1、第24课时矩形、菱形、正方形课标要求1.理解正方形、矩形、菱形的概念,以及平行四边形、矩形、菱形之间的关系.2.探索并证明矩形的性质定理(矩形的四个角都是直角,对角线相等)和判定定理(三个角是直角的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形).3.探究并证明菱形的性质定理(菱形的四条边相等,对角线互相垂直)和判定定理(四边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形).4.探索并证明正方形的性质定理和判定定理,正方形具有矩形和菱形的一切性质.矩形定义 有一个角是的平行四边形叫作矩形性质(1)边:对边平行且相等;(2)角:四个角都是;(3)对角线:两条对角线;(4)对称性:矩形既是轴对称
2、图形,也是中心对称图形,矩形有条对称轴一、矩形知 识 梳 理直角直角相等且互相平分2矩形判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)有个角是直角的四边形是矩形;(3)对角线的平行四边形是矩形面积S矩形ABCD=ab(其中a为长,b为宽);SAOB=SCOD=SAOD=SCOB(续表)三相等菱形定义 一组 的平行四边形叫作菱形性质(1)边:菱形的对边平行,四条边都相等;(2)角:对角相等;(3)对角线:两条对角线 ,且每一条对角线平分一组对角;(4)对称性:菱形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线,对称中心是 二、菱形邻边相等对角线的交点垂直平分菱形判定(1)有一组
3、 的平行四边形是菱形;(2)四条边的四边形是菱形;(3)对角线的平行四边形是菱形 面积(续表)邻边相等相等互相垂直正方形定义有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形性质(1)边:四条边;(2)角:四个角都是;(3)对角线:对角线 ,每条对角线平分一组对角;(4)对称性:正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有条三、正方形相等直角垂直平分且相等4(续表)正方形判定(1)先证明它是矩形,再证有一组邻边相等,即有一组邻边相等的矩形是正方形;(2)先证明它是菱形,再证有一个角是直角,即有一个角是直角的菱形是正方形面积四、特殊平行四边形之间的关系对 点 演 练题组一必会题B图24-12
4、.八下P60练习第1题改编已知矩形的一条对角线的长为2 cm,两条对角线的一个夹角为60,则矩形的较长的一条边的长为.3.八下P67第2题改编如图24-2,菱形ABCD的边长为5 cm,P为对角线BD上一点,PHAB于点H,且PH=2 cm,则PBC的面积为()A.8 cm2B.7 cm2C.6 cm2D.5 cm2图24-2答案 D图24-34.八下P63练习第2题改编如图24-3,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AB=2,AC=4,则 ABCD的面积为.图24-45.八下P78复习题2第11题改编如图24-4,四边形ABCD是正方形,EBC是等边三角形,则AED=
5、.150图24-56.八下P79第15题改编将n个边长都为1 cm的正方形按如图24-5所示的方式摆放,点A1,A2,An分别是正方形对角线的交点,则n个正方形重叠形成的重叠部分(阴影部分)的面积和为.题组二易错题【失分点】对特殊四边形的性质与判定掌握不牢;图形形状不确定时,忽视分类讨论.7.依次连接矩形的各边中点,得到的四边形是()A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形B8.已知矩形ABCD的对角线相交于点O,AE平分BAD交矩形的边于点E,若CAE=10,则AOB的度数为.答案 70或110解析由题意,画出如下示意图.四边形ABCD是矩形,BAD=90,OA=OB=OD,AE平分BAD,BAE
6、=DAE=45,CAE=10,由图得:BAO=BAE+EAC=45+10=55,又OA=OB,BAO=OBA=55,AOB=180-55-55=70;由图得:DAO=DAE+EAC=45+10=55,又OA=OD,OAD=ODA=55,AOB=OAD+ODA=110,综上所述:AOB的度数为:70或110.考向一矩形的性质与判定例12018张家界如图24-6,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DFAE,垂足为F.(1)求证:DF=AB;(2)若FDC=30,且AB=4,求AD的长.图24-6解:(1)证明:如图,在矩形ABCD中,ADBC,1=2.又DFAE,DFA=90,DFA=B
7、,又AD=AE,ADF EAB,DF=AB.例12018张家界如图24-6,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DFAE,垂足为F.(2)若FDC=30,且AB=4,求AD的长.图24-6解:(2)1+3=90,FDC+3=90,1=FDC=30,AD=2DF.又DF=AB,AD=2AB=24=8.【方法点析】矩形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质.判定一个四边形是不是矩形,首先要看这个四边形是不是平行四边形,然后看它是否有一个内角是直角.如果这个四边形不能确定是平行四边形,那么可以通过在该四边形中找到三个内角是直角或对角线互相平分且相等来进行判定.1.2019十堰矩形具有而
