1、2.2.1 对数与对数运算 （第1课时） 请大家计算请大家计算453828374的值？的值？ 结果结果1 2876 1212 相信如果没有计算器，没有接受过快速计算训练相信如果没有计算器，没有接受过快速计算训练 的人要计算这道题，都要花费不少时间，还不一的人要计算这道题，都要花费不少时间，还不一 能够算对，在没有计算器能够算对，在没有计算器16世纪到世纪到17世纪，天文世纪，天文 学家，航海学家，工程学家每天都要面对无数这样学家，航海学家，工程学家每天都要面对无数这样 大的数，那么有没有什么办法简化这样的运算呢？大的数，那么有没有什么办法简化这样的运算呢？ 这就是对数发明的原因这就是对数发明的
2、原因 二、对数的由来二、对数的由来 早在公元前早在公元前200年，古希腊著名数学家阿基米德就注意到年，古希腊著名数学家阿基米德就注意到 下面这两组数据之间的联系下面这两组数据之间的联系 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106，107 0，1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 用今天的语言来说，这两组数之间存在一一对应关系用今天的语言来说，这两组数之间存在一一对应关系 并且第一列数的乘法或除法对应第二列数的加法或减法并且第一列数的乘法或除法对应第二列数的加法或减法 如如102 105=107，对应下列的数，对应下列的数2+5=7 通过这样子的对应，可以把繁琐的乘除运算转化
3、成简单通过这样子的对应，可以把繁琐的乘除运算转化成简单 的加减运算的加减运算 二、知识探究二、知识探究 思考思考1: 24 2 2 思考思考2: 若若2x16，则，则x 若若2x ,则则x 若若4x8， 则则x 若若2x3， 则则x 4 1 16 4 1 2 3 4 2 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程，苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程， 为简化运算发明了对数为简化运算发明了对数 满足满足2x3的的x的值，用的值，用log23表示，即表示，即xlog 2 3， 并叫做并叫做“以“以2为底为底3的对数”的对数”. 思考思考3: 若若2x16，则，则 x 若若2x ,则则 x 若若4x8，
4、 则则 x 1 4 若2x3， 则则x log23 log216 log2 4 1 log48 二、知识探究二、知识探究 三、概念讲解三、概念讲解 1 01( ) x N aaaNx a 、对对数数 一一般般地地，如如果果且且，那那么么数数叫叫做做 以以 为为底底 的的对对数数； log N x a log. a xN 记记作作： . Na底底其其中中叫叫做做对对数数的的，叫叫做做真真数数数数 三、概念讲解三、概念讲解 1 64 2 6 (1) 5 =25 (2) 2= 根根据据对对数数定定义义；表表述述下下列列各各式式： _以以 为为底底的的对对数数是是_ 1 2 64 6 以以 为为底底的
5、的对对数数是是， 1 01( ) x N aaaNx a 、对对数数 一一般般地地，如如果果且且，那那么么数数叫叫做做 以以 为为底底 的的对对数数； log. a xN 记记作作： 5 252log 记记作作5252 2 1 64 log6 三、概念讲解三、概念讲解 1对对数数式式与与指指数数式式思思考考 ：之之间间联联系系 = x aN 名称名称 式子式子 =指指数数式式 x aN log= a N x对对数数式式 axN 底底数数 底底数数 幂幂指指数数 对对数数 幂幂 真真数数 log a Nx 01,aa当当且且时时 三、概念讲解三、概念讲解 00212log () logaa aa
6、 当当时时，且且时时思思考考，：、存存在在吗吗？ 若存在若存在log a(-2)=x,则则 a x= 2 若存在若存在log a0=x,则则 a x=0 当当a0，且，且a1时时,恒有恒有a x 0 2log a Nx 、对对数数式式中中各各字字母母的的取取值值范范围围 (1) 01aa数数：且且底底 (02) N真真数数： log x a aNNx 负数与零没有对数负数与零没有对数 四、例题分析四、例题分析 例例1 将下列指数式写成对数式：将下列指数式写成对数式： 4 6 (1)5625 1 (2)2 64 (3)327 1 (4)5.73 3 a m 5 (1)log 6254 2 1 (
7、2)log6 64 3 (3)log 27a 4 1 3 ( ) log 5.73m log x a NxaN 底数底数 指数指数 幂幂 底数底数 真数真数 对数对数 练习练习1 将下列指数式写成对数式：将下列指数式写成对数式： （1） （4） （3） （2） 3225532log2 2 1 2 1 1 2 1 log2 813 x x 81log3 6 1 4 x x 6 1 log4 log x a NxaN 底数底数 指数指数 幂幂 底数底数 真数真数 对数对数 （1）常用对数常用对数： 10为底的对数为底的对数 N 10 log简记作：简记作：lgN。 例如：例如： 10 log5lg
