1、2025年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究年甘肃中考数学一轮复习中考命题探究第14讲二次函数的实际应用目 录C O N T E N T S1考点梳理考点梳理3甘肃甘肃5 5年中考真题及拓展年中考真题及拓展2重难点突破重难点突破考点梳理考点梳理会求二次函数的最大值或最小值会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值并能确定相应自变量的值，(新增新增)能能解决解决相应的相应的实际问题实际问题(改动改动)2022年年版课标重要变化版课标重要变化考点考点 1 1 1 1 建立建立二次函数模型解决实际二次函数模型解决实际问题问题常见类型常见类型关键步骤关键步骤【温馨提示】【温馨提示】(1)求函数
2、的最值时求函数的最值时，要注意实际问要注意实际问题中自变量的取值范围对最值的影题中自变量的取值范围对最值的影响若对称轴的取值不在自变量的取响若对称轴的取值不在自变量的取值范围内值范围内，则最值一般在自变量取值则最值一般在自变量取值的端点处取得的端点处取得；(2)建立平面直角坐标系的标准是易建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式于求二次函数的解析式抛物线型抛物线型问题问题(1)建立方便求解析式的建立方便求解析式的平面直角坐标系平面直角坐标系；(2)找到图象上三个点的找到图象上三个点的坐标坐标；(3)用待定系数法求二次用待定系数法求二次函数的解析式函数的解析式常见类型常见类型关键步骤关键
3、步骤【温馨提示】【温馨提示】(1)求函数的最值时求函数的最值时，要注意实要注意实际问题中自变量的取值范围对际问题中自变量的取值范围对最值的影响若对称轴的取值最值的影响若对称轴的取值不在自变量的取值范围内不在自变量的取值范围内，则则最值一般在自变量取值的端点最值一般在自变量取值的端点处取得处取得；(2)建立平面直角坐标系的标准建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式是易于求二次函数的解析式销售利润销售利润问题问题(1)理清各个量之间的关系理清各个量之间的关系，找出等量关系求得解析式找出等量关系求得解析式；(2)根据要求确定函数的最值根据要求确定函数的最值或建立方程求解或建立方程求解图形面
4、积图形面积问题问题(1)利用几何知识用变量利用几何知识用变量x表示表示出图形的面积出图形的面积y；(2)根据要求确定函数的最值根据要求确定函数的最值或建立方程求解或建立方程求解 抛物线抛物线型问题型问题 2024省卷省卷15题题如图如图1为一汽车停车棚为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分作是抛物线的一部分，如图如图2是棚顶的竖直高度是棚顶的竖直高度y(单位单位：m)与距离停车与距离停车棚支柱棚支柱AO的水平距离的水平距离x(单位单位：m)近似满足函数关系近似满足函数关系y0.02x20.3x1.6的图象的图象，点点B(6，2.68)在图象上若一辆箱式货车需
5、在停车棚下避雨在图象上若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长货车截面看作长CD4 m，高高DE1.8 m的矩形的矩形，则可判定货车则可判定货车_完全完全停到车棚内停到车棚内(填填“能能”或或“不能不能”)重难点突破重难点突破重难点重难点例例 1能能判断货车能否完全停到车棚内的一般方法判断货车能否完全停到车棚内的一般方法：方法一方法一：固定货车的宽固定货车的宽，看抛物线的车棚是否足够高看抛物线的车棚是否足够高(相当于已知相当于已知x的值的值，根据函数表达式求根据函数表达式求y的值的值，再与限制的高的值比较大小再与限制的高的值比较大小)方法二方法二：固定货车的高固定货车的高，看抛物线形的车
6、棚是否足够宽看抛物线形的车棚是否足够宽(相当于已知相当于已知y的的值值，根据函数表达式求根据函数表达式求x的值的值，再与限制的宽的值比较大小再与限制的宽的值比较大小)方法总结方法总结 2024兰州兰州22题题在校园科技节期间在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火科普员为同学们进行了水火箭的发射表演箭的发射表演，图图1是某型号水火箭的实物图是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线为了解水火箭的相关性能线可以看作是一条抛物线为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展同学们进一步展开研究如图开研究如图2建立直角坐标系建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地
