1、第20课时直角三角形与勾股定理课标要求1.了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.2.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.3.通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义.4.结合具体实例,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立.5.知道证明的意义和证明的必要性,知道证明要合乎逻辑,知道证明的过程可以有不同的表达形式,会综合法证明的格式.6.了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是
2、错误的.7.通过实例体会反证法的含义.一、直角三角形知 识 梳 理定义有一个角是的三角形叫做直角三角形 性质直角互余斜边的一半斜边的一半a2+b2=c2（续表）判定90互余（续表）面积拓展二、命题、定理与反证法命题定义判断一件事情的语句,叫做命题分类题设成立时,结论一定成立的命题叫做 题设成立时,结论不一定成立的命题叫做 组成命题都是由 和 两部分组成的 互逆命题一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做 ,那么另一个叫做它的 真命题假命题题设结论原命题逆命题（续表）基本事实 公认的真命题称为基本事实定理有些命题,它们的正确性是经过推理证实
3、的,这样得到的真命题叫做.在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断,这个推理过程叫做 反证法定义:不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法证明步骤:假设命题的结论不正确从假设的结论出发推出矛盾否定假设,肯定原命题的结论正确定理证明三、勾股定理的探索过程赵爽弦图对 点 演 练题组一必会题1.在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为()A.5B.6C.7D.8A图20-1B答案 B解析 152+82=289,172=289,152+82=172,15,17,8能组成直角三角形,故选B
4、.答案 5解析图20-2答案 1.6解析图20-3题组二易错题【失分点】忽视直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要条件;运用勾股定理确定边长时忽视分类讨论造成漏解.答案 C解析图20-4答案 90或130解析答案 1或9解析考向一直角三角形的性质例12020岳阳如图20-5,在RtABC中,CD是斜边AB上的中线,A=20,则BCD=.图20-570例2如图20-6所示,AD,BE分别为ABC的边BC,AC上的高,G是AB的中点,GFDE,求证:DF=FE.图20-6 考向精练1.2020宁夏如图20-7摆放的一副学生用直角三角板,F=30,C=45,AB与DE相交于点G,当EFBC时,
5、EGB的度数是()A.135B.120C.115D.1052.2020淮安已知直角三角形斜边长为16,则这个直角三角形斜边上的中线长为.图20-7D83.2020通辽如图20-8,在ABC中,ACB=90,AC=BC,点P在斜边AB上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,PCQ=90,则PA2,PB2,PC2三者之间的数量关系是.图20-8答案 PA2+PB2=2PC2解析图20-9答案 解析5.2020安顺如图20-10,在44的正方形网格中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.(1)在图中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;(2)在图中,画一个直角三角形,
6、使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数;(3)在图中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.图20-10(1)在图中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;解:(答案不唯一)(1)如图所示.(2)在图中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数;(2)如图所示.(3)在图中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.(3)如图所示.考向二勾股定理及逆定理的运用微专题角度1勾股定理的运用例3 在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.图20-11图20-12角度2勾
7、股定理逆定理的运用例42019益阳已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案 B解析如图所示,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,AC2+BC2=AB2,ABC是直角三角形,且ACB=90,故选:B.考向精练6.2020河北图20-13是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,
8、使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是()A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4图20-13答案 B 解析设选取的三块纸片的面积分别为a,b,c(abc),根据勾股定理可知a+b=c,所以选取的三块纸片可能为:a=b=1,c=2,此时ab=1;a=1,b=2,c=3,此时ab=2;a=1,b=3,c=4,此时ab=3;a=1,b=4,c=5,此时ab=4;a=2,b=2,c=4,此时ab=4;a=2,b=3,c=5,此时ab=6.选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的三角形的面积最大,故答案为B.7.2020绍兴如图20-14,直角三角
9、形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片,把它们按图放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图中阴影部分面积为.答案 解析 图20-148.如图20-15,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,将BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C处,BC交AD于点E,则线段DE的长为.图20-15答案 解析 9.2019巴中如图20-16,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP.AP=6,BP=8,CP=10,则SABP+SBPC=.答案 解析 图20-1610.2020安顺如图20-17,ABC中,点E在边AC上,EB=EA,A=2CBE,CD垂直于BE的延长
10、线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为.图20-17答案 解析图20-18解:(1)证明:在RtABC中,BAC=30,E为AB边的中点,BC=EA,ABC=60.DEB为等边三角形,DB=DE,DEB=DBE=60,DEA=120,DBC=120,DEA=DBC,ADE CDB.图20-18考向三勾股定理的实际应用例5有一圆柱形油罐,如图20-19所示,从A点开始环绕油罐建梯子,正好到A点的正上方B点,问梯子最短需m(已知:油罐的底面周长是12 m,高AB是5 m).图20-19【方法点析】运用转化思想求几何体表面上两点之间的最短距离时,一般先把立体图形展开成平面图形,然后再利用勾股
11、定理求出几何体表面上两点之间的距离.答案 13 解析 考向精练12.2018黄冈如图20-20,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm(杯壁厚度不计).图20-20答案 20 解析13.2020扬州九章算术是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.如图20-21所示是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”题意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺)中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3
12、尺,试问折断处离地面多高?答:折断处离地面尺高.答案 解析图20-2114.2019南京无盖圆柱形杯子的展开图如图20-22所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有cm.答案 5解析图20-2215.如图20-23所示,木长二丈(1丈=10尺),它的一周是三尺,生长在木上的葛藤缠木七周,上端恰好与木齐,问葛藤长是 尺.答案 29解析图20-2316.如图20-24所示,一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路爬最近?你能帮它找出来吗?(这个长方体的长为15 cm,宽为10 cm,高为20 cm,点B离点C为5 cm,点D离点E也为5 cm)
13、图20-24考向四定义、命题、定理例62020德州下列命题:一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;一个角为90且一组邻边相等的四边形是正方形;对角线相等的平行四边形是矩形.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,而一组对边平行,另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形,故命题是假命题;对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,是真命题;一个角为90且一组邻边相等的平行四边形是正方形,故是假命题;对角线相等的平行四边形是矩形,是真命题.故选B.例72017常德命题:“如果m是整数,那么它是有理数”,
14、则它的逆命题为 .如果m是有理数,那么它是整数 考向精练17.下列命题是假命题的是()A.不在同一直线上的三点确定一个圆B.角平分线上的点到角两边的距离相等C.正六边形的内角和是720D.角的边画得越长,角就越大D18.2020玉林下列命题中,其逆命题是真命题的是()A.对顶角相等B.两直线平行,同位角相等C.全等三角形的对应角相等D.正方形的四个角都相等答案 B解析 A项的逆命题为:如果两个角相等,那么这两个角是对顶角.这一命题是假命题,故A不符合题意;B项的逆命题为:同位角相等,两直线平行.这一命题为真命题,故B符合题意;C项的逆命题为:如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形是全等三角形.这一命题是错误的,这两个三角形可能是相似三角形,故C不符合题意;D项的逆命题为:如果一个四边形的四个角都相等,那么该四边形为正方形.这一命题是错误的,这个四边形可能是矩形,故D不符合题意.A
