1、第第1010讲一次函数及其应用讲一次函数及其应用第三单元第三单元内容索引考点梳理整合考点梳理整合安徽真题体验安徽真题体验考法互动研析考法互动研析安徽真题体验安徽真题体验命题点1一次函数的图象和性质1.(2020安徽,7,4分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标可以是()A.(-1,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案 B解析 一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而减小,k0,故A选项不符合题意;当x=1,y=-2时,k+3=-2,解得k=-50,故D选项不符合题意.故选B.2.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的
2、直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是_.答案 a1或a-1解析 y=x-a+1与x轴的交点为(a-1,0),平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,当x=a-1时,y=(a-1)2-2a(a-1)0,a1或a0b0经过第一、二、三象限y随x的增大而增大b=0经过第一、三象限b0经过第一、三、四象限2.图象及其性质(10年3考)k的符号 b的取值 图示经过象限性质k0经过第一、二、四象限y随x的增大而减小b=0经过第二、四象限b0时,向上平移;当b0)个单位长度后,相应得到的一次函数解析式为y=k(
3、x+m)+b或y=k(x-m)+b;向上或向下平移n(n0)个单位长度后,相应得到的一次函数解析式为y=kx+b+n或y=kx+b-n.口决:左加右减,上加下减,左右移给x值加减,上下移给y值加减.考法互动研析考法互动研析考法1一次函数的图象与性质例1(2020四川攀枝花)甲、乙两地之间是一条直路,在全民健身活动中,赵明阳跑步从甲地往乙地,王浩月骑自行车从乙地往甲地.两人同时出发,王浩月先到达目的地,两人之间的距离s(单位:km)与运动时间t(单位:h)的函数关系大致如图所示,下列说法中错误的是()A.两人出发1小时后相遇B.赵明阳跑步的速度为8 km/hC.王浩月到达目的地时两人相距10 k
4、mD.王浩月比赵明阳提前1.5 h到目的地答案 C解析 由图象可知,两人出发1小时后相遇,故选项A正确;赵明阳跑步的速度为243=8(km/h),故选项B正确;王浩月的速度为241-8=16(km/h),王浩月从开始到到达目的地用的时间为2416=1.5(h),故王浩月到达目的地时两人相距81.5=12(km),故选项C错误;王浩月比赵明阳提前3-1.5=1.5(h)到目的地,故选项D正确.故选C.方法总结 本题考查了一次函数y=kx+b的图象及其性质:(1)当k0,b0时,直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限),y随x的增大而增大;(2)当k0,b0时,直线经过第一、三、四象限(直线
5、不经过第二象限),y随x的增大而增大;(3)当k0时,直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限),y随x的增大而减小;(4)当k0,b0,b=-11时,对于x的每一个值,函数y=mx(m0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.解(1)一次函数y=kx+b(k0)由y=x平移得到,k=1.将点(1,2)代入y=x+b可得b=1,一次函数的解析式为y=x+1.(2)当x1时,函数y=mx(m0)的函数值都大于y=x+1,即图象在y=x+1上方,由右图可知:临界值为当x=1时,两条直线都过点(1,2),当x1,m2时,y=mx(m0)都大于y=x+1.又x1,m可取值2,即m
6、=2.m的取值范围为m2.考法3一次函数的应用例3(2020四川乐山)某汽车运输公司为了满足市场需要,推出商务车和轿车对外租赁业务.下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表:(1)如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1 320元,求一辆轿车的单程租金为多少元?(2)某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训,拟单程租用商务车或轿车前往.在不超载的情况下,怎样设计租车方案才能使所付租金最少?车型每车限载人数/人租金/(元/辆)商务车6300轿车4解(1)设租用一辆轿车的租金为x元.由题意得,3002+3x=1 320.解得x=240.答:租用一辆轿车的租金为240元.若混和
7、租用两种车,设租用商务车m辆,租用轿车n辆,租金为W元.由6m+4n=34,得4n=-6m+34,W=300m+60(-6m+34)=-60m+2 040.-6m+34=4n0,m ,1m5,且m为整数.W随m的增大而减小,当m=5时,W有最小值1 740,此时n=1,综上,租用商务车5辆和轿车1辆时,所付租金最少为1 740元.方法2:设租用商务车m辆,租用轿车n辆,租金为W元.m为整数,m只能取0,1,2,3,4,5,故租车方案有:不租商务车,则需租9辆轿车,所需租金为9240=2 160(元);租1辆商务车,则需租7辆轿车,所需租金为1300+7240=1 980(元);租2辆商务车,则
8、需租6辆轿车,所需租金为2300+6240=2 040(元);租3辆商务车,则需租4辆轿车,所需租金为3300+4240=1 860(元);租4辆商务车,则需租3辆轿车,所需租金为4300+3240=1 920(元);租5辆商务车,则需租1辆轿车,所需租金为5300+1240=1 740(元).由此可见,最佳租车方案是租用商务车5辆和轿车1辆,此时所付租金最少,为1 740元.方法总结 利用一次函数解决实际问题,其关键在于正确理解自变量、函数的意义,找出函数与自变量存在的数量关系,从而得出函数解析式,根据自变量的取值范围结合函数的变化趋势进行求解.对应练6(2020上海)小明从家步行到学校需走
9、的路程为1 800米.图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(单位:米)与时间t(单位:分钟)的函数关系,根据图象提供的信息,当小明从家出发去学校步行15分钟时,到学校还需步行_米.答案 350解析 当8t20时,设s=kt+b,将(8,960),(20,1 800)代入,得s=70t+400.当t=15时,s=1 450,1 800-1 450=350,当小明从家出发去学校步行15分钟时,到学校还需步行350米,故答案为350.对应练7(2020辽宁大连)甲、乙两个探测气球分别从海拔5 m和15 m处同时出发,匀速上升60 min,右图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y(单位
10、:m)与气球上升时间x(单位:min)的函数图象.(1)求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式.(2)当这两个气球的海拔高度相差15 m时,求上升的时间.对应练8(2020四川成都)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本价为10元/件,拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量y(单位:件)与线下售价x(单位:元/件,12x24)满足一次函数的关系,部分数据如下表:(1)求y与x的函数关系式;(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为400件.试问:当x为多少时,线
11、上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润.x/(元/件)1213141516y/件1 2001 1001 000900900解(1)设一次函数的函数关系式为y=kx+b(k0).将x=12,y=1 200代入函数得12k+b=1 200.将x=13,y=1 100代入函数得13k+b=1 100.一次函数的函数关系式为y=-100 x+2 400.(2)设商家线上和线下的月利润总和为w元,由题意可得w=400(x-2-10)+y(x-10).将y=-100 x+2 400代入可得w=-100(x-19)2+7 300.当线下售价定为19元/件时,月利润总和最大,此时最大利润是7 300元.
