1、专题综合强化第二部分 专题五新函数图象与性质的探究 新函数图象与性质的探究题是江西近2年的考查题型，此类题型既考查学生对于函数图象与性质的掌握，又考查学生对实际问题和几何图形的分析能力以及作图能力，新函数图象与性质的探究题大致可归纳为2种类型：(1)实际情景中新函数图象与性质的探究(2020.22)；(2)与几何结合的新函数的图象与性质(2019.21)常考题型常考题型精讲精讲类型类型1实际情景中新函数图象与性质的探究实际情景中新函数图象与性质的探究【类型特征】通过对实际情景问题中抽象出对应变量的函数关系进行有关函数图象及性质的探究及运用考查学生对几何有关图形性质、定理知识以及函数的图象等知识
2、的综合掌握和运用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，属于中考的一种常考题型【解题策略】解题的关键是理解题意，找到实际情境的数学模型，从我们学过的基础函数入手，建立函数关系，利用函数的性质，从特殊到一般的探究学习，从而按照题意设计灵活运用所学知识逐次解决问题(2019江西)活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为12 cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图活动一如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合数学思考(1)设CDx cm，点B到OF的距离GBy cm.用含x的
3、代数式表示：AD的长是_ cm，BD的长是_ cm；y与x的函数关系式是y_，自变量x的取值范围是_6x6x3666xx 0 x6 解题思路利用线段的和差定义计算即可利用平行线分线段成比例定理解决问题即可【解法提示】BGOF，BGAE，BGDAOD，依题意得AOAC6，代入得 ，此时自变量x的取值范围是0 x6.,BGBDAOAD6366666yxx,yxx活动二(2)列表：根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格描点：根据表中数值，在图4继续描出中剩余的两个点(x，y)；连线：在图4平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象；x/cm6543.532.5210.50y/cm00.551
4、.21.58_2.4734.295.08_26 解题思路利用函数关系式计算即可描出点(0，6)，(3，2)即可由平滑的曲线画出该函数的图象即可.【解答】补全表格：【解答】补全表格：x/cm6543.532.5210.50y/cm00.551.21.58_2.4734.295.08_26如答图所示；如答图所示如答图所示；如答图所示数学思考(3)请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论【解答】性质可从三个角度入手，从图象位置，增减性，最值三个角度【解答】性质可从三个角度入手，从图象位置，增减性，最值三个角度入手入手(答案不唯一答案不唯一)从位置角度：当从位置角度：当0 x6时，函数图象在第一
5、象限；时，函数图象在第一象限；从增减性角度：当从增减性角度：当0 x6时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；从最值角度：当从最值角度：当x6时，时，y取得最小值为取得最小值为0.1.(2021原创)数学活动课上，欧阳老师引导同学进行如下探究：如图1，有一个直径为10 cm的半圆形铁制模型，在半圆弧上有一个刚好可以绕弧滑动的小铁环C，有一根绷直的橡皮筋穿过小铁环C，橡皮筋的两头固定在A，B点图2是示意图活动一如图2，将小铁环C沿半圆弧自A向B方向滑动，橡皮筋两段AC，BC始终保持绷直状态数学思考(1)设ACx cm，BCy cm，AB与BC的夹角记为，三角形ABC是_三角形，夹角的取值范围
6、是_；符合条件下y与x的函数关系式是y _自变量x的取值范围是_直角直角0902210 x 0 x10活动二(2)列表：根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格x/cm1097653210.50y/cm04.367.14_8.669.549.809.959.99_810描点：根据表中数值，在图3继续描出中剩余的两个点(x，y)连线：在图3的平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象解：解：(1)直角，直角，090；y ，0 x102210 x 数学思考(3)请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论【解法提示】在RtABC中，由勾股定理得AC2BC2AB2，即x2y2102，y ，0
7、 x10.(2)当x6时，y8；当x0，y10.点(6，8)，点(0，10),如答图所示函数图象如答图所示2210 x(3)性质性质1：函数值：函数值y的取值范围为的取值范围为0y10.性质性质2：函数图象在第一象限，：函数图象在第一象限，y随随x的增大而减小的增大而减小(答案不唯一答案不唯一)2在一节数学活动课中，李老师拿出一个无盖长方体光学实验纸盒进行数学探究活动：如图1是纸盒的截面示意图，在内侧AD处放置了一面等长宽的平面镜(厚度忽略不计)，激光笔由B处引出的光线BE经过AD反射，落在内壁BC的F处已知在矩形ABCD中，AD12 dm，AB6 dm.3【数学思考】(1)设光线BE与AB的
8、夹角为，AEx dm，BEy dm.为了使反射点F在内壁BC上(包括边界)，的取值范围为_；求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围030【深度思考】(2)通过取点测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/dm0123456y/dm10.410.4 10.610.811.1 11.5 12.0补全表格，结果保留一位小数(参考数据：1.73，3.61)；建立平面直角坐标系，如图2，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：i)_；ii)_33当x0时，y随x的增大而增大函数图象经过第一象限(只要符合题意均可)解：解：(1)030；在在
