1、第第22讲圆的基本性质讲圆的基本性质考点考点1 圆的有关概念及其圆的有关概念及其性质性质 圆上任意两点间的部分圆上任意两点间的部分顶点在圆心的角顶点在圆心的角温馨提示温馨提示圆圆的对称轴有无数条的对称轴有无数条;对称中心是圆心对称中心是圆心.考点考点2 垂径定理及其垂径定理及其推论推论 BE温馨提示温馨提示解解与垂径定理有关的计算题时往往需要添辅助线与垂径定理有关的计算题时往往需要添辅助线,一般过圆一般过圆心作弦的垂线心作弦的垂线,构造直角三角形构造直角三角形.考点考点3 圆心角、弧、弦的圆心角、弧、弦的关系关系 温馨提示温馨提示圆心角圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆或等圆中才成立、弧和
2、弦之间的等量关系必须在同圆或等圆中才成立.圆心角圆心角弦弦圆心角、两条弧、两条弦圆心角、两条弧、两条弦考点考点4 圆周角定理及其圆周角定理及其推论推论 90温馨提示温馨提示1.一条弦对着两条弧一条弦对着两条弧,其中一条弧所对的圆周角与另一条弧所其中一条弧所对的圆周角与另一条弧所对的圆周角互补对的圆周角互补.2.一条弧只对着一个圆心角一条弧只对着一个圆心角,但对着无数个圆周角但对着无数个圆周角.考点考点5 圆内接圆内接四边形四边形 对角互补对角互补内对角内对角考点考点6 圆中常用辅助圆中常用辅助线线 直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是90核心素养核心素养1.在数学实践活动课中在数学实践活动课中
3、,小辉利用自己制作的一把小辉利用自己制作的一把“直角角尺直角角尺”测量、计算一些圆的直径测量、计算一些圆的直径.如图如图,直角角尺中直角角尺中,AOB=90,将将点点O放在圆周上放在圆周上,分别确定分别确定OA,OB与圆的交点与圆的交点C,D,读得数据读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径约为则此圆的直径约为()A.17B.14C.12 D.10C解析解析:如图如图,连接连接CD.AOB=90,CD为该圆的直径为该圆的直径.2.如图如图,公园内有一个半径为公园内有一个半径为20米的圆形草坪米的圆形草坪,A,B是圆上的是圆上的点点,O为圆心为圆心,AOB=120,从从A到到B只有只有路路 .一
4、部分市民为一部分市民为走走“捷径捷径”,踩坏了花草踩坏了花草,走出了一条小路走出了一条小路AB.通过计算可知通过计算可知,这这些市民其实仅仅些市民其实仅仅少走了少走了_步步(假设假设1步为步为0.5米米,结果结果保留整数保留整数).(参考数据参考数据:1.732,取取3.142)15解析解析:如图如图,过点过点O作作OCAB于点于点C.AOB=120,BOC=60.OB=20米米,少走了少走了41.89-34.64=7.25(米米),则则少走少走7.250.5=14.515(步步),即少走即少走15步步.数学文化数学文化3.九章算术作为古代中国乃至东方的第一九章算术作为古代中国乃至东方的第一部
5、部自自成体系的数学专著成体系的数学专著,与古希腊的与古希腊的几何原本几何原本并并称为现代数学的两大源泉称为现代数学的两大源泉.在九章算术在九章算术中中记载记载有一问题有一问题:“今有圆材埋在壁中今有圆材埋在壁中,不知大小不知大小.以以锯锯之锯锯之,深一寸深一寸,锯道长一尺锯道长一尺,问径几何问径几何?”小辉同学根据原文小辉同学根据原文题意题意,画出圆材截面图如图所示画出圆材截面图如图所示,已知已知:锯口深为锯口深为1寸寸,锯道锯道AB=1尺尺(1尺尺=10寸寸),则该圆材的直径为则该圆材的直径为_寸寸.26解析解析:如图如图,过圆心过圆心O作作DEAB于点于点H,连接连接OA,AH=AB=5寸
6、寸.设设OH=x寸寸,则则OD=OA=(x+1)寸寸,(x+1)2=x2+52,解得解得x=12,OA=OD=13(寸寸).DE=2OD=26(寸寸),即圆材的直径为即圆材的直径为26寸寸.命题命题1 垂径定理及其推论垂径定理及其推论【典例【典例1】(2020宁夏宁夏)我国古代数学我国古代数学经典经典著作著作九章算术中记载了一个九章算术中记载了一个“圆材圆材埋埋壁壁”的问题的问题:“今有圆材埋在壁中今有圆材埋在壁中,不知大小不知大小.以以锯锯之锯锯之,深一寸深一寸,锯道长一尺锯道长一尺.问径几何问径几何?”意思是意思是:今有一圆今有一圆柱形木材柱形木材,埋在墙壁中埋在墙壁中,不知其大小不知其大
7、小.用锯去锯这木材用锯去锯这木材,锯口深锯口深ED=1寸寸,锯道长锯道长AB=1尺尺(1尺尺=10寸寸).问这根圆柱形木材的直问这根圆柱形木材的直径是径是_寸寸.26【思路导引】【思路导引】根据题意可知根据题意可知OEAB,由垂径定理得由垂径定理得AD的长的长度度,然后在然后在RtOAD中利用勾股定理构建方程求解木材的半中利用勾股定理构建方程求解木材的半径径,即可得直径即可得直径.解析解析:由题意可知由题意可知,OEAB,OE为为O半径半径,设半径设半径OA=OE=r,ED=1,OD=r-1.在在RtOAD中中,由勾股定理由勾股定理,得得(r-1)2+52=r2,解得解得r=13.木材直径为木
