1、思维导图思维导图锐角三角函数及其应用锐角三角函数直角三角形的边角关系锐角三角函数的定义特殊角的三角函数值仰角、俯角坡度（坡比）、坡角方向角图示锐角三角函数的实际应用三边关系三角关系边角关系课时课时21 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用【课标要求课标要求】探索并认识锐角三角函数（探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道），知道30，45，60角的三角的三角函数值；角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单
2、的实能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题；际问题；【对接教材对接教材】人教：九下人教：九下P60P85；华师：九上华师：九上P99P101、P105P124.课时课时21 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用图示图示 在在RtABC中中，C90，A为为ABC中的一个锐角中的一个锐角正弦正弦A的正弦：的正弦：sinA_余弦余弦A的余弦：的余弦：cosA_正切正切A的正切：的正切：tanA_锐角三角函数锐角三角函数acbcab 考点考点 1 1.锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义(以以A为例为例)课时课时21 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用304560s
3、in_cos_ _tan_13121232322.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值三角三角函数函数222233课时课时21 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用1.在在RtABC中，中，C90，AB4，BC3，则，则sinB的值为的值为()A.B.C.D.2.若锐角若锐角A满足满足cosA ，则，则A的度数是的度数是()A.30B.45C.60 D.757445347532AA课时课时21 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用三边三边关系关系a2_c2三角三角关系关系A_C边角边角关系关系sin A cos Bcos A _tan A_直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系acb
4、c1tanBb2 B sinBab 考点考点 2 课时课时21 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用3.在在RtABC中，中，C90，sinA ，AC6，则，则BC的长为的长为_，tanB_.45834课时课时21 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用仰角、仰角、俯角俯角 在视线与水平线所成的锐角中在视线与水平线所成的锐角中，视线在视线在水平线上方的角叫仰角水平线上方的角叫仰角，视线在水平线视线在水平线下方的角叫俯角下方的角叫俯角，如图，如图坡度坡度（坡比）、（坡比）、坡角坡角 坡坡面的铅直高度面的铅直高度h和水平宽度和水平宽度l的比叫坡的比叫坡度（坡比）度（坡比），用字母用字母i表示
5、；坡面与水平表示；坡面与水平线的夹角线的夹角叫坡角叫坡角.坡度等于坡角的正切坡度等于坡角的正切值值，即即itan ，如图如图锐角三角函数的实际应用锐角三角函数的实际应用hl 考点考点 3 课时课时21 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用方向角方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角目标方向线所成的角(一般指锐角一般指锐角)，通常表达成北，通常表达成北(南南)偏东偏东(西西)多少度，多少度，如图如图图示图示图课时课时21 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用4.某人沿着斜坡前进，
6、当他前进某人沿着斜坡前进，当他前进50米时上升的高度为米时上升的高度为25米，则斜坡的坡度米，则斜坡的坡度i()A.1 B.1 3C.1 D.1 25.四边形四边形ABCD如图放置，如图放置，AB、CD为水平线，为水平线，BCAB，如果，如果BCA67，从，从低处低处A看高处看高处C，那么点，那么点C在点在点A的的()32第5题图A.俯角俯角67方向方向 B.俯角俯角23方向方向C.仰角仰角67方向方向 D.仰角仰角23方向方向AD课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用典例典例“串串”考点考点解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用模型一背靠背型模型一背靠背型例例1(2020
7、东营东营)如图，如图，C处是一钻井平台，位于东营港口处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东的北偏东60方向上，方向上，与港口与港口A相距相距60海里，一艘摩托艇从海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至出发，自西向东航行至B时，改变航向以每时，改变航向以每小时小时50海里的速度沿海里的速度沿BC方向行进，此时方向行进，此时C位于位于B的北偏西的北偏西45方向，则从方向，则从B到达到达C需要多少小时？需要多少小时？例1题图课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用解：解：如解图，过点如解图，过点C作作CDAB于点于点D，由题意得，由题意得，AECD，BFCD.ACDCAE60，BCDC