7、面水火箭发射后落在水平地面A处科普处科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中从发射到着陆过程中，水水火箭距离地面火箭距离地面OA的竖直高度的竖直高度y(m)与离发射点与离发射点O的水平距离的水平距离x(m)的几组关的几组关系数据如下系数据如下：例例 2水平距离水平距离x(m)0341015202227竖直竖直高度高度y(m)03.244.168987.043.24(1)根据上表根据上表，请确定抛物线的表达式请确定抛物线的表达式；【自主作答】【自主作答】解解：由题意可得由题意可得，抛物线的对称轴是直线抛物线的对称轴是直线(2)请计算当水
8、火箭飞行至离发射点请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为的水平距离为5 m时时，水火箭距离水火箭距离地面的竖直高度地面的竖直高度解决此类题的一般方法解决此类题的一般方法：设出适当的函数表达式设出适当的函数表达式，代入已知点代入已知点，利用待定系数法求出未知量利用待定系数法求出未知量，从而得出函数表达式从而得出函数表达式已知水平距离已知水平距离，求竖直高度求竖直高度，转化为已知转化为已知x的值的值，求求y的值的值，即把即把x的的值代入函数表达式值代入函数表达式，求出求出y值值，就是所求的竖直高度就是所求的竖直高度；已知竖直高度已知竖直高度，求水平距离求水平距离，转化为已知转化为已知y的值的值
9、，求求x的值的值，即把即把y的值的值代入函数表达式代入函数表达式，求出求出x值值，就是所求的水平距离就是所求的水平距离方法总结方法总结甘肃甘肃5 5年中考真题及拓展年中考真题及拓展 抛物线抛物线型问题型问题(省卷省卷：5年年2考考；兰州兰州：3年年3考考)12022省卷省卷17题题如图如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空气阻力小球的飞行路线是一条抛物线若不考虑空气阻力，小球的小球的飞行高度飞行高度h(单位单位：m)与飞行时间与飞行时间t(单位单位：s)之间具有函数关系之间具有函数关系：h5t
10、220t，则当小球飞行高度达到最高时则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间飞行时间t_s.命题点命题点 1 1222023兰州兰州23题题一名运动员在一名运动员在10 m高的跳台进行跳水高的跳台进行跳水，身体身体(看成一看成一点点)在空中的运动轨迹是一条抛物线在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面运动员离水面OB的高度的高度y(m)与离与离起跳点起跳点A的水平距离的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点运动员离起跳点A的水平距离为的水平距离为1 m时达到最高点时达到最高点，当运动员离起跳点当运动员离起跳点A的水平距离为的水平距离为3 m时离水面的距离为时
11、离水面的距离为7 m.(1)求求y关于关于x的函数表达式的函数表达式；解解：根据题意可得根据题意可得，抛物线过抛物线过(0，10)和和(3，7)，对称轴为直线对称轴为直线x1，设设y关于关于x的函数表达式为的函数表达式为yax2bxc(a0)，(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长的长解解：在在yx22x10中中，令令y0，得得0 x22x10，3.2022兰州兰州24题题掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目如图项目如图1是一名女生投掷实心球是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线实
12、心球行进路线是一条抛物线，行进高度行进高度y(m)与水平距离与水平距离x(m)之间的函数关系如图之间的函数关系如图2所示所示，掷出时起点掷出时起点处处高度为高度为 m，当水平距离为当水平距离为3 m时时，实心球行进至最高点实心球行进至最高点3 m处处(1)求求y关于关于x的函数表达式的函数表达式；(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生女生)，投掷过程中投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70 m，此项考试得分为满此项考试得分为满分分10分该女生在此项考试中是否得满分分该女生在此项考
13、试中是否得满分，请说明理由请说明理由解解：该女生在此项考试中得满分理由如下该女生在此项考试中得满分理由如下：令令y0，则则 (x3)230，解得解得x17.5，x21.5(舍去舍去)，7.56.70，该女生在此项考试中得满分该女生在此项考试中得满分42024兰州一诊兰州一诊25题题如图如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀膀，宛如一只宛如一只“蝴蝶蝴蝶”停留在黄河上停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计深它采用叠合梁拱桥方案设计深安黄河大桥主拱形安黄河大桥主拱形OAB呈抛物线状呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆从上垂下若干个吊杆，与桥面相与桥面相连如图连如图