8、5 10 log3.5lg3.5 （2）自然对数自然对数： 无理数无理数e (=2.71828)为底的对数为底的对数 N e log简记作：简记作：lnN。 log 3=ln3 log 5=ln5 ee 例例如如 3.两个重要对数两个重要对数: 三、讲授新课三、讲授新课 例例2 将下列对数式写成指数式：将下列对数式写成指数式： 2 100.01 (4)lg0.012 3 1 5 125 5 1 (2)log3 125 2.303 10e (3)ln102.303 3 1 27 3 1 3 (1)log 273 四、例题分析四、例题分析 log x a NxaN 底数底数 指数指数 幂幂 底数底
9、数 真数真数 对数对数 logln e NN 10 loglgNN 练习练习 （1） （4） （3） （2） 2 将下列对数式写成指数式：将下列对数式写成指数式： 3 1 10 1000 1 lg3 1000 12553 3125log5 2 2 1 e e 2 1 ln2 e 932 29log3 五、练习巩固五、练习巩固 例例3 求下列各式中求下列各式中x的值：的值： 64 2 (1)log(2)log 86 (3)lg100 3 x xx ； 求真数求真数 求底数求底数 求对数求对数 四、例题分析四、例题分析 2 3 64 2 (1)log64 3 xx 解由得 6 (2)log 868
10、 x x由得 22 62 33 1 64(2 )2 4 x (3)lg100101002 x xx由 得 11 6 66 ()8 ,= 2xx即 性质探究性质探究 21 2 (1)log 1 (2)log 1 (3)ln1 填填空空 2 (1)log 1, x 解解： 设设21,0 x x则则有有 0 1 2 (2)log 1, x 设设 1 ( )1,0 2 x x则则有有 0 (3)ln1, x 设设1,0 x ex则则有有 0 log 10 a 性性质质1 1： 即：即：1的对数是的对数是0 性质探究性质探究 3 1 2 1 (1)log 3 (2)log (3)ln 2 e 填填空空
11、3 (1)log 3, x 解解： 设设33,1 x x则则有有 1 2 1 (2)log, 2 x 设设 11 ( ),1 22 x x则则有有 (3)ln,ex 设设,1 x eex则则有有 log1 aa 性性质质2 2： 即：底数的对数是即：底数的对数是1 1 1 1 性质探究性质探究 42.35 31 2 1 (1)log 3 (2)log ( ) (3)ln 2 e 填填空空 3 4 (1)lo3g, x 解解： 设设 4 33,4 x x则则有有 1 2.3 2 1 ( )(2)log, 2 x 设设 2.3 1 ( ) 1 (, 22 )2.3 x x则则有有 5 (3)ln,
12、ex 设设 5 ,5 x exe 则则有有 log b aa b 性性质质3 3： 4 2.3 -5 三、知识讲解三、知识讲解 3(01)aa、对对数数性性质质且且 (1)log 1=0 a (2)log=1 a a (3)log n a an log log a b a Nb NbaN aaN 分分析析：设设，则则， log (4) a N Na 对对数数恒恒等等式式 0 =1a 1 aa 2 log 10 (1)2=10 logaN aN 2 11 log 10 22 = 2=10 = 10 2 1 log 10 2 =2 2=2 10 2 1 log 10 2 (2)2 2 1 1+ l
13、og 10 2 (3)2 练习练习3 计算：计算： 五、练习巩固五、练习巩固 六、性质探究六、性质探究 log x a NxaN 底数底数 指数指数 幂幂 底数底数 真数真数 对数对数 1、负数与零没有对数（真数、负数与零没有对数（真数N大于大于0） 2 log 10 a 、 即：即：1的对数是的对数是0 3 log1 aa 、 即：底数的对数是即：底数的对数是1 4log b aa b 、对对数数恒恒等等式式： 代回代回 logaN aN 22 22 101 1 2 3 4 , ( )lglg; ( )lnln; ( )loglog; ( )loglog _ aa aa aa MNMN MN
14、MN MNMN MNMN 、对对于于，下下列列说说法法： 若若，则则 若若，则则 若若，则则 若若，则则 正正确确的的有有 0N 10 lg=logNN ln=logeNN 五、练习巩固五、练习巩固 3 6 2 10 2103 31010 4644 log _ ( )lg(ln ); ( )lg; ( )lg; ( ). x e xx x 、下下列列叙叙述述正正确确的的是是 若若，则则 若若，则则 10 =10x log1 a a log n a na log01 a logaN Na 五、练习巩固五、练习巩固 2 21 31 () log x xx 、对对数数式式中中 的的取取值值范范围围是是 4、若、若 log 5log3(log2 x)=0，x =_ 五、练习巩固五、练习巩固 即：即：1的对数是的对数是0 1 1、（作业本）、（作业本）P74 P74 习题习题2.2 A2.2 A组组 1 1、2 2 2 2、练习册练习册第一课时第一课时 对数对数
