1、第15课时二次函数的图象和性质(二)一、二次函数图象的平移知 识 梳 理图形表示示例【温馨提示】(1)平移前,先将表达式用配方法化成y=a(x-h)2+k(a0)的形式.(2)二次函数图象平移时,二次项系数不变二次函数y=2x2+4x+3,将该函数化为顶点式为 ;(1)其图象向左平移2个单位后的表达式为 ;y=2(x+1)2+1y=2(x+3)2+1（续表）图形表示示例【温馨提示】(1)平移前,先将表达式用配方法化成y=a(x-h)2+k(a0)的形式.(2)二次函数图象平移时,二次项系数不变(2)其图象向右平移2个单位后的表达式为 ;(3)其图象向上平移2个单位后的表达式为 ;(4)其图象向
2、下平移2个单位后的表达式为 y=2(x-1)2+1y=2(x+1)2+3y=2(x+1)2-1二、二次函数与一元二次方程及不等式的关系1.二次函数与一元二次方程(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标;横(2)判别式=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数:两一2.二次函数与不等式不等式ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)y=ax2+bx+c(a0)的图象观察方法函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围解集 xx2x1xx2对 点 演
3、 练题组一必会题1.九下P27练习第1(3)题改编抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点情况是()A.有两个交点B.有一个交点C.没有交点D.交点个数不能确定C2.九下P37复习题1第3(1)题抛物线y=3x2先向左平移2个单位,得到抛物线 ;接着向上平移1个单位,得到抛物线 .y=3(x+2)2y=3(x+2)2+13.九下P39复习题1第14题改编抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点,抛物线的顶点为P,则PAB的面积是.答案14.九下P28A组第3题改编抛物线y=2x2-2x+5,当x=时,y=9.5.九下P28B组第4题改编当t=时,抛物线y=5x2+4tx+t2-1与x轴只有一个
4、交点.-1或2题组二易错题【失分点】忽略了二次函数y=ax2+bx+c的隐含条件a0;求平移后的抛物线的表达式时,弄错符号;当函数类型没有明确指出时,其图象与x轴的交点要分情况讨论,因为一次函数、二次函数的图象均与x轴有交点;忽略与坐标轴的交点和与x轴的交点的区别.6.已知二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k4且k3B.k4且k3C.k0时x的取值范围;(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.图15-1解:(1)把B(1,0)代入y=ax2+4x-3,得0=a+4-3,解得a=-1,y=-x2+
5、4x-3=-(x-2)2+1,A(2,1),对称轴是直线x=2,B,C关于直线x=2对称,C(3,0),当y0时,1x3.(2)D(0,-3),点D平移到点A(2,1),抛物线向右平移2个单位,向上平移4个单位,可得抛物线的解析式为y=-(x-4)2+5.考向二二次函数与一元二次方程、不等式的关系例2(1)抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.m2C.0m2D.m0,即4-4m+40,解得m0)经过第四象限的点(1,-1),则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是()A.有两个大于1的不相等实数根B.有两个小于1的不相等实数根C.有一个大于1,另一个
6、小于1的实数根D.没有实数根答案C解析a0,抛物线开口向上,抛物线经过第四象限的点(1,-1),方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,一个大于1,另一个小于1,故选C.4.2020青岛抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴交点的个数是.答案2解析当y=0时,2x2+2(k-1)x-k=0,此方程的判别式为=2(k-1)2-42(-k)=4(k-1)2+8k=4k2-8k+4+8k=4k2+40,一元二次方程2x2+2(k-1)x-k=0有两个不相等的实数根,抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴交点的个数是2.5.2020黔东南州抛物线y=ax2+bx+
7、c(a0)的部分图象如图15-2所示,其与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为直线x=-1,则当y0时,x的取值范围是.答案-3x1解析抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),由图象可知,当y0时,x的取值范围是-3x1.图15-26.2020包头在平面直角坐标系中,已知A(-1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点,将二次函数y=x2+bx+1的图象向上平移n(n是正整数)个单位,使平移后的图象与x轴没有交点,则n的最小值为.答案4考向三二次函数与几何综合题例3 如图15-3,已知
8、抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数解析式(用两种方法).(2)求抛物线的顶点D的坐标与对称轴.(3)设点P是直线l上的一个动点,当PAC的周长最小时,求点P的坐标.(4)在直线l上是否存在点M,使MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图15-3例3 如图15-3,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数解析式(用两种方法).图15-3解:(1)方法一:抛物线y=ax2+bx+c经过
9、A(-1,0),B(3,0)两点,设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),又抛物线过点C(0,3),3=-3a,解得a=-1,抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.例3 如图15-3,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(2)求抛物线的顶点D的坐标与对称轴.图15-3(2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,D(1,4),对称轴为直线x=1.例3 如图15-3,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(3)设点P是直线l上的一个动点,当PAC的周长最小时,求点P的坐标.(4)在直线l上是否存在点M,使MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图15-3 考向精练图15-4图15-4图15-4
