1、第二十五讲圆 的 认 识考点一垂径定理及推论考点一垂径定理及推论【主干必备主干必备】一、圆的定义及圆的轴对称性一、圆的定义及圆的轴对称性1.1.定义定义:在一个平面内在一个平面内,线段线段OAOA绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O O旋旋转转_,_,另一个端点另一个端点A A所形成的图形所形成的图形.一周一周 2.2.轴对称性轴对称性:圆是圆是_,_,任何一条任何一条_都是它的对称轴都是它的对称轴.轴对称图形轴对称图形 直直径所在直线径所在直线 二、垂径定理及推论二、垂径定理及推论1.1.垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径垂直于弦的直径_,_,并且平分并且平分弦所对的弦所对的_._.2.2.
2、推论推论:平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径的直径_,_,并并且平分弦所对的且平分弦所对的_._.平分弦平分弦 两条弧两条弧 垂直于弦垂直于弦 两条弧两条弧 【微点警示微点警示】(1)(1)注意注意“知二推三知二推三”:一条直线满足一条直线满足:过圆心过圆心,垂垂直于弦直于弦,平分弦平分弦,平分弦所对优弧平分弦所对优弧,平分弦所对劣平分弦所对劣弧弧,这五个结论中的两个这五个结论中的两个,可以推得其他三个结论成立可以推得其他三个结论成立.(2)(2)注意注意“非直径非直径”条件条件:若一条直径所平分的弦也是若一条直径所平分的弦也是直径直径,则推论不成立则推论不成立.【核心突破核心突破】例例1
3、 1【原型题原型题】(2018(2018枣庄中考枣庄中考)如图如图,AB,AB是是O O的直的直径径,弦弦CDCD交交ABAB于点于点P,AP=2,BP=6,APC=30P,AP=2,BP=6,APC=30,则则CDCD的长的长为为()C CA.A.B.2 B.2 C.2 C.2 D.8D.815155【变形题变形题】(变换条件、结论变换条件、结论)如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径,弦弦CDCD交交ABAB于点于点P,CP=3,DP=5,APC=45P,CP=3,DP=5,APC=45,则则ABAB的长为的长为_._.2 17 【明明技法技法】垂径定理运用中的垂径定理运用中的“两注意
4、两注意”(1)(1)两条辅助线两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线一是过圆心作弦的垂线,二是连接圆心二是连接圆心和弦的一端和弦的一端(即半径即半径),),这样把半径、弦心距、弦的一半这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解运用勾股定理求解.(2)(2)方程思想方程思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常常将未知的一条线段设为常将未知的一条线段设为x,x,利用勾股定理构造关于利用勾股定理构造关于x x的的方程解决问题方程解决问题.这是一种用代数方法解决几何问题的解这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路题思路.【题
5、组过关题组过关】1.(20191.(2019武汉硚口区模拟武汉硚口区模拟)半径为半径为1010的的O O中中,弦弦AB=16,AB=16,则点则点O O到弦到弦ABAB的距离为的距离为()A.10A.10B.8B.8C.6C.6D.5D.5C C2.(20192.(2019北部湾中考北部湾中考)九章算术九章算术作为古代中国乃作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的与古希腊的几几何原本何原本并称现代数学的两大源泉并称现代数学的两大源泉.在在九章算术九章算术中中记载有一问题记载有一问题“今有圆材埋在壁中今有圆材埋在壁中,不知大小不知大小.以锯锯以锯
6、锯之之,深一寸深一寸,锯道长一尺锯道长一尺,问径几何问径几何?”?”小辉同学根据原小辉同学根据原文题意文题意,画出圆材截面图如图所示画出圆材截面图如图所示,已知已知:锯口深为锯口深为1 1寸寸,锯道锯道AB=1AB=1尺尺(1(1尺尺=10=10寸寸),),则该圆材的直径为则该圆材的直径为_寸寸.世纪金榜导学号世纪金榜导学号 26 26 3.(3.(易错警示题易错警示题)在在O O中中,半径为半径为5,ABCD,5,ABCD,且且AB=6,AB=6,CD=8,CD=8,则则AB,CDAB,CD之间的距离为之间的距离为_._.1 1或或7 7 4.4.如图是如图是“明清影视城明清影视城”的圆弧形
7、门的圆弧形门,黄红同学到影视黄红同学到影视城游玩城游玩,很想知道这扇门的相关数据很想知道这扇门的相关数据.于是她从景点管于是她从景点管理人员处打听到理人员处打听到:这个圆弧形门所在的圆与水平地面是这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的相切的,AB=CD=20 cm,BD=200 cm,AB=CD=20 cm,BD=200 cm,且且AB,CDAB,CD与水平地面与水平地面都是垂直的都是垂直的.根据以上数据根据以上数据,请你帮助黄红同学计算出请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少?世纪金世纪金榜导学号榜导学号略略考点二圆心角、弧、弦之间
