分)解法二:令y=0,得关于x的一元二次方程ax2+(2a+1)x+2=0(a0),即(ax+1)(x+2)=0,得两根x1=-2,x2=-,(2分)1a2(21)(21)8(21)(12),22aaaaaxaa或1212,xxa 又a0,-2,即x1x2,方程有两个不相等的实数根,故二次函数的图象与x轴有两个交点.(3分)(2)令y=0,得关于x的一元二次方程ax2+(2a+1)x+2=0(a0),即(ax+1)(x+2)=0,得两根x1=-2,x2=-,(4分)-是整数,且a为负整数,a=-1,(5分)二次函数
42、的解析式是y=-x2-x+2.(6分)又y=-x2-x+2=-+,D,又A(-2,0),B(1,0),C(0,2).1a1a1a1a212x941 9,2 4画二次函数的大致图象如图.(7分)(3)由(2)知,OA=OC,OCA=45.(8分)当点P在AC的上方时,连接PC并延长与x轴交于点M,PCA=75,OCA=45,OCM=180-75-45=60,OM=OCtan60=2.设直线PC的解析式是y=kx+2,把(2,0)代入y=kx+2,得k=-.直线PC的解析式为y=-x+2.解方程组得或P1.(10分)当点P在AC的下方时,连接CP并延长与x轴交于点N,33333322,32,3yx
43、xyx 110,2xy2233,353,3xy 33 53,33PCA=75,OCA=45,OCN=75-45=30,ON=OCtan30=,N,设直线PC的解析式是y=kx+2,把代入y=kx+2,得k=-,直线PC的解析式为y=-x+2.解方程组得或P2(-1,-1).综上,存在满足题意的点P,其坐标为或(-1,-1).(12分)2 332 3,032 3,033322,32,yxxyx 330,2xy4431,31,xy3333 53,3333考点四二次函数的综合应用1.(2019江苏连云港,7,3分)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中C=120.若新建墙BC与CD总
44、长为12m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A.18m2B.18m2C.24m2D.m23345 32答案答案C如图,过点C作CEAB于E,则四边形ADCE为矩形,DCE=CEB=90,则BCE=BCD-DCE=30,设CD=AE=x(0 x12),则BC=12-x.在RtCBE中,BCE=30,BE=BC=6-x,AD=CE=BE=6-x,AB=AE+BE=x+6-x=x+6,梯形ABCD的面积S=(CD+AB)CE=-x2+3x+18=-(x-4)2+1212333212121212162xx36 32x3 38333 3824,当x=4时,面积S取最大值,即CD长为4m时,该梯形储
45、料场ABCD的面积最大,为24m2.故选C.332.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为()A.10mB.15mC.20mD.22.5m答案答案B由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对称性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为(20,54.0),而54
46、.057.9,所以最高点的横坐标大于10.故选B.3.(2020内蒙古呼和浩特,24,12分)已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品(生产条件要求0.1t1),且每小时可获得利润60元.(1)某人将每小时获得的利润设为y元,发现t=1时,y=180,所以得出结论:每小时获得的利润最少是180元.他是依据什么得出该结论的?用你所学数学知识帮他进行分析说明;(2)若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产,则1天(按8小时计算)可生产该产品多少千克?(3)要使生产680千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.531tt解析解析(1)依据一次函数和反比
47、例函数的性质得出结论.由已知得y=60,当t=1时,y=180,当0.10)上任意两点,其中x13,都有y1y2,求t的取值范围.解析解析(1)由抛物线的性质可知,只有当点M(x1,y1),N(x2,y2)关于抛物线的对称轴直线x=1对称时,才有y1=y2.x13,x1.故当t时,只需讨论x2t的情况.当x1t3,t,32323232x1+x22t.抛物线的对称轴为直线x=t,且x1t,t2t-x10,y1y2,符合题意.当tx10,y13,都有y1时,令x1=,x2=t,此时x1+x23,但y1y2,不符合题意.323232综上所述,t的取值范围是t.(6分)32思路分析思路分析本题第(2)
48、问需要考虑抛物线的对称轴与x1,x2的关系,因为a0,所以越靠近对称轴,函数值越小.解题关键解题关键解决本题的关键是借助x1+x23,x1,从而分t,t进行分类讨论.3232325.(2019湖南常德,25,10分)如图,已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4),与坐标轴交于B、C、D三点,且B点的坐标为(-1,0).(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧,过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点,当四边形MNHG为矩形时,求该矩形周长的最大值;(3)当矩形MNHG的周长最大时,能否在二次函数图象上找到一点P,使PNC的面积是矩形MN
49、HG面积的?若存在,求出该点的横坐标;若不存在,请说明理由.916解析解析(1)设二次函数表达式为y=a(x-1)2+4,将B点的坐标代入得0=4a+4,解得a=-1,故二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.(2)设点M的坐标为(x,-x2+2x+3),则点N的坐标为(2-x,-x2+2x+3),则MN=x-2+x=2x-2,GM=-x2+2x+3,矩形MNHG的周长C=2MN+2GM=2(2x-2)+2(-x2+2x+3)=-2x2+8x+2,-20,当x=-=2时,C取得最大值,最大值为10,故矩形周长的最大值为10.2ba(3)当矩形周长取得最大值时,x=2,即N(0,3),与D(0,
50、3)重合.PNC的面积是矩形MNHG面积的,SPNC=MNGM=23=.连接DC,在CD的上下方等距离处作CD的平行线m、n,过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G,即PH=GH,过点P作PKCD于点K,916916916278设直线CD的解析式为y=kx+b.将C(3,0)、D(0,3)代入并解得k=-1,b=3.直线CD的表达式为y=-x+3,OC=OD,COD=90,OCD=ODC=45=PHK,CD=3,设点P(x,-x2+2x+3),则点H(x,-x+3),2SPNC=PKCD=PHsin453,解得PH=,GH=.则PH=-x2+2x+3+x-3=,解得x=,故点P,直线n的