8、平行四边形不一定具有的性质是()A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分 考向精练C2.2020怀化如图24-7,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,若AOB的面积为2,则矩形ABCD的面积为()A.4B.6C.8D.10图24-7C3.2020毕节如图24-8,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,连接EF,若AB=6 cm,BC=8 cm.则EF的长是()A.2.2 cmB.2.3 cmC.2.4 cmD.2.5 cm图24-8答案 D4.2020聊城如图24-9,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长,交DC的延
9、长线于点F,连接BF,AC,若AF=AD,求证:四边形ABFC是矩形.图24-9证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AD=BC,BAE=CFE,ABE=FCE,E为BC的中点,EB=EC,ABE FCE(AAS),AB=CF.ABCF,四边形ABFC是平行四边形.AF=AD,BC=AF,平行四边形ABFC是矩形.考向二菱形的性质与判定图24-10图24-11例2(1)2020通辽如图24-10,AD是ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断 ADCE是菱形的是()A.BAC=90B.DAE=90C.AB=ACD.AB=AE答案 A图24-10 考向精练5.2020
10、南通下列条件中,能判定 ABCD是菱形的是()A.AC=BDB.ABBCC.AD=BDD.ACBDD图24-12答案 B7.2020郴州如图24-13,在菱形ABCD中,将对角线AC分别向两端延长到点E和F,使得AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.求证:四边形BEDF是菱形.图24-13证明:四边形ABCD是菱形,BC=CD,DCA=BCA,DCF=BCF,CF=CF,CDF CBF(SAS),DF=BF,ADBC,DAC=BCA,DAE=BCF,AE=CF,DA=BC,DAE BCF(SAS),DE=BF,同理可证:DCF BAE(SAS),DF=BE,四边形BEDF是平行四边形,DF=
11、BF,平行四边形BEDF是菱形.考向三正方形的性质与判定例32020台州下列是关于某个四边形的三个结论:它的对角线相等;它是一个正方形;它是一个矩形.下列推理过程正确的是()A.由推出,由推出B.由推出,由推出C.由推出,由推出D.由推出,由推出A例42020湘西州如图24-14,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,CE.(1)求证:BAE CDE;(2)求AEB的度数.图24-14例42020湘西州如图24-14,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE,CE.(2)求AEB的度数.图24-14 考向精练8.2020襄阳已知四边形ABCD是平行四边形,AC,BD
12、相交于点O,下列结论错误的是()A.OA=OC,OB=ODB.当AB=CD时,四边形ABCD是菱形C.当ABC=90时,四边形ABCD是矩形D.当AC=BD且ACBD时,四边形ABCD是正方形B9.2020镇江如图24-15,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,1=2,则BPC的度数为.图24-15答案 135解析四边形ABCD是正方形,ACB=45,2+BCP=45,1=2,1+BCP=45,BPC=180-1-BCP,BPC=135.10.2018舟山 如图24-16,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且CEF=45.求证:矩形ABCD是正方形.图24
13、-16证明:四边形ABCD是矩形,B=D=C=90.AEF是等边三角形,AE=AF,AEF=AFE=60,又CEF=45,CFE=CEF=45,AFD=AEB=180-45-60=75,ABE ADF,AB=AD,矩形ABCD是正方形.11.2020株洲如图24-17所示,BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上,AE与BF交于点G,连接AF,CF,满足ABF CBE.(1)求证:EBF=90;(2)若正方形ABCD的边长为1,CE=2,求tanAFC的值.图24-17解:(1)证明:ABF CBE,ABF=CBE,ABF+CBF=90,CBF+CBE=90,EBF=90.11.2020株洲如图24-17所示,BEF的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上,AE与BF交于点G,连接AF,CF,满足ABF CBE.(2)若正方形ABCD的边长为1,CE=2,求tanAFC的值.图24-17