8、BF45.在在RtACD中，中，AC60 ，CD AC30 ，在在RtCDB中，中，CD30 ，BC CD60，1.2，：从：从B到达到达C需要需要1.2小时小时1260502222例1题解图课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用模型模型模型分析模型分析背背靠靠背背型型基础模型基础模型通过在三角形内部作高通过在三角形内部作高CD，构造出两，构造出两个直角三角形求解，其中公共边个直角三角形求解，其中公共边CD是是解题的关键解题的关键模型演变模型演变ADCEBFAB基 本 模 型基 本 模 型课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用模型二母子型模型二母子型例例2(2020
9、南京南京)如图，在港口如图，在港口A处的正东方向有两个相距处的正东方向有两个相距6 km的观测点的观测点B、C.一一艘轮船从艘轮船从A处出发，沿北偏东处出发，沿北偏东26方向方向航行至航行至D处，在处，在B、C处分别测得处分别测得ABD45、C37.求轮船航行的距离求轮船航行的距离AD.(参考数据：参考数据：sin260.44.cos260.90，tan260.49，sin370.60，cos370.80，tan370.75.)例2题图课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用解解：如解图，过点：如解图，过点D作作DHAC于点于点H.在在RtDCH中，中，C37，tan37 ，CH
10、，在在RtDBH中，中，DBH45，tan45 ，BH ，BCCHBH，6.DH18.在在RtDAH中，中，ADH26，cos26 ，AD 20.轮船航行的距离轮船航行的距离AD约为约为20 km.DHCHtan37DH DHBHtan45DH tan37DH tan45DH DHADcos26DH 例2题解图课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用模型模型模型分析模型分析母母子子型型基础模型基础模型通过在三角形外部作高通过在三角形外部作高BC，构造出两，构造出两个直角三角形求解，其中公共边个直角三角形求解，其中公共边BC是是解题的关键解题的关键模型演变模型演变ADDCFG，BCA
11、FBG基 本 模 型基 本 模 型课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用模型模型模型分析模型分析母母子子型型模型演变模型演变作作BEAD，BFCD，构造，构造RtABE，RtBCF和矩形和矩形BEDF，根据已知条件求解根据已知条件求解课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用练真题练真题“明明”考法考法锐角三角函数锐角三角函数命题点命题点 1 1.(2020南充南充8题题4分分)如图，点如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则在正方形网格的格点上，则sinBAC()A.B.C.D.26262626131313第1题图B课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应
12、用2.如图，在如图，在RtABC中，中，B90，A30，DE垂直平分斜边垂直平分斜边AC，交，交AB于于D，E是垂足，连接是垂足，连接CD，若，若BD1，则，则AC的长是的长是()A.2 B.2 C.4 D.43.在在ABC中，中，B30，AB12，AC6，则，则BC_第2题图33A6 3课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用4.如图，在边长相同的小正方形网格中，点如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的都在这些小正方形的顶点上，顶点上，AB，CD相交于点相交于点P，则，则 的值的值_；tanAPD的值的值_APPB第4题图32课时课时21锐角三角函数
13、及其应用锐角三角函数及其应用5.(2019自贡自贡18题题4分分)如图，在由如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则如图所示，则cos()_第5题图217课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用6.(2019眉山眉山16题题3分分)如图，在如图，在RtABC中，中，B90，AB5，BC12，将，将ABC绕点绕点A逆时针旋转得到逆时针旋转得到ADE，使得点，使得点D落在落在AC上，则上，则tanECD的值为的值为_第6题图32课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用7.(2018自贡自贡22题题8分分)如图，在如
14、图，在ABC中，中，BC12，tanA ，B30，求，求AC和和AB的长的长34第7题图在在RtBCD中，中，B30，BC12，CDBCsin306，BDBCcos306 ，(4分分)在在RtADC中，中，tanA ，AD8，AC 10，(6分分)ABADBD86 .(8分分)34CDAD 3222268CDAD 3D解解：如解图，过点：如解图，过点C作作CDAB于点于点D，课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用命题点命题点 2类型一类型一解一个直角三角形解一个直角三角形8.如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东
15、55方向，距离灯塔方向，距离灯塔2海里的点海里的点A处如果处如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是长是()第8题图A.2海里海里 B.2sin55海里海里C.2cos55海里海里 D.2tan55海里海里C课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用类型二解两个直角三角形类型二解两个直角三角形9.如图，某市对位于笔直公路如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区上两个小区A、B的供水路线进行优化改造供的供水路线进行优化改造供水站水站M在笔直公路在笔直公路AD上，测得供水站上，测得供水站M在小区在小区A的南偏东的南偏东
