1、第17课时等腰三角形课标要求1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.2.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60,及等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60 的等腰三角形)是等边三角形.考情分析高频考点年份、题号、分值题型2021年中考预测等腰三角形2017、8、3分填空题2016、11、3分填空题2015、23(3)、3分解答题等边三角形2019、17、3分解答题2014、23、10分等腰三角形与等边三角形知 识 梳
2、理等腰三角形定义有相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角性质(1)两个底角相等(简称 );(2)顶角平分线、底边上的、底边上的高相互重合(简称“三线合一”);(3)是轴对称图形,有条对称轴两边等边对等角中线1等腰三角形判定(1)在ABC中,AB=ACABC是等腰三角形(定义);(2)在ABC中,B=CABC是等腰三角形面积（续表）等边三角形定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形性质(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于;(2)等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合;(3)等边三角形是轴对称图
3、形,有条对称轴（续表）603（续表）等边三角形判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义);(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形面积知识拓展:(1)等腰三角形两腰上的高相等,两腰上的中线相等,两底角的平分线相等;(2)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半;(3)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行;(4)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高;(5)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高;(6)等边三角形内任意一点到三边距离之和等于其任意一边上的高.1.如图17-1,在ABC中,AC=BC,A
4、=40,观察图中尺规作图的痕迹,可知BCG的度数为()A.40B.45C.50D.60C对 点 演 练题组一必会题图17-1B图17-2图17-3答案 D4.2019成都如图17-4,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长为.9图17-45.2020青海等腰三角形的一个内角为70,则另外两个内角的度数分别是()A.55,55B.70,40或70,55C.70,40D.55,55或70,40题组二易错题【失分点】忽视等腰三角形的腰与底边的区别,底角与顶角的区别导致错误;忽视三角形三边关系导致错误;受片面思维的影响,忽视等腰三角形腰上的高的不同情况导致
5、漏解.D6.2020张家界已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根,则该等腰三角形的底边长为()A.2B.4C.8D.2或4A答案 70或207.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50,则这个等腰三角形的底角为.考向一等腰三角形的性质与判定例1 2019衢州“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图17-5所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若BDE=75,则CDE的度数是()A.60B.65C.75D.80图17-5答案 D解
6、析OC=CD=DE,O=ODC,DCE=DEC,DCE=O+ODC=2ODC.O+OED=3ODC=BDE=75,ODC=25.CDE+ODC=180-BDE=105,CDE=105-ODC=80.故选D.1.2017江西8题如图17-6是一把园林剪刀,把它抽象为图,其中OA=OB,若剪刀张开的角为30,则A=度.考向精练图17-6 答案 752.2016江西13(2)如图17-7,在RtABC中,ACB=90,将RtABC向下翻折,使点A与点C重合,折痕为DE,求证:DEBC.图17-7证明:由题易知AD=CD.点A与点C重合,EA=EC,DEAC.ACB=90,ACBC,DEBC.3.20
7、20绍兴【问题】如图17-8,在ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作AEC,使EA=EC,若BAE=90,B=45,求DAC的度数.【答案】DAC=45.【思考】(1)如果把以上【问题】中的条件“B=45”去掉,其余条件不变,那么DAC的度数会改变吗?说明理由.(2)如果把以上【问题】中的条件“B=45”去掉,再将“BAE=90”改为“BAE=n”,其余条件不变,求DAC的度数.图17-83.2020绍兴【问题】如图17-8,在ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作AEC,使EA=EC,若BAE=90,B=45,求DAC的度数.【答案】DAC=45.【思考】(1)
8、如果把以上【问题】中的条件“B=45”去掉,其余条件不变,那么DAC的度数会改变吗?说明理由.图17-83.2020绍兴【问题】如图17-8,在ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作AEC,使EA=EC,若BAE=90,B=45,求DAC的度数.【答案】DAC=45.【思考】(2)如果把以上【问题】中的条件“B=45”去掉,再将“BAE=90”改为“BAE=n”,其余条件不变,求DAC的度数.图17-8考向二与等腰三角形有关的多解问题例22020南昌一模在RtABC中,AC=3,BC=4,点P是斜边AB上一点,若PAC是等腰三角形,则线段AP的长可能为.图17-9【方法点析】解决
9、与等腰三角形有关的问题时,一定要分清顶角和底角,底边和腰,高是在三角形内还是在三角形外,有些情况应该分类讨论,同时注意三角形的三边关系.考向精练4.2018义乌等腰三角形ABC中,顶角A为40,点P在以A为圆心,BC长为半径的圆上,且BP=BA,则PBC的度数为.答案 30或110解析根据题意作出图形(如图),当点P在直线AB的右侧时,连接AP.AB=AC,BAC=40,ABC=C=70.AB=AB,AC=PB,BC=PA,ABC BAP,ABP=BAC=40,PBC=ABC-ABP=30.当点P在AB的左侧时,同理可得ABP=40,PBC=40+70=110.综上,PBC为30或110.5.
10、如图17-10,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,E是AD的中点,P在射线BD上运动,若BEP为等腰三角形,则线段BP的长为.图17-10例3 如图17-11,已知ABC和ADE都是等边三角形,点D在边BC上,且BD=4,CD=2,那么AF=.考向三等边三角形的性质与判定图17-11 考向精练6.如图17-12,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DEAB,过点E作EFDE,交BC的延长线于点F.(1)求F的度数;(2)若CD=2,求DF的长.解:(1)ABC为等边三角形,B=60.DEAB,EDC=B=60.EFDE,DEF=90,F=90-EDC=30.图17-126.如图17-12,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DEAB,过点E作EFDE,交BC的延长线于点F.(2)若CD=2,求DF的长.图17-12解:(2)方法一:ACB=60,EDC=60,EDC为等边三角形,DE=CD=2.DEF=90,F=30,DF=2DE=4.方法二:ABC为等边三角形,DEAB,EDF=B=A=DEC=60,CE=CD=2.EFDE,DEF=90,CEF=90-DEC=30=F,CF=CE=CD=2.故DF=CD+CF=4.