8、的关系考点二圆心角、弧、弦之间的关系【主干必备主干必备】圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系1.1.定理定理:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等的圆心角所对的弧_,_,所对的弦也所对的弦也_._.相等相等 相等相等 2.2.推论推论:在同圆或等圆中在同圆或等圆中,两个圆心角两个圆心角,两条弧两条弧,两条弦两条弦中如果有一组量中如果有一组量_,_,那么它们所对应的其余那么它们所对应的其余各组量都分别各组量都分别_._.相等相等 相等相等 【微点警示微点警示】(1)(1)注意成立的条件注意成立的条件:圆心角、弧、弦之间的关系定理圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论成立
9、的大前提是及推论成立的大前提是“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”.(2)(2)注意推出的依据注意推出的依据:圆心角、弧、弦之间的关系定理圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论及推论,都是来源于都是来源于“圆的旋转不变性圆的旋转不变性”.【核心突破核心突破】例例2(20192(2019南京中考南京中考)如图如图,O O的弦的弦AB,CDAB,CD的延长线相的延长线相交于点交于点P,P,且且AB=CD.AB=CD.求证求证:PA=PC.:PA=PC.【思路点拨思路点拨】连接连接AC,AC,由圆心角、弧、弦的关系得出由圆心角、弧、弦的关系得出 ,进而得出进而得出 ,根据等弧所对的圆周角相根据等弧所对的圆周
10、角相等得出等得出ACP=CAP,ACP=CAP,根据等角对等边证得结论根据等角对等边证得结论.AB CDAD CB【自主解答自主解答】略略【明明技法技法】圆中证明弦相等的两个思路圆中证明弦相等的两个思路(1)(1)根据圆周角相等根据圆周角相等,得到弦相等得到弦相等.(2)(2)根据弧相等根据弧相等,得到弦相等得到弦相等.【题组过关题组过关】1.1.如图如图,AB,CD,AB,CD是是O O的直径的直径,若若AOE=32AOE=32,则则COECOE的度数是的度数是()AEBDD DA.32A.32B.60B.60C.68C.68D.64D.642.2.如图如图,在在O O中中,都是劣弧都是劣弧
11、,且且 ,那么那么弦弦ABAB、CDCD的数量关系是的数量关系是()ABCD，AB2CDC CA.AB2CDA.AB2CDB.AB=2CDB.AB=2CDC.AB2CDC.AB2CDD.AB,CDD.AB,CD的大小无法确定的大小无法确定3.(20193.(2019自贡中考自贡中考)如图如图,O O中中,弦弦ABAB与与CDCD相交于点相交于点E,AB=CD,E,AB=CD,连接连接AD,BC.AD,BC.求证求证:(1).(2)AE=CE.:(1).(2)AE=CE.AD BC【证明证明】(1)AB=CD,(1)AB=CD,ABCDADACBCAC，即，ADBC.(2)(2)AD=BC,AD
12、=BC,又又ADE=CBE,DAE=BCE,ADE=CBE,DAE=BCE,ADEADECBE(ASA),CBE(ASA),AE=CE.AE=CE.ADBC，考点三圆周角定理及推论考点三圆周角定理及推论【主干必备主干必备】圆周角定理及推论圆周角定理及推论1.1.定理定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_._.一半一半 2.2.推论推论:(1)(1)半圆半圆(或直径或直径)所对的圆周角是所对的圆周角是_,90_,90的的圆周角所对的弦是圆周角所对的弦是_._.(2)(2)同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角_._.直角直角 直径直径 相等相等
13、 【微点警示微点警示】(1)(1)圆心角与圆周角的区别圆心角与圆周角的区别:前者的顶点在圆心前者的顶点在圆心,后者的后者的顶点在圆上顶点在圆上.(2)(2)等弧的含义等弧的含义:在同圆或等圆中能够互相重合的弧为在同圆或等圆中能够互相重合的弧为等弧等弧.【核心突破核心突破】例例3(20183(2018黑龙江中考黑龙江中考)如图如图,AC,AC为为O O的直径的直径,点点B B在圆在圆上上,ODAC,ODAC交交O O于点于点D,D,连接连接BD,BDO=15BD,BDO=15,则则ACB=_.ACB=_.6060 【明明技法技法】圆中角的转化圆中角的转化(1)(1)解决与圆有关的角度的相关计算时