9、RtABE中，中，BE2AB2AE2，y (0 x6)(2)10.4；10.8.画出该函数的图象如答图所示画出该函数的图象如答图所示i)当当x0时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；ii)函数图象经过第一象限函数图象经过第一象限(只要符合题意均可只要符合题意均可)22263108xx 类型类型2与几何结合的新函数的图象与性质与几何结合的新函数的图象与性质【类型特征】本题为几何问题的函数图象探究题，考查了画函数图象以及数形结合的数学思想将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起，充分体现了数学知识之间的紧密联系，属于中考的一种常考题型【解题策略】解决这类问题的关键是善于将函数问题转化为方程
10、问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件(2020南昌第二次调研考试)如图1，在RtABC中，D为AB的中点，P是BC边上一动点，连接PD，PA.若BC4，AC3，设PCx(当点P与点C重合时，x的值为0)，PAPDy，小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整(1)通过取点、画图、计算，得到了x与y的几组值，如表：x00.511.522.533.54y5.55.15_4.945.45.5_6.77.55.06.0说明：补全表格时，相关数值保留一位小数(参考数据：1.414，3.162，3.6
11、06)21013 解题思路利用解直角三角形的方法求解即可；【解答】如答图【解答】如答图1，过点，过点D作作DHBC于点于点H，BC4，AC3，则，则ADBD ，sin B ，cos B .当当x1时，时，PC1，则，则BP413，在在APC中，中，AP ，在在BDH中，中，DHBD sin B ，同理可得，同理可得BH2，5235ACAB 452210ACPC 533252 则则PHPBBH321.在在DHP中，中，PD ，yPAPD 5.0；当当x3时，时，同理可得同理可得y6.0.22132DHHP 13102(2)如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象解题思路描点绘制函数图
12、象即可.【解答解答】描点绘制函数图象如答图2.,(3)观察图象，下列结论正确的有函数有最小值，没有最大值；函数有最小值，也有最大值；当x 时，y随着x的增大而增大；当x 时，时，y随着随着x的增大而的增大而增大，故正确；当增大，故正确；当0 x 时，时，y随着随着x的增大而减小，故错误故的增大而减小，故错误故结论正确的有结论正确的有.DEEPCGPC 3223PCPC 434343431.(2020江西师大附中6月月考)如图1，在RtABC中，C90，P是CB边上一动点，连接AP，作PQAP交AB于点Q.已知AC3 cm，BC6 cm，设PC的长度为x cm，BQ的长度为y cm.活动一：对函
13、数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围活动二：(2)列表：根据函数关系式补全表格：(说明：补全表格时，相关数据保留一位小数)m的值约为 2.6 cm.(参考数据：1.73，2.24)(3)描点、连线，在平面直角坐标系中(如图2)，描出补全后的表格中各组数值所对应的点(x，y)，画出该函数的图象35x/cm00.51.01.52.02.533.544.556y/cm01.54 2.24 2.52m2.45 2.24 1.96 1.63 1.26 0.860数学思考：(4)结合画出的函数图象，解决问题：根据图象写出该函数的一条性质：_；若点P不与B，
14、C两点重合，是否存在点P，使得BQBP？_(填“存在”或“不存在”)该函数值y先是随着x的增大而增大后随着x的增大而减小不存在解：解：(1)如答图如答图1，过点，过点Q作作QHBC于点于点H.在在RtACB中，中，AC3，BC6，AB ，在在RtBQH中，中，QHQBsin B y，BHQBcos B y，PH6x y.C90PHQ，APPQ，CAPAPC90，APCQPH90，2222363 5ACBC 552 552 55CAPQPH，ACPPHQ，y (0 x6)ACPCPHQH 32 55655xxyy 256 523xxx (2)2.6.(3)该函数的图象如答图该函数的图象如答图2.
15、(4)该函数值该函数值y先是随着先是随着x的增大而增大后随着的增大而增大后随着x的增大而减小的增大而减小不存在不存在【解法提示】若BQBP，则BPQBQP.BQPAPQPAQ90，BPQBQPQBP180，与三角形内角和为180相矛盾，不存在点P，使得BQBP.2(2020南昌第一次调研考试)数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究，下面是小明同学的探究过程，请补充完整：如图1，已知在RtABC中，ACB90，A30，BC2 cm，点P为AB边上的一个动点，连接PC.设BPx cm，CPy cm.【初步感知】(1)当CPAB时，则x_，y_；【深入思考】(2)试求
16、y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)通过取点测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.511.522.533.54y/cm21.81.7_22.32.63.0_1.83.513(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)1)建立平面直角坐标系，如图2，描出补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；2)结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：_；_y的最小值为1.7当0 x1时，y随x的增大而减小解：解：(1)1，【解法提示解法提示】当】当CPAB时，时，BP BC1，CP (2)过点过点C作作CDAB于点于点D，由由(1)可知，可知，BD1，CD ，当当0 x1
17、时，如答图时，如答图1，PD1x，PC y .3123224xx .31222当当1x4时，如答图时，如答图2，PDx1，PC ，综上，综上，y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y (0 x4)224xx (3)1)当当x1.5时，时，y 1.8，当当x4时，时，y 3.5，补全表格如下：补全表格如下：2243.25xx 22412xx x/cm00.511.522.533.54y/cm21.81.7_22.32.63.0_1.83.5函数图象如答图函数图象如答图3所示所示2)由函数图象由函数图象得得，y的最小值为的最小值为1.7；当；当0 x1时，时，y随随x的增大而减的增大而减小小
