1、 中考数学（安徽专用）第八章 热点题型探究8.2观察归纳型题型一数式的规律探索题1.(2020安徽志诚教育十校联盟二模,18)观察下列等式,探究其中的规律:+-1=,+-=,+-=,+-=,.(1)按以上规律写出第个等式:;(2)猜想并写出第个等式:;(3)请证明猜想的正确性.111212131412112151613130171814156解析解析(1)+-=.(2)+-=.(3)证明:左边=,右边=,左边=右边,所以+-=.11511618124012-1n12n1n12(2-1)nn22-1-2(2-1)2(2-1)nnnnn12(2-1)nn12(2-1)nn12-1n12n1n12(
2、2-1)nn2.(2020安徽亳州利辛中学二模,18)观察下列等式:第1个等式:a1=第2个等式:a2=第3个等式:a3=请解答下列问题:(1)按以上规律列出第6个等式:a6=;(2)用含有m的代数式表示第m个等式:am=(m为正整数);(3)求a1+a2+a3+a2 019的值.11 31211-313 5121 1-3 515 7121 1-5 7解析解析(1);.(2)am=.(3)原式=.111 131211-11 131(2-1)(21)mm1211-2-1 21mm1211 111111-33 54 035 4 0374 037 4 0391211-4 0392 0194 0393
3、.(2019安徽合肥庐阳二模,18)观察下列不等式:;.根据上述规律,解决下列问题:(1)写出第5个不等式:;(2)写出你猜想的第n个不等式:(用含n的不等式表示);(3)利用上面的猜想,比较和的大小.21211 221312 321413 422(1)nn1n解析解析(1).(2分)(2).(5分)(3)解法一:=-,-.则+,即.(8分)解法二:=+=+=,.(8分)21615 621(1)n1(1)nn1(1)nn(1)-(1)nnnn1n11n21(1)n1n11n21(1)n11n1n22(1)nn1n22(1)nn21 1(1)nn 21(1)nn21(1)n11n21(1)n11
4、n1(1)n n 1(1)nn n1n22(1)nn1n题型二几何图形中的规律探索题 1.(2020重庆A卷,4,4分)把黑色三角形按如图所示的规律拼图案,其中第个图案中有1个黑色三角形,第个图案中有3个黑色三角形,第个图案中有6个黑色三角形,按此规律排列下去,则第个图案中黑色三角形的个数为()A.10 B.15 C.18 D.21答案答案 B根据规律可知,第个图案中有1个黑色三角形,第个图案中有1+2=3个黑色三角形,第个图案中有1+2+3=6个黑色三角形,第个图案中有1+2+3+4=10个黑色三角形,第个图案中有1+2+3+4+5=15个黑色三角形,故选B.2.(2020黑龙江齐齐哈尔,1
5、7,3分)如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A1(0,2)变换到点A2(6,0),得到等腰直角三角形;第二次滚动后点A2变换到点A3(6,0),得到等腰直角三角形;第三次滚动后点A3变换到点A4(10,4),得到等腰直角三角形;第四次滚动后点A4变换到点A5(10+12,0),得到等腰直角三角形;依此规律,则第2 020个等腰直角三角形的面积是 .22答案答案22 020 解析解析可令等腰直角三角形的直角边长为a1,等腰直角三角形的直角边长为a2,依此类推.由A1(0,2),A2(6,0),A3(6
6、,0),A4(10,4)推出a1=2,a2=(6-2)=2,a3=10-6=4,a4=4,解法一:由此可发现从a1=2开始,后一个等腰直角三角形的直角边长是前一个的倍,因此a2 020=2()2 019=()2 021,设第2 020个等腰直角三角形的面积为S2 020.S2 020=()2 0212=22 021=22 020.解法二:令第n个等腰直角三角形的面积为Sn,则S1=22=2,S2=(2)2=8=4=22,S3=42=16=8=23,222222221222 020a122121221a121222a122121223a1212S2 020=22 020.解题关键解题关键本题考查
7、等腰直角三角形的性质及面积表示,属于几何图形的规律探究类型问题,解决本题的关键在于根据A点经过滚动、变换后的坐标确定出对应的等腰直角三角形的直角边长,由特殊得出一般规律,从而根据等腰直角三角形的面积公式:S=a2(其中a为直角边长)求得面积.熟练掌握等腰直角三角形直角边长与斜边长之比为1,可以快速确定直角边长,事半功倍.1223.(2020安徽无为三模,19)下图中每个小正方形的边长均为1,观察图中正方形的面积与等式关系,完成后面的问题:(1)根据你发现的规律,在(nn)图的后面的横线上填上所对应的等式,并证明等式成立;(2)利用上述规律,求1+2+3+(n-1);(3)利用(2)的结论求10