14、解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角一般先判断角是圆周角还是圆心角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆再转化成同弧所对的圆周角或圆心角心角,利用同弧所对的圆周角相等利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解是圆心角的一半等关系求解.(2)(2)在圆中当有直径这一条件时在圆中当有直径这一条件时,往往要用到直径所对往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件的圆周角是直角这一条件,若含若含4545角角,可设法构造等可设法构造等腰直角三角形腰直角三角形;若含若含3030或或6060角角,则设法构造含有则设法构造含有3030角的直角三角形角的直角
15、三角形.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019甘肃中考甘肃中考)如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径,点点C,DC,D是圆是圆上两点上两点,且且AOC=126AOC=126,则则CDB=CDB=()C CA.54A.54B.64B.64C.27C.27D.37D.372.(20192.(2019滨州中考滨州中考)如图如图,AB,AB为为O O的直径的直径,C,D,C,D为为O O上上两点两点,若若BCD=40BCD=40,则则ABDABD的大小为的大小为()B BA.60A.60B.50B.50C.40C.40D.20D.203.(20193.(2019连云港中考连云港中考)如
16、图如图,点点A,B,CA,B,C在在O O上上,BC=6,BC=6,BAC=30BAC=30,则则O O的半径为的半径为_._.6 6 4.(4.(综合训练题综合训练题)如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,已知已知A A经经过点过点E,B,C,O,E,B,C,O,且且C(0,6),E(-8,0),O(0,0),C(0,6),E(-8,0),O(0,0),则则cosOBCcosOBC的值为的值为_._.455.(20195.(2019湖州模拟湖州模拟)在在O O中中,直径直径ABCDABCD于点于点E,E,连接连接COCO并延长交并延长交ADAD于点于点F,F,且且CFAD.CFAD
17、.求求D D的度数的度数.世纪金榜导学号世纪金榜导学号略略考点四圆内接四边形考点四圆内接四边形【主干必备主干必备】圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角_._.【微点警示微点警示】(1)(1)圆内接四边形的含义圆内接四边形的含义:四个顶点都在同一个圆上的四个顶点都在同一个圆上的四边形四边形.(2)(2)圆内接平行四边形圆内接平行四边形:圆内接平行四边形对角相等且圆内接平行四边形对角相等且互补互补,可得四个角都是直角可得四个角都是直角,因此它是矩形因此它是矩形.【核心突破核心突破】例例4 4【原型题原型题】(2019(2019镇江中考镇江中考)如图如图,四边形四
18、边形ABCDABCD是是半圆的内接四边形半圆的内接四边形,AB,AB是直径是直径,.,.若若C=110C=110,则则ABCABC的度数等于的度数等于()DC CBA AA.55A.55B.60B.60C.65C.65D.70D.70【变形题变形题】(变换条件、结论变换条件、结论)如图如图,A,B,C,A,B,C三点都在三点都在O O上上,点点D D是是ABAB延长线上一点延长线上一点,CBD=70,CBD=70,则则AOCAOC的度数的度数为为()D DA.55A.55B.70B.70C.110C.110D.140D.140 【明明技法技法】圆内接四边形的角的圆内接四边形的角的“两种两种”关
19、系关系(1)(1)对角互补对角互补:若四边形若四边形ABCDABCD为为O O的内接四边形的内接四边形,则则A+C=180A+C=180,B+D=180,B+D=180.(2)(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接简称圆内接四边形的外角等于其内对角四边形的外角等于其内对角.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019宁波模拟宁波模拟)在圆内接四边形在圆内接四边形ABCDABCD中中,若若AABC=123,BC=123,则则D D的度数是的度数是()A.45A.45B.60B.60C.90C.90D.135D.135C C2.(20192.(2019兰州中考兰州中考)如图如图,四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O,O,若若A=40A=40,则则C=C=()D DA.110A.110 B.120B.120C.135C.135D.140D.1403.3.如图如图ABAB为为O O的直径的直径,弦弦CDAB,CDAB,垂足为点垂足为点E,KE,K为为 上上一动点一动点,AK,DC,AK,DC的延长线相交于点的延长线相交于点F,F,连接连接CK,KD.CK,KD.AC(1)(1)求证求证:AKD=CKF.:AKD=CKF.(2)(2)若若AB=10,CD=6,AB=10,CD=6,求求tanCKFtanCKF的值的值.【解析解析】略略