8、材直径为26寸寸.【变式训练】【变式训练】1.(2020滨州滨州)在在O中中,直径直径AB=15,弦弦DEAB于点于点C,若若OC OB=3 5,则则DE的长为的长为()A.6B.9C.12D.15C2.(2020广州广州)往直径为往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以的圆柱形容器内装入一些水以后后,截面如图所示截面如图所示,若水面宽若水面宽AB=48 cm,则水的最大深度则水的最大深度为为()A.8 cmB.10 cmC.16 cmD.20 cmC3.(2020湖州湖州)如图如图,已知已知AB是半圆是半圆O的直径的直径,弦弦CDAB,CD=8,AB=10,则则CD与与AB之间的距离是之
9、间的距离是_.34.(2020南通南通)已知已知O的半径为的半径为13 cm,弦弦AB的长为的长为10 cm,则则圆心圆心O到到AB的距离为的距离为_cm.12命题命题2 弧、弦、圆心角的关系弧、弦、圆心角的关系【典例【典例2】(2019自贡自贡)如图如图,O中中,弦弦AB与与CD相交于点相交于点E,AB=CD,连接连接AD,BC.【思路导引】【思路导引】(1)利用同圆中弦利用同圆中弦与与所所对弧的关系以及弧的和、差对弧的关系以及弧的和、差,通过证明通过证明 得到得到;(2)通过证明通过证明ADECBE得出结论得出结论.证明证明:(1)AB=CD,又又ADE=CBE,DAE=BCE,ADECB
10、E(ASA).AE=CE.【变式训练】【变式训练】5.如图如图,AB是是O的直径的直径,COD=34,则则AEO的度数是的度数是()A.51B.56C.68D.78A6.如图如图,AB,DE是是O的直径的直径,C是是O上的一点上的一点,且且 .(1)求证求证:BE=CE.(2)若若B=50,求求AOC的度数的度数.COE=BOE=80.AOC=100-80=20.命题命题3 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论【典例【典例3】(2020衢州衢州)如图如图,ABC内接于内接于O,AB为为O的直的直径径,AB=10,AC=6,连接连接OC,弦弦AD分别交分别交OC,BC于点于点E,F,其中点其中点
11、E是是AD的中点的中点.(1)求证求证:CAD=CBA.(2)求求OE的长的长.【思路导引】【思路导引】(1)通过通过证证 可可得结论得结论;(2)根据圆周角定根据圆周角定理及垂径定理的推论易知理及垂径定理的推论易知ABC与与CAE是直角三角形是直角三角形,再再利用相似构建比例式求解利用相似构建比例式求解.CAD=CBA.(2)AB是是O的直径的直径,ACB=90,AE=DE,OCAD.AEC=90.AEC=ACB.由由(1)知知,CAD=CBA,AECBCA.【变式训练】【变式训练】7.(2020宜昌宜昌)如图如图,E，F，G为圆上的三点，为圆上的三点，FEG=50，P点可能是圆心的是点可能
12、是圆心的是()C A B C D【变式训练】【变式训练】8.(2020恩施恩施)如图如图,O中中,ABC=70.则则BOC的度数为的度数为()A.100B.90C.80D.70C9.(2020河池河池)如图如图,AB是是O的直径的直径,点点C,D,E都在都在O上上,1=55,则则2=_.35命题命题4 圆内接四边形圆内接四边形【典例【典例4】(2020泰安泰安)如图如图,ABC是是O的内接三角形的内接三角形,AB=BC,BAC=30,AD是直径是直径,AD=8,则则AC的长为的长为()B【思路导引】【思路导引】连接连接CD,根据等腰三角形的性质得到根据等腰三角形的性质得到ACB=BAC=30,
13、根据圆内接四边形的性质得到根据圆内接四边形的性质得到D=180-B=60,求得求得CAD=30,根据直角三角形的根据直角三角形的性质即可得到结论性质即可得到结论.解析解析:如图如图,连接连接CD,AB=BC,BAC=30,ACB=BAC=30.B=180-30-30=120.D=180-B=60.AD是直径是直径,ACD=90.CAD=30.AD=8,【变式训练】【变式训练】10.(2020牡丹江牡丹江)如图如图,四边形四边形ABCD内接于内接于O,连接连接BD.若若 ,BDC=50,则则ADC的度数是的度数是()A.125B.130C.135D.140B11.(2020聊城聊城)如图如图,在在O中中,四边形四边形OABC为菱形为菱形,点点D在在 上上,则则ADC的度数是的度数是_.60