8、+11+12+13+99的值.解析解析(1)n2-(n-1)2=1+2(n-1).(2分)证明:左边=n2-(n2-2n+1)=n2-n2+2n-1=2n-1,右边=1+2n-2=2n-1,左边=右边,等式成立.(4分)(2)把所有的等式相加得(22-12)+(32-22)+(42-32)+n2-(n-1)2=(1+21)+(1+22)+(1+23)+1+2(n-1),n2-1=n-1+21+2+3+(n-1),1+2+3+(n-1)=.(8分)(3)10+11+12+13+99=(1+2+3+99)-(1+2+3+9)=-=4 950-45=4 905.(10分)2-2n n2100-100
9、2210-1024.(2020安徽安庆二模,18)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的,请根据排列规律完成下列问题:(1)填写下表:图形序号菱形个数(个)37 (2)根据表中规律猜想,图中菱形的个数为 (用含n的式子表示);(3)是否存在一个图形恰好由111个菱形组成?若存在,求出图的序号;若不存在,请说明理由.解析解析(1)13;21.(2)图中菱形的个数为n2+n+1.(3)存在.n2+n+1=111,解得n1=10,n2=-11(舍去).故存在,图的序号为.5.(2018安徽名校大联考,16)如图,下列每个图案均由若干个边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成,探究规律,解答问题
10、.(1)请根据你的探究直接写出:第10个图案中共有 个小正方形,第n个图案中共有 个小正方形;(2)是否存在有37个小正方形的图案?若存在,请求出是第几个图案;若不存在,请说明理由.解析解析(1)56;+1.详解:观察发现:第1个图案有1+1=2个小正方形;第2个图案有1+2+1=4个小正方形;第3个图案有1+2+3+1=7个小正方形;第4个图案有1+2+3+4+1=11个小正方形;第10个图案有1+2+3+4+10+1=56个小正方形;第n个图案有1+2+3+4+n+1=+1个小正方形.(2)存在.理由如下:令+1=37,解得n=-9(舍去)或n=8,存在有37个小正方形的图案,是第8个图案
11、.(1)2n n 222nn或(1)2n n(1)2n n 6.(2018安徽合肥包河一模,19)如图,每个图形都可以看成由上下左右4个等腰梯形组成,而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成,且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半,设小正方形的面积为1,则第1个图形的面积为4=16,第2个图形的面积为4=30,第3个图形的面积为4=48,.12 142 15 152 19 162 根据上述规律,解答下列问题:(1)第4个图形的面积为4=,第5个图形的面积为4=;(2)第n个图形的面积为4 1+(用含n的式子填空);(3)上面的图形还可以看成是一个大正方形减去正中
12、间1个小正方形(阴影部分),则第1个图形的面积为(3)2-2,第2个图形的面积为(4)2-2,第3个图形的面积为(5)2-2,.根据这个规律,完成下列问题:第n个图形的面积为 -2(用含n的式子填空);比较两个猜想,写出你发现的结论并验证.112 112 12222解析解析(1)14;7;70;20;8;96.(2)2+3+4+(n+1);(n+3).(3)(n+2)2.4=(n+2)2-2.证明:右边=2n2+8n+6,左边=2(1+2+3+n)+(n+n-1+n-2+1)+2n+2(n+3)=2n(n+1)+2n+2(n+3)=2n2+8n+6,左边=右边,即4=(n+2)2-2.21(2
13、341)1(3)2nnn 21(2341)1(3)2nnn 21.(2020湖北武汉,10,3分)下列图中所有小正方形都是全等的.图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片,图(2)是一张由6个小正方形组成的32方格纸片.把“L”形纸片放置在图(2)中,使它恰好盖住其中的4个小正方形,共有如图(3)中的4种不同放置方法.图(4)是一张由36个小正方形组成的66方格纸片,将“L”形纸片放置在图(4)中,使它恰好盖住其中的4个小正方形,共有n种不同放置方法,则n的值是()题型三阅读理解类规律探索题A.160 B.128 C.80 D.48答案答案 A把4个小正方形组成的“L”形纸片放到32方格
