1、一、列一元二次方程解决率类问题例1、今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元。假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）A 25002=3500 （认真王老师的公众号：初三数学语文英语）B2500（1+x）2=3500C 2500（1+x%）2=3500D2500（1+x）+2500（1+x）2=3500【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500（1+x）2=3500，故选B例2、为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011
2、年投资18.59万元。则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是 ，从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资 万元。【解答】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x11（1+x）2=18.59x=30%（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是30%11（1+30%）=14.3万元11+14.3+18.59=43.89万元故答案为：30%；43.89练 习1、股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价。若这两天此股票股
3、价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）A （1+x）2= B （1+x）2=C 1+2x= D 1+2x=【解答】解：设平均每天涨x，则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B。（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）2、某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ）A 20% B 40% C220% D 30%【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2解得：x1=0.2=20
4、%，x2=2.2（舍去），故每年投资的增长率为为20%，故选：A3、随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆。己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（ ）A10（1+x）2=16.9B10（1+2x）=16.9C10（1x）2=16.9D10（12x）=16.【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，
5、故选：A二、列一元二次方程解决数字类问题例1、已知一个两位数的十位数字比个位数字大 2，两位数字的积比这个两位数小34，求这个两位数。【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x2根据题意，得x(x2)3410(x2)x解得x12，x27当x2时，x24当x7时，x29. （认真王老师的公众号：初三数学语文英语）所以这个两位数为42或97例2、已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数。【解答】解：设这三个奇数分别为 x-2，x，x+2(x-2)2+x2+(x+2)2=371解得x111，x2-11：初三数学语文英语）答：这三个奇数分别为9
6、，11，13或-13，-11，-9练 习1,已知两个连续奇数的积是255，求这两奇数。【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）解：设这三个奇数分别为x，x+2X（x+2）255解得x115，x2-17答：这两个奇数是15，17或-17，-15三、列一元二次方程解决营销类问题例1、为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为
7、800元。【解答】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元根据题意，得（x3）（50010图片）=800解得x1=7，x2=5。售价不能超过进价的200%，x3200%即x6，x=5答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元。例2、某水果经销商销售一种水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，月销售量将减少400千克。现该经销商要在批发这种高档水果中保证每月盈利5060元，同时又要价格尽可能的低，那么每千克应涨价多少元？【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）解：设每千克应涨价x元，依题意得方程：（50
8、00400图片）（1+x）=5060，整理，得200250x+3=0，解这个方程，得x1=0.1，x2=0.15。又要价格尽可能的低，应取x=0.1。答：每千克应涨价0.1元。练 习1、某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同。（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400（1x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）答：该种商品每
9、次降价的百分率为10%（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100m）件，第一次降价后的单件利润为：400（110%）300=60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324300=24（元/件）依题意得：60m+24（100m）=36m+24003210，解得：m22.5m23答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该商品23件。2、某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出
10、100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3x）元，则商城多售出100x0.1=1000x张。（0.3x）（500+1000x）=120，解得x1=0.3（降价不能为负数，不合题意，舍去），x2=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元。四、列一元二次方程解决面积类问题例1、如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道。若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程（）Ax2+9
11、x8=0 Bx29x8=0 Cx29x+8=0 D229x+8=0【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（183x）（62x）=60，化简整理得，x29x+8=0故选C例2、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为x米。（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花
12、坛的总费用为239万元？图片【解答】（认真王老师的公众号：初三数学语文英语）解：（1）中间横道的面积=图片（120+180）x=150x，（2）甬道总面积为150x+160x22=310x22，绿化总面积为12000S 花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：239=5.7x+（12000S）0.02，239=5.7x0.02S+240，239=5.7x0.02（310x22）+240，239=0.0420.5x+240，0.0420.5x+1=0练 习1、如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和。若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面
13、积小，则丁的一股长为何？（ ）A图片 B图片 C2图片 D42图片【解答】解：设丁的一股长为a，且a2，甲面积+乙面积=丙面积+丁面积，2a+2a=图片22+图片a2，4a=2+a2，a28a+4=0，a=42，4+22，不合题意舍，422，合题意，a=42故选D （认真王老师的公众号：初三数学语文英语）2、公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长。设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）A=18 Bx23x+16=0 C=18 Dx2+3x+16=0【解答】解：设原正方
14、形的边长为xm，依题意有=18，故选C五、列一元二次方程解决动态类问题例1、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（163x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式得（163x+2x）6=33，解之得x=5 （认真王老师的公众号：初
15、三数学语文英语）（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QEAB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，PA=3t，CQ=BE=2t，PE=ABAPBE=|165t|，由勾股定理，得（165t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm例2、等腰ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。设P点运
16、动时间为t，PCQ的面积为S。（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。【解答】解：（1）当t10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10t当t10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t10图片（4分）（2）SABC=图片（5分）当t10秒时，SPCQ=图片整理得t210t+100=0无解（6分）当t10秒时，SPCQ= 图片整理得t210t100=0解得t=55图片（舍去负值）（7分）当点P运动图片秒时，SPCQ=SABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段D
17、E的长度不会改变证明：过Q作QMAC，交直线AC于点M易证APEQCM，AE=PE=CM=QM=图片t，四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半又EM=AC=10DE=5当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变练 习1、如图，在RtABC中，B=90，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DEBC，DFAC，则出发1或5秒时，四边形DFCE的面积为20cm2。【解答】解：设点D从点A出发x秒时，则四边形DFCE的面积为20cm2，由题意，得 图片解得：x1=1，x2=5故答案为：1或5
