1、 中考数学（安徽专用）第八章 热点题型探究8.4二次函数综合应用型题型一最大利润问题1.(2020安徽中考全真模拟一,22)在今年“母亲节”前夕,我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动,他们购进一批单价为20元的“文化衫”在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲.经试验发现,每件按24元的价格销售时,每天能卖出36件;每件按29元的价格销售时,每天能卖出21件.假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数.(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围);(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少时,才能使每天获得的利润P最大?并求
2、出这个最大利润.解析解析(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,根据题意,得解得y与x满足的函数关系式为y=-3x+108.(2)P=(x-20)(-3x+108)=-3x2+168x-2 160=-3(x-28)2+192,-30,当x=28时,P取得最大值,最大值为192.答:销售价格定为28元/件时,才能使每天获得的利润P最大,最大利润为192元.2436,2921,kbkb-3,108,kb2.(2020安徽九年级结束新课测试,22)小红大学毕业后选择自主创业,经营体育用品,其中一个专柜销售的一款篮球,其成本为每个50元,当售价为每个90元时,每月可销售100个,为了吸引顾客,该
3、专柜采取降价措施.据市场调查反应,销售单价每降价1元,则每月可多销售10个.设每个篮球的售价为x(x为正整数)元,每月的销售量为y个.(1)降价后每个篮球的利润是 .(用含x的式子表示)(2)直接写出y与x的函数关系式(不需要写自变量的取值范围).(3)设该款篮球每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大?最大利润是多少?解析解析(1)(x-50)元.(2分)(2)y=100+10(90-x)=1000-10 x.(5分)(3)W=(-10 x+1000)(x-50)=-10 x2+1 500 x-50 000=-10(x-75)2+6 250.(9分)-100,w有最大
4、值,当x=75时,w最大=6 250.(11分)此时降价90-75=15元.(12分)3.(2018安徽合肥、安庆大联考,20)“白马服饰城”某服装柜的某款裤子每条的成本价是50元,经市场调查发现,当销售单价是100元时,每天可以卖掉50条,每降低1元,可多卖5条.(1)要使每天的利润为4 000元,裤子的定价应该是多少元?(2)如何定价可以使每天的利润最大?最大利润是多少?解析解析(1)设裤子的定价为每条x元,依题意得(x-50)50+5(100-x)=4 000,解得x1=70,x2=90,均符合题意.答:裤子的定价应该是每条70元或90元.(2)设每天的利润为y元,裤子的定价为每条a元,
5、依题意得y=(a-50)50+5(100-a)=-5a2+800a-27 500=-5(a-80)2+4 500(50a100),-5q时,x+10-x+40,解得x20,10 x30,20 x30,当200,当x=20时,y取最大值,为(20+5)2-=200.答:销售价格定为20元/千克时,每天获得的利润最大,最大利润为200元.(12分)12122252121222525.(2020四川成都,26,8分)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为10元/件,拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现
6、,线下的月销量y(单位:件)与线下售价x(单位:元/件,12x24)满足一次函数的关系,部分数据如下表:x(元/件)1213141516y(件)1 2001 1001 000900800(1)求y与x的函数关系式;(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为400件.试问:当x为多少时,线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润.解析解析(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k0),将(12,1 200)和(13,1 100)代入y=kx+b,得解得y与x的函数关系式为y=-100 x+2 400.(2)设线上和线下月利润总和为w元,则w=y(x-10)+400(x
7、-2-10)=(-100 x+2 400)(x-10)+400 x-4 800=-100(x-19)2+7 300.12x24,当x=19时,wmax=7 300.答:当x为19时,线上和线下月利润总和最大,为7 300元.121 200,131 100,kbkb-100,2 400.kb(2018浙江衢州,23,10分)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在水池中心的装饰物处汇合,如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.题型二抛物线型(1)求水柱所在抛物线(第一
8、象限部分)的函数表达式;(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后水柱的最大高度.解析解析(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得25a+5=0,解得a=-,水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-(x-3)2+5(0 x8).(2)当y
9、=1.8时,即-(x-3)2+5=1.8,解得x1=-1(舍),x2=7,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.(3)当x=0时,y=-(x-3)2+5=.原抛物线与y轴的交点为.装饰物高度不变,新抛物线也过点.喷出水柱的形状不变,a=-.15151515165160,5160,515设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-x2+bx+.直径扩大到32米,新抛物线过点(16,0),将(16,0)代入解析式得0=-162+16b+,解得b=3,改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-x2+3x+=-+,扩建改造后喷水池水柱的最大高度为
