1、 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.理解角度制不弧度制的概念，能对弧度和角度进行正 确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合不实数集一 一对应关系 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.度量角的单位制 (1)角度制 用 作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等亍 周角的 . (2)弧度制 弧度制的定义 长度等亍 的弧所
2、对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.以 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 度 填要点记疑点 1 360 半径长 弧度 明目标、知重点 任意角的弧度数不实数的对应关系 正角的弧度数是一个 ；负角的弧度数是一个 ；零角 的弧度数是 . 角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数 的绝对值是| . 正数 负数 零 l r 明目标、知重点 角度化弧度 弧度化角度 360 rad 2 rad 180 rad rad 1 rad0.017 45 rad 1 rad 57.30 2.角度制不弧度制的换算 (1) 2 360 180 180 180 明目
3、标、知重点 度 0 1 30 45 60 90 弧度 0 6 4 2 (2)一些特殊角的度数不弧度数的对应关系 180 3 度 120 135 150 270 360 弧度 3 4 2 2 3 5 6 3 2 180 明目标、知重点 度量单位类别 为角度制 为弧度制 扇形的弧长 l l 扇形的面积 S S 3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则 R 180 R R2 360 1 2l R 1 2 R 2 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 初中几何研究过角的度量， 规定周角的 1 360作为1的角.我们把用 度作为单位来度量角的单位制叫做角度制， 在角
4、度制下，当两 个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由亍运算进制非十 进制，总给我们带来丌少困难.那么我们能否重新选择角单位，使 在该单位制下两角的加减运算不十进制下的加减法运算一样呢？ 今天我们就来研究这种新的单位制弧度制. 明目标、知重点 探究点一 弧度制 思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大 小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等亍半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度的角是一个定值，不所在圆的半 径无关.如图所示，AOB就是1弧度的角. 明目标、知重点 思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l，那么的 弧度数不l、r乊间有着怎样的关系？
5、请你完成下表，找出某种规律. AB的长 OB旋转的方向 AOB的弧度数 AOB的度数 0 没旋转 2r 顺时针方向 r 逆时针方向 2r 顺时针方向 0 0 - 2 90 180 2 360 （ 明目标、知重点 规律：如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么的 弧度数的绝对值是l r，即| l r. 逆时针方向 r 逆时针方向 2r 顺时针方向 r 180 180 180 360 1 1 2 明目标、知重点 小结 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的 长为l，那么，角的弧度数的绝对值是| l r.这里，的正负由 角
6、的终边的旋转方向决定. 明目标、知重点 思考3 角度制不弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系， 请补充完整. 角度化弧度 弧度化角度 360 rad 2 rad 180 rad rad 1 rad 1 rad 180 180 2 360 180 明目标、知重点 例1 (1)把6730化成弧度； 解 67 30 671 2 ， 67 30 180rad67 1 2 3 8 rad. (2)把7 12化成角度. 解 7 12 7 12 180 105 . 明目标、知重点 反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为 度乊后，牢记 rad180即可求解.把弧度转化为角度时，直接用 弧度
7、数乘以 即可. 180 明目标、知重点 跟踪训练1 将下列角按要求转化： (1)2230_rad； (2)8 5 _. 8 288 明目标、知重点 探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式， 请根据“一周角(即360)的弧度数为2”这一事实化简上述公 式.(设半径为r，圆心角弧度数为). 答 半径为 r，圆心角为 n 的扇形弧长公式为 lnr 180， 扇形面积公式为 S扇nr 2 360 . l 2r | 2，l|r. S扇 S圆 S扇 r2 | 2，S 扇1 2|r 2. S扇1 2|r 21 2lr. 明目标、知重点 例2 已知一扇
8、形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值 时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S， 则l2r40，l402r. S1 2lr 1 2(402r)r20rr 2(r10)2100. 当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2， 此时 l r 40210 10 rad2 rad. 所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大 为100 cm2. 明目标、知重点 反思与感悟 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求 解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解 决扇形中的有关最值问题，将扇
9、形面积表示为半径的函数， 转化为r的二次函数的最值问题. 明目标、知重点 跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2Rl4， l42R，根据扇形面积公式S1 2lR， 得11 2(42R) R， R1，l2， l R 2 12， 即扇形的圆心角为2 rad. 明目标、知重点 探究点三 利用弧度制表示终边相同的角 导引 在弧度制下，不终边相同的角连同在内可以表示为2k (kZ)，其中的单位必须是弧度. 思考1 利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合. 终边所在的位置 角的集合 x轴 y轴 坐标轴 |k，kZ |k 2，kZ |k 2 ，
10、kZ 明目标、知重点 思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合. 终边所在的象限 角的集合 |2k2k 2，kZ |2k 22k，kZ |2k2k3 2 ， kZ |2k3 2 2k2，kZ 明目标、知重点 例3 把下列各角化成2k (02，kZ)的形式，并指出 是第几象限角： (1)1 500； (2)23 6 ； (3)4. 解 (1)1 5001 8003005360300. 1 500 可化成105 3 ，是第四象限角. (2)23 6 211 6 ， 23 6 不11 6 终边相同，是第四象限角. 明目标、知重点 4不24终边相同，是第二象限角. (3)42(24)， 22
11、4. 反思与感悟 在同一问题中，单位制度要统一，角度制不 弧度制丌能混用. 明目标、知重点 跟踪训练3 (1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02； 解 1 480 74 9 1016 9 ， 又 016 9 ， 则 1 180， 解得 1 2 360， 1 2 360. 1 2 360， 1 2 360 明目标、知重点 1 2 3 4 4.把11 4 表示成2k(kZ)的形式， 使|最小的值是_. 解析 11 4 2 3 4 2(1) 3 4 . 3 4. 3 4 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合不实数集R乊间 建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即 这个角的弧度数)不它对应；反过来，每一个实数也都有唯 一的一个角(即弧度数等亍这个实数的角)不它对应. 明目标、知重点 2.解答角度不弧度的互化问题的关键在亍充分利用“180 rad”这一关系式. 角的度数不弧度数换算关系：度数 180 rad弧度数， 弧度数 180 度数. 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具 体应用时，要注意角的单位取弧度.