14、2所示所示，建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系，吊杆吊杆CD到原点到原点O的水平距离的水平距离OC26 m，吊杆吊杆EF到原点到原点O的水平距离的水平距离OE134 m，且且CDEF，主拱形主拱形离桥面的距离离桥面的距离y(m)与水平距离与水平距离x(m)近似满足二次函数关系近似满足二次函数关系y0.006(xh)2k，其对称轴为直线其对称轴为直线xh.(1)求求OH的长度的长度；解解：OC26 m，OE134 m，CDEF，CEOEOC108(m)，CHEH，CH54 m，OHOCCH80(m)(2)求主拱形到桥面的最大高度求主拱形到桥面的最大高度AH的长的长解解：由题意由题意，得得h 8
15、0，y0.006(x80)2k.直线直线x80是其对称轴是其对称轴，B(160，0)将点将点B代入代入y0.006(x80)2k，解得解得k38.4，y0.006(x80)238.4，A(80，38.4)，即即AH38.4 m.主拱形到桥面的最大高度主拱形到桥面的最大高度AH的长为的长为38.4 m 销售销售利润利润问题问题命题点命题点 2 252024天水秦安县莲花中学三模天水秦安县莲花中学三模一家商店于春节后购进了一批新款春一家商店于春节后购进了一批新款春装装，从销售记录中发现从销售记录中发现，平均每天可售出平均每天可售出20件件，每件盈利每件盈利40元为把握元为把握换季营销换季营销，商店
16、决定采取适当的降价活动商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量以扩大销售量，增加盈增加盈利市场调研认为利市场调研认为，若每件降价若每件降价1元元，则平均每天就可多售出则平均每天就可多售出2件件(1)若活动期间平均每天的销售量为若活动期间平均每天的销售量为38件件，求每件春装的盈利是多少元求每件春装的盈利是多少元？解解：根据题意根据题意，得得40(3820)231(元元)答：每件新款春装盈利答：每件新款春装盈利31元元拓拓 展展练练训训(2)要想平均每天销售这款春装能盈利要想平均每天销售这款春装能盈利1200元元，又能尽量减少库存又能尽量减少库存，那么那么每件应降价多少元每件应降价多少元？解解：
17、设每件新款春装应降价设每件新款春装应降价x元元，则每件盈利则每件盈利(40 x)元元，平均每天可售平均每天可售出出(202x)件件，根据题意根据题意，得得(40 x)(202x)1200，整理得整理得x230 x2000，解得解得x110，x220.又又要尽量减少库存要尽量减少库存，x20.答答：每件新款春装应降价每件新款春装应降价20元元(3)平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？解解：设每件新款春装应降价设每件新款春装应降价x元元，每天销售这款春装盈利每天销售这款春装盈利y元元，根据题根据题意意，得得y(40 x)(202x)2x260 x800
18、2(x15)21250，20，当当x15时时，y取最大值取最大值，最大值为最大值为1250.答：平均每天销售这款春装盈利的最大值是答：平均每天销售这款春装盈利的最大值是1250元元 图形图形面积面积问题问题62024湖北省卷湖北省卷学校要建一个矩形花圃学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙其中一边靠墙，另外三边用另外三边用篱笆围成已知墙长篱笆围成已知墙长42米米，篱笆长篱笆长80米设垂直于墙的边米设垂直于墙的边AB长为长为x米米，平行于墙的边平行于墙的边BC长为长为y米米，围成的矩形面积为围成的矩形面积为S平方米平方米命题点命题点 2 2拓拓 展展练练训训(1)求求y与与x，S与与x的关系式的关系
19、式；解解：由题意由题意，得得2xy80，y2x80.02x8042，且且x0，19x40.由题意由题意，得得SABBCx(2x80)，S2x280 x(19x40)(2)围成的矩形花圃面积能否为围成的矩形花圃面积能否为750平方米平方米？若能若能，求出求出x的值的值；解解：能令能令S2x280 x750，解得解得x15(舍去舍去)或或x25.答：当答：当x25时，围成的矩形花圃的面积为时，围成的矩形花圃的面积为750平方米平方米(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在若存在，求出这个最大值求出这个最大值，并并求出此时求出此时x的值的值解解：存在存在S2x280 x2(x20)2800，20，且且19x40，当当x20时时，S取最大值取最大值，最大值为最大值为800.答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800平方米，此时平方米，此时x的值的值为为20.