16、60方向，在小区方向，在小区B的的西南方向，小区西南方向，小区A、B之间的距离为之间的距离为300(1)米求供水站米求供水站M分别到小区分别到小区A、B的距离的距离(结果可保留根号结果可保留根号)3第9题图背靠背背靠背课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用解：解：由题意可得由题意可得EAM60，FBM45，AB300(1)米，米，BAM906030，ABM45，(1分分)3如解图，过点如解图，过点M作作MGAB于点于点G，则，则GBMBMG45，即，即MGBG，设设MGBGx米，则米，则AGABBG300(1)x米，米，在在RtAGM中，中，AGM90，tanGAM ，即即 ，3
17、33MGAG 33300(31)xx 第9题解图课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用解得解得x300，经检验，经检验x300是原分式方程的解，且符合题意是原分式方程的解，且符合题意(3分分)AM2MG2x2300600，(5分分)在在RtBGM中，中，BM BG300 ，(7分分)供水站供水站M到小区到小区A、B的距离分别是的距离分别是600米、米、300 米米.(8分分)222第9题解图课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用10.(2020宜宾宜宾22题题12分分)如图，如图，AB和和CD两幢楼地面距离两幢楼地面距离BC为为30 米，楼米，楼AB高高30米，从楼
18、米，从楼AB的顶部点的顶部点A测得楼测得楼CD的顶部点的顶部点D的仰角为的仰角为45.(1)求求CAD的大小；的大小；3第10题图ABC为直角三角形，为直角三角形，AB30米，米，BC30 米，米，tanACB ，ACB30，AHDC，AHBC.HAC30.DAH45，CAD75；(6分分)333ABBC H解：解：如解图，过点如解图，过点A作作AHCD于点于点H，课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用(2)求楼求楼CD的高度的高度(结果保留根号结果保留根号)第10题图在矩形在矩形ABCH中，中，CHAB30米米DAH45，DHAHBC30 米米CDDHHC(30 30)米米(1
19、2分分)33课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用11.(2020自贡自贡16题题4分分)如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DCBA，BC长长6米，坡角米，坡角为为45，AD的坡角的坡角为为30，则，则AD长为长为_米米(结果保留根号结果保留根号)第11题图6 2课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用12.(2018内江内江20题题9分分)如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为的高为11米，米，灯杆灯杆AB与灯柱与灯柱AC的夹角的夹角A120，路灯采用锥形灯罩，在地面
20、上的照射区域，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为长为18米，从米，从D、E两处测得路灯两处测得路灯B的仰角分别为的仰角分别为和和，则，则tan6，tan ，求灯杆求灯杆AB的长度的长度34第12题图解：解：如解图，过点如解图，过点B作作BFDE，垂足为，垂足为F，过点过点A作作AHBF，垂足为垂足为H，FH由题意得由题意得AC11，DE18，设设DFx，则，则EF18x.课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用tan6，tan ，tan 6，tan ，6DF EF，即，即6x (18x)，解得解得x2，DF2，BF12，(5分分)AC11，BHBFFHBFAC12111，
21、又又BAC120，BAH30，34BFDFBFEF343434sinBAH ，AB 2.112BHABsinBHBAH 第12题解图课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用母子型母子型13.如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任意取一点如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任意取一点A，又在河的另一，又在河的另一岸边取两点岸边取两点B、C，测得，测得30，45，量得，量得BC长为长为100米求河的宽米求河的宽度度(结果保留根号结果保留根号)第13题图课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用解：解：如解图，过点如解图，过点A作作ADBC交交BC的延长线于点的延长
22、线于点D，在在RtACD中，中，45，ADCD.在在RtABD中，中，tan ，(4分分)又又BC100米，米，tan30 ，解得解得AD(50 50)米米答：河的宽度为答：河的宽度为(50 50)米米(8分分)ADADADBDBCCDBCAD 100ADAD 33第13题解图课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用14.如图，为了测得某建筑物的高度如图，为了测得某建筑物的高度AB，在，在C处用高为处用高为1米的测角仪米的测角仪CF，测得该，测得该建筑物顶端建筑物顶端A的仰角为的仰角为45，再向建筑物方向前进，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端米，又测得该建筑物顶端A的仰角为的仰角为60.求该建筑物的高度求该建筑物的高度AB.(结果保留根号结果保留根号)第14题图课时课时21锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用解：解：设设EMx m，在在RtAEM中，中，AEM60，AMtan60EM x.又又AFM45，EFCD40，AMFM40 x.xx40，解得解得x20 20，ABAMBM x1 (20 20)16120 .答：该建筑物的高度答：该建筑物的高度AB为为(6120 )米米33333333第14题图
