1、第12课时一次函数的应用课标要求1.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式.2.能用一次函数解决简单实际问题.一次函数的应用知 识 梳 理判断等量关系为一次函数的情况(1)函数图象是直线(或直线的一部分);(2)用表格呈现数据时:当自变量的变化值均匀时,函数的变化值也是均匀的,而且当自变量的变化值为1时,函数的变化值就是自变量的系数k;(3)用语言呈现数据时:当自变量每变化1个单位时,因变量就相应变化k个单位常见类型(1)最优方案或方案选择问题:常通过比较函数值的大小关系确定方案;(2)利润最大或费用最少问题:通过函数增减性确定最值.注意:根据实际情况确定变量的取值
2、范围对 点 演 练题组一必会题C2.今年五一期间,小明外出爬山,他从山脚爬到山顶的过程中,中途休息了一段时间,设他从山脚出发后所用的时间为t(分),所走的路程为s(米),s与t之间的函数关系如图12-1,下列说法中错误的是()A.小明中途休息用了20分钟B.小明休息前爬山的速度为每分钟70米C.小明在爬山过程中所走的路程为6600米D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度图12-1C3.放学后,小明骑车回家,他经过的路程s(千米)与所用时间t(分)的函数关系如图12-2,则小明的骑车速度是千米/分.图12-20.2题组二易错题【失分点】实际问题中的变量往往有一定的限制,在描述函数表
3、达式时必须注意自变量的取值范围,同时函数值的取值范围也因自变量的限制而受到限制,函数的图象不一定是直线.4.一根蜡烛长30 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时蜡烛剩余的长度h(cm)和燃烧时间t(h)之间的函数关系用图象可以表示为()图12-3B考向一利用一次函数进行方案选择例1 2013山西24题某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案.印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印刷份数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种收费方式费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图12-4.(1)甲种收费方式的函数表达式是;乙种收费方式的函数表达式是.(2)该校某年级每次需印制100
4、450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算?图12-4y=0.1x+6y=0.12x例1 2013山西24题某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案.印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印刷份数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种收费方式费用y(元)与印刷份数x(份)之间的函数关系如图12-4.(2)该校某年级每次需印制100450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算?图12-4(2)由0.1x+60.12x,得x300;由0.1x+6=0.12x,得x=300;由0.1x+6300.由此可知:当100 x300时,选择乙种方式较合算;当x=300时,
5、选择甲、乙两种方式费用一样多;当300 x450时,选择甲种方式较合算.考向精练1.2019山西19题某游泳馆推出了两种收费方式.方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择方式二的总费用为y2(元).(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数表达式.(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱?解:(1)y1=30 x+200,y2=40 x.1.2019山西19题某游泳馆推出了两种收费方式
6、.方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择方式二的总费用为y2(元).(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱?(2)由y1y2,得30 x+20020,所以当x20时,选择方式一比方式二省钱.2.2016山西20题我省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2000 kg5000 kg(含2000 kg和5000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):方
7、案A:每千克5.8元,由基地免费送货.方案B:每千克5元,客户需支付运费2000元.(1)请分别写出按方案A,方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式;(2)求购买量x在什么范围时,选择方案A比方案B付款少;(3)某水果批发商计划用20000元购买尽可能多的这种苹果,请直接写出他应选择哪种方案.2.2016山西20题我省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2000 kg5000 kg(含2000 kg和5000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):方案A:每千克5.8元,由基地免费送货.方案B:每千克5元,客户需支付运费2000元.
8、(1)请分别写出按方案A,方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式;解:(1)方案A:函数解析式为y=5.8x(2000 x5000);方案B:函数解析式为y=5x+2000(2000 x5000).2.2016山西20题我省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2000 kg5000 kg(含2000 kg和5000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):方案A:每千克5.8元,由基地免费送货.方案B:每千克5元,客户需支付运费2000元.(2)求购买量x在什么范围时,选择方案A比方案B付款少;(2)由题意,得5.8x5x+2000.