10、米.15165151651516515215-2x28920289201.(2015安徽,22,12分)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度是x米,矩形区域ABCD的面积为y平方米.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;(2)x取何值时,y有最大值?最大值是多少?题型三二次函数与几何图形的结合型解析解析(1)设AE=a米,由题意,得AEAD=2BEBC,AD=BC,BE=a,AB=a.由题意,得2x+3a+2a=80,a=20-x.(4分)y=ABB
11、C=ax=x,即y=-x2+30 x(0 x40).(8分)(2)y=-x2+30 x=-(x-20)2+300,当x=20时,y有最大值,最大值是300.(12分)123212123232120-2x3434342.(2020安徽沿淮教育联盟联考,23)如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,连接BC,PB,PC,设PBC的面积为S,求S关于t的函数表达式,并求出当t为何值时,PBC的面积S有最大值;(3)如图2,设抛物线的对称轴为直线l,
12、l与x轴的交点为D,在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解析解析(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入y=-x2+bx+c,得解得抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.(2)过点P作PFy轴,交BC于点F.设直线BC的解析式为y=mx+n(m0),将B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,得-1-0,-930,bcbc2,3,bc30,3,mnn解得直线BC的解析式为y=-x+3.点P的坐标为(t,-t2+2t+3),点F的坐标为(t,-t+3),PF=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,S=PFOB=-t2+t
13、=-+.-0,m=-6.抛物线的函数表达式是y=x2-4x+4.(2)过点C作CEAB交y轴于点E,设直线AB交y轴于点H.由直线AB:y=x+2,得点H(0,2).设直线CE:y=x+b.y=x2-4x+4=(x-2)2,C(2,0),2+b=0,则b=-2.HE=4.22m 由SPAB=2SABC,可在y轴上且在点H上方取一点F,使FH=2HE,则F(0,10).过点F作P1P2AB交抛物线于点P1、P2.当点P与P1或P2重合时,SPAB=2SABC,设直线P1P2的函数表达式为y=x+k.F(0,10)在直线P1P2上,k=10.直线P1P2的函数表达式为y=x+10,联立解得综上,满
14、足条件的点P的坐标是(-1,9),(6,16).(3)过点M作MEx轴,交AB于点E,直线y=x+2与抛物线交于A,B两点,令x+2=x2-4x+4,得x2-5x+2=0,x=,|xB-xA|=,设点M(n,n2-4n+4),210,-44,yxyxx11-1,9,xy226,16.xy517217则Q(n,n+2),QM=n+2-(n2-4n+4)=-+,SMAB=,S MANB=2SMAB,当SMAB的值最大时,平行四边形MANB的面积最大,当n=时,平行四边形MANB的面积S最大,为,此时,点M.25-2n17412172517-24n5217 1745 1,2 45.(2020福建,2
15、5,14分)已知直线l1:y=-2x+10交y轴于点A,交x轴于点B,二次函数的图象过A,B两点,交x轴于另一点C,BC=4,且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),当x1x25时,总有y1y2.(1)求二次函数的表达式;(2)若直线l2:y=mx+n(n10),求证:当m=-2时,l2l1;(3)E为线段BC上不与端点重合的点,直线l3:y=-2x+q过点C且交直线AE于点F,求ABE与CEF面积之和的最小值.解析解析本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识,考
16、查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想.(1)对于l1:y=-2x+10,当x=0时,y=10,所以A(0,10);当y=0时,-2x+10=0,x=5,所以B(5,0).又因为BC=4,所以C(9,0)或C(1,0),若抛物线过C(9,0),则当5x3时,必有y随x的增大而增大,符合题意.故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+10(a0),依题意,二次函数的图象过B(5,0),C(1,0)两点,所以解得所以二次函数的表达式为y=2x2-12x+10.(2)证明:当m=-2时,直线l2:y=-2x+n(n10)与直线l1:y=-2x+10不重合,255100,100
17、,abab2,-12.ab假设l1和l2不平行,则l1和l2必相交,设交点为P(x0,y0),由得-2x0+10=-2x0+n,解得n=10,与已知n10矛盾,所以l1与l2不相交,所以l2l1.(3)如图,因为直线l3:y=-2x+q过C(1,0),所以q=2,又因为直线l1:y=-2x+10,所以l3l1,即CFAB,0000-210,-2yxyxn所以FCE=ABE,CFE=BAE,所以FCEABE,所以=,设BE=t(0t0),则HC=OC-OH=3-m,HB=3-m,在RtBOH中,OH2+OB2=BH2,m2+12=(3-m)2,解得m=,H.设直线BH的解析式为y=k2x+b2,
18、k20,解得直线BH的解析式为y=x-.令x-3=x-,解得x=-5,当x=-5时,y=-5-3=-8,P2(-5,-8).4340,-32220,4-,3kbb224,34-.3kb43434343综上所述,存在点P,使PBC=BCO,满足条件的点P的坐标为(1,-2),(-5,-8).(12分)M.(14分)提示:PAB=BCO,tanBCO=,A(-3,0),直线AP与y轴的交点为(0,1),直线AP的方程为y=x+1.由抛物线的解析式和直线AP的解析式可求得交点N的坐标为.连接AM,设AMN的外接圆圆心为Q(m,n),连接QA,QM,QN,过Q作EFx轴,交x轴于E,过M作MFEQ于点
19、F.由题意可知AQM=90,AQE QMF,QF=AE=m-(-3)=m+3,QE=-n=MF,点M的坐标为(m-(-n),n-(m+3),即(m+n,n-m-3).代入抛物线解析式中得n-m-3=(m+n)2+2(m+n)-3,又由AQ=NQ,得(m+3)2+n2=+,435-,-3913134 13,3 924-3m213-9n联立解得或(舍).点M的坐标为.2-,910-9mn14-,9269mn435-,-39思路分析思路分析本题第(2)问需要借助平行线的判定或构造等腰三角形来解决,同时由于点P位置不确定,要分类讨论.第(2)问需要借助45角在图中取特殊点从而构造90角,进而证明AQE QMF,则点M(m+n,n-m-3),借助点M在抛物线上和AQ=NQ列出方程组来解决.