14、纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形有4种放置方法,放到42方格纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形有24种放置方法,放到52方格纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形有34种放置方法,放到62方格纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形有(6-2)4种放置方法,而将62方格纸片放到66方格纸片上,使它恰好盖住其中的12个小正方形有5+5=10种放置方法,故把4个小正方形组成的“L”形纸片放到66方格纸片上,使它恰好盖住其中的4个小正方形有(6-2)410=160种放置方法,故选A.规律总结规律总结对于图形变化类的规律题,首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的;其次,通过分析
15、找到各部分的变化规律后直接利用规律求解,在探寻规律时要认真观察、仔细思考,同时要善用联想帮助解决这类问题.2.(2018山东青岛,23,10分)问题提出:用若干相同的一个单位长度的细直木棒,按照下图方式搭建一个长方体框架,探究所用木棒条数的规律.问题探究:我们先从简单的问题开始探究,从中找出解决问题的方法.探究一用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n的矩形框架(m、n是正整数),需要木棒的条数.如图,当m=1,n=1时,横放木棒为1(1+1)条,纵放木棒为(1+1)1条,共需4条;如图,当m=2,n=1时,横放木棒为2(1+1)条,纵放木棒为(2+1)1条,共需7条;如图,当m=2,n=2时,横放
16、木棒为2(2+1)条,纵放木棒为(2+1)2条,共需12条;如图,当m=3,n=1时,横放木棒为3(1+1)条,纵放木棒为(3+1)1条,共需10条;如图,当m=3,n=2时,横放木棒为3(2+1)条,纵放木棒为(3+1)2条,共需17条.问题(一):当m=4,n=2时,共需木棒 条.问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为 条,纵放的木棒为 条.探究二用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n,高是s的长方体框架(m、n、s是正整数),需要木棒的条数.如图,当m=3,n=2,s=1时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3+1)2(1+1)=34条,竖放木棒为(3+1)(2+1)1=
17、12条,共需46条;如图,当m=3,n=2,s=2时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3+1)2(2+1)=51条,竖放木棒为(3+1)(2+1)2=24条,共需75条;如图,当m=3,n=2,s=3时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3+1)2(3+1)=68条,竖放木棒为(3+1)(2+1)3=36条,共需104条.问题(三):当长方体框架的横长是m,纵长是n,高是s时,横放与纵放木棒条数之和为 条,竖放木棒条数为 条.实际应用:现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,则这个长方体框架的横长是 .拓展应用:若按照下图方式搭建一个底面边长是
18、10,高是5的正三棱柱框架,需要木棒 条.解析解析问题(一):当m=4,n=2时,共需木棒4(2+1)+(4+1)2=12+10=22条.问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为m(n+1)条,纵放的木棒为n(m+1)条.问题(三):由题图探索发现:横放与纵放木棒条数之和为m(n+1)+(m+1)n(s+1)条,竖放木棒条数为s(m+1)(n+1)条.实际应用:按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,设这个长方体框架的横长是x,根据规律可得2(x+1)+x(2+1)(4+1)+4(2+1)(x+1)=170,解得x=4,所以这个长方体框架的横长是4.拓展应用:若按照如题图方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,每层三角形从左到右的个数=1+2+3+4+5+10,有两个腰,腰的总个数=2(1+2+3+4+5+10),共有6层,则需要横放与纵放木棒条数之和=6(1+2)(1+2+3+4+5+10)=990条,竖放木棒条数=5(1+2+3+4+5+10+11)=330条,故总共需要木棒990+330=1 320条.
