1、三、定义新运算（一） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.规定ab =,则2(53)之值为 .2.规定“”为一种运算,对任意两数a,b,有ab,若6x,则x= .3.设a,b,c,d是自然数,定义.则 3, 4, 1, 2 . 4.A表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成4=3.计算:= . 5.规定新运算:ab=3a-2b.若x(41)=7,则x= . 6.两个整数a和b,a除以b的余数记为ab.例如,135=3,513=5,124=0.根据这样定义的运算,(269) 4= .7.对于数a,b,c,d规定.如果,那么x= .8.规定:62=6+66=72,23=
2、2+22+222=246, 14=1+11+111+1111=1234.75= . 9.规定:符号“”为选择两数中较大数,“”为选择两数中较小数.例如:35=5,35=3.那么,(73)55(37)= . 10.假设式子表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2,b=2,依次进行计算,则计算结束时,a与b的和是 .二、解答题 11.设a,b,c,d是自然数,对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算如下: (a,b)(c,d)= (a+c,b+d);又定义运算如下: (a,b)(c,d)= (ac+bd,ad+bc).试
3、计算(1,2) (3,6)(5,4)(1,3). 12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号表示羊羊=羊;羊狼=狼;狼羊=狼;狼狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了. 小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号表示为羊羊=羊;羊狼=羊;狼羊=羊;狼狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了. 对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果: 羊(狼羊)羊(狼狼
4、). 13.表示成; 表示成. 试求下列的值: (1) ; (2); (3); (4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:. 14.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为ab,比如52=1,725=4,68=2.(1)求19912000,(519)19,(195)5;(2)已知11x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19x)19=5,而x小于50,求x.答 案1. .53=,2(53)=2.2. 8.依题意,6,因此,所以x=8.3. 280.原式.4. 5.因为有个约数,所以18=6,同样可知22=4,7=2.原式.5. 9.因为41=,所以x(41)= x1
5、0=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.6. 0.,269=8,又,故(269)4=84=0.7. 6.因为,所以,故.8. 86415.75=7+77+777+7777+77777=86415.9. 25.原式=3557=55=25.10. 14. 第1次计算后,;第2次计算后,;第3次计算后,;第4次计算后,.此时.11. (1,2)(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7). 原式=(4,8)(6,7)=(46+87,47+86)=(80,76).12. 原式=羊羊羊狼=羊羊狼=羊狼=狼.13. (1); (2); (3)因为,
6、所以; (4)令则. .14. (1)19912000=9; 由519=4,得(519)19=419=3; 由195=4,得(195)5=45=1. (2)我们不知道11和x哪个大(注意,x11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论. 1) x11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解为x=3,9,13. (3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解. 用y表示19x,不管19作除数还是被除数,19x都比19小,所以y应小于19. 方程y19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y6,所
7、以y=7,14. 当y=7时,分两种情况解19x=7. 1)x19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x50,所以x=19+7=26或=45. 当y=14时,分两种情况解19x=14. 1) x19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x50,所以x=19+14=33. 总之,方程(19x)19=5有四个解,x=12,26,33,45.三、定义新运算（二） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.规定:ab=(b+a)b,那么(23)5= .2.如果ab表示,例如34,那么,当a5=30时, a= .3.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公
8、倍数的和记为ab.例如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算,1812= . 4.已知a,b是任意有理数,我们规定: ab= a+b-1,那么 .5.x为正数,表示不超过x的质数的个数,如=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么+的值是 . 6.如果ab表示,例如45=34-25=2,那么,当x5比5x大5时, x= . 7.如果14=1234,23=234,72=78,那么45= .8.我们规定:符号表示选择两数中较大数的运算,例如:53=35=5,符号表示选择两数中较小数的运算,例如:53=35=3.请计算: . 9.规定一种新运算“”: ab=.如果(x
9、3)4=421200,那么x= .10.对于任意有理数x, y,定义一种运算“”，规定:xy=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道12=3,23=4,xm=x(m0),则m的数值是 .二、解答题11.设a,b为自然数,定义ab. (1)计算(43)+(85)的值;(2)计算(23)4;(3)计算(25)(34).12.设a,b为自然数,定义ab如下:如果ab,定义ab=a-b,如果ab,则定义ab= b- a.(1)计算:(34)9;(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说,下面两式是否成立?ab= ba;(ab)c= a(bc). 13.设a,b是两个非零的
10、数,定义ab.(1)计算(23)4与2(34). (2)如果已知a是一个自然数,且a3=2,试求出a的值. 14.定义运算“”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为ab.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则1014=70-2=68.(1)求1221,515;(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除ab;如果c整除a和ab,则c也整除b;(3)已知6x=27,求x的值.答 案1. 100.因为23=(3+2)3=15,所以(23)5=155=(5+15)5=100.2. 8.依题意,得,解得.3. 42.1812=(18,12)+18,12=6+36=
11、42.4. 98. 原式 5. 11.为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.为不超过的质数,共24个,易知=0,所以原式=+=11.6. 6.x5-5x=(3 x-25)-(35-2 x)=5 x-25,由5 x-25=5,解得x=6.7. 45678.8. .因为,0.625,所以,原式.9. 2.令x3=y,则y4=421200,又421200,所以y=24,即x3=24.又24=,故x=2.10. 4. 由题设的等式xy=及xm=x(m0),得 , 所以bm=0,又m0,故b=0.因此xy=ax-cxy. 由12=3,23=4,得 解得a=5,c=1. 所以
12、xy=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.11. (1)原式; (2)原式4=74=; (3)原式13 .12. (1)原式=(4-3)9=19=9-1=8; (2)因为表示ab表示较大数与较小数的差,显然ab= ba成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(34)9=8,而3(49)=3(9-4)=35=5-3=2.13. (1)按照定义有23,34. 于是(23)44=. 2(34)=2. (2)由已知得 若a6,则2,从而与矛盾.因此a5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入式中检查知,只有a=3符合要求.14. (1)为求1221,先求出
13、12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此1221=84-3=81,同样道理515=15-5=10. (2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除ab. 如果c整除a和ab,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除ab推知, c整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b. (3)由于运算“”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3. 由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到. 所以.