9、解不等式,得x2500.当购买量x的取值范围为2000 x2500时,选择方案A比方案B付款少.2.2016山西20题我省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2000 kg5000 kg(含2000 kg和5000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):方案A:每千克5.8元,由基地免费送货.方案B:每千克5元,客户需支付运费2000元.(3)某水果批发商计划用20000元购买尽可能多的这种苹果,请直接写出他应选择哪种方案.(3)他应选择方案B.3.2019西宁某校为落实西宁市教育局“教育信息化2.0行动计划”,搭建数字化校园平台,需要购买一批电子白板和平板电脑
10、,若购买2台电子白板和6台平板电脑共需9万元;购买3台电子白板和4台平板电脑共需11万元.(1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元?(2)结合学校实际,该校准备购买电子白板和平板电脑共100台,其中电子白板至少购买6台且不超过24台,某商家给出了两种优惠方案,方案一:电子白板和平板电脑均打九折;方案二:买1台电子白板,送1台平板电脑.若购买电子白板a(台),所需的总费用为W(万元),请根据两种优惠方案分别写出W关于a的函数关系式,并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱.3.2019西宁某校为落实西宁市教育局“教育信息化2.0行动计划”,搭建数字化校园平台,需要购买一批电子白板和平板电脑,若
11、购买2台电子白板和6台平板电脑共需9万元;购买3台电子白板和4台平板电脑共需11万元.(1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元?3.2019西宁某校为落实西宁市教育局“教育信息化2.0行动计划”,搭建数字化校园平台,需要购买一批电子白板和平板电脑,若购买2台电子白板和6台平板电脑共需9万元;购买3台电子白板和4台平板电脑共需11万元.(2)结合学校实际,该校准备购买电子白板和平板电脑共100台,其中电子白板至少购买6台且不超过24台,某商家给出了两种优惠方案,方案一:电子白板和平板电脑均打九折;方案二:买1台电子白板,送1台平板电脑.若购买电子白板a(台),所需的总费用为W(万元),请根据
12、两种优惠方案分别写出W关于a的函数关系式,并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱.(2)由题意可得,方案一:W=3a+0.5(100-a)0.9=2.25a+45(6a24且a为整数);方案二:W=3a+0.5(100-a-a)=2a+50(6a24且a为整数).当2.25a+452a+50时,得a20,即当6a2a+50时,得a20,即当20a24时,选择方案二.答:方案一:W关于a的函数关系式是W=2.25a+45(6a24且a为整数),方案二:W关于a的函数关系式是W=2a+50(6a24且a为整数),当6a20时,方案一更省钱,当a=20时,两种方案花费一样,当20a24时,方案二更省
13、钱.考向二利用一次函数的增减性解决最值问题例2 2018湘西州某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.(1)求y关于x的函数关系式.(2)该商店购进A型,B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0a200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
14、例2 2018湘西州某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.(1)求y关于x的函数关系式.解:(1)y与x之间的函数关系式为:y=400 x+500(100-x)=-100 x+50000.例2 2018湘西州某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A
15、型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.(2)该商店购进A型,B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?例2 2018湘西州某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0a200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.考向精练4.某车行经销的A
16、型自行车去年6月份销售总额为1.6万元,今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元,今年6月份与去年同期相比,销售数量相同,销售总额增加25%.今年A,B两种型号车的进价和售价如下表:(1)求今年A型车每辆售价为多少元?(2)该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆,应如何进货才能使这批车售完后获利最多?A型车B型车进价(元/辆)800950售价(元/辆)今年售价12004.某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元,今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元,今年6月份与去年同期相比,销售数量相同,销售总额增加25%.今年A,B两种型号车的进价和售
17、价如下表:(1)求今年A型车每辆售价为多少元?A型车B型车进价(元/辆)800950售价(元/辆)今年售价12004.某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元,今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元,今年6月份与去年同期相比,销售数量相同,销售总额增加25%.今年A,B两种型号车的进价和售价如下表:(2)该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆,应如何进货才能使这批车售完后获利最多?A型车B型车进价(元/辆)800950售价(元/辆)今年售价1200(2)设购进A型车m辆,则购进B型车(50-m)辆,根据题意得800m+950(50-m)4300
18、0,解得m30,30m50.设销售利润为W元,则W=(1000-800)m+(1200-950)(50-m)=-50m+12500,-500,当m=30时,获利最多.答:当购进A型车30辆、B型车20辆时,才能使这批车售完后获利最多.考向三利用一次函数解决分段函数问题例32019齐齐哈尔甲、乙两地间的直线公路长为400千米,一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行,货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶,1小时后轿车故障排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计),最后两车同时到达甲地.已知两车距各自出发地
19、的距离y(千米)与轿车所用的时间x(时)的关系如图12-5所示,请结合图象解答下列问题:图12-5(1)货车的速度是千米/时,轿车的速度是千米/时,t的值为;(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.图12-5(2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.(3)设货车出发m时后两车相距90千米,根据题意,得50m+80(m-1)=400-90或50m+80(m-2)=400+90,解得m=3或5.答:货车出发3时或5时后两车相距90千米.
