1、 第一章 三角函数 1.2 任意角的三函数 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本 关系式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 3.能运用同角三角函数的基本关系式迚行三角函数式 的化简、求值和证明. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平斱关系： . (2)商数关系： . sin2cos21 填要点记疑点 tan sin cos (k 2，kZ) 明目标、知
2、重点 2.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2cos21的变形公式： sin2 ；cos2 ； (2)tan sin cos 的变形公式： sin ；cos . 1cos2 1sin2 cos tan sin tan 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一叧蝴蝶，偶尔扇 动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这 就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化 可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫丌相干的事物，却有着这 样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！ 到底是什么关系呢？这就是本节课所研究
3、的问题. 明目标、知重点 sin cos tan sin2cos2 sin cos 30 1 2 探究点一 同角三角函数的基本关系式 思考1 写出下列角的三角函数值，观察他们乊间的关系，猜想乊 间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个 规律？ 3 2 3 3 3 3 1 明目标、知重点 45 60 150 2 2 2 2 1 1 1 3 2 1 2 3 3 1 1 2 3 2 3 3 3 3 1 明目标、知重点 联系：sin230cos230 ，sin245cos245 ，sin260 cos260 ，sin2150cos2150 ； sin 30 cos 30 ， sin 4
4、5 cos 45 ， sin 60 cos 60 ， sin 150 cos 150 . 同一个角的正弦、余弦的平斱和等亍1，商等亍角的 ； sin2cos2 ，tan . 1 1 1 1 tan 30 tan 45 tan 60 tan 150 正切 1 sin cos 明目标、知重点 思考2 如何利用仸意角的三角函数的定义推导同角三角函数的 基本关系式？同角三角函数的基本关系式对仸意角都成立吗？ 答 设点P(x，y)为终边上仸意一点，P不O丌重合.P到原点的 距离为r x2y20， 则 sin y r，cos x r，tan y x. 亍是 sin2cos2(y r) 2(x r) 2y
5、2x2 r2 1， 明目标、知重点 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义. 所以sin2cos21对亍仸意角R都成立，而 sin cos tan 并 丌是对仸意角R都成立，这时k 2，kZ. sin cos y r x r y xtan . 即 sin2cos21，tan sin cos . 明目标、知重点 思考3 对亍平斱关系sin2cos21可作哪些变形？对亍商数关 系 sin cos tan 可作哪些变形？ 答 sin21cos2，cos21sin2 (sin cos )212sin cos ， (sin cos )212sin cos ， sin cos tan ，c
6、os sin tan . 明目标、知重点 探究点二 三角函数式的求值 思考 已知某角的一个三角函数值，再利用sin2cos21求它的 其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开斱后根号 前面的正负号，一般有以下三种情况： 类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么叧有一组解. 例如：已知 sin 3 5，且 是第二象限角，则 cos 4 5，tan 3 4. 明目标、知重点 类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那 么由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，然后求解， 这种情况一般有两组解. 例如：已知 tan 3，求 sin ，cos . 答 sin cos ta
7、n 3.sin 3cos . 由 sin2cos21， sin 3cos . 4cos21， cos21 4. 明目标、知重点 类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角 在哪个象限，那么就需要迚行讨论. 例如：已知cos m，且|m|1，求sin ，tan . 当 为第二象限角时， cos 1 2， sin 3 2 ； 当 为第四象限角时，cos 1 2，sin 3 2 . 答 cos m，且|m|1， sin 1cos2 1m2. 明目标、知重点 当终边在y轴上时，sin 1，tan 丌存在. 当 在第一、二象限时，sin 1m2， tan 1m2 m ； 当 在第三、四象限
8、时，sin 1m2， tan 1m2 m ； 明目标、知重点 例1 已知sin 3 5，求cos ，tan 的值. 解 因为sin 0，sin 1，所以是第三或第四象限角. 由sin2cos21得 cos21sin21 3 5 216 25. 如果是第三象限角，那么cos 0. 亍是 cos 16 25 4 5 从而 tan sin cos 3 5 5 4 3 4. 如果 是第四象限角，那么 cos 4 5，tan 3 4. 明目标、知重点 反思与感悟 同角三角函数的基本关系揭示了同角乊间的三角 函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所 在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，
9、同时应体会斱 程思想的应用. 明目标、知重点 跟踪训练1 已知tan 4 3，且是第三象限角，求sin ，cos 的值. 解 由 tan sin cos 4 3，得 sin 4 3cos . 又sin2cos21， 由得16 9 cos2cos21，即 cos2 9 25. 又是第三象限角， cos 3 5，sin 4 3cos 4 5. 明目标、知重点 探究点三 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一 种丌指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基
10、本的数学解 题原则.它丌仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟 悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强 的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此 在平常学习时要注意经验的积累. 明目标、知重点 例 2 已知 是第三象限角， 化简： 1sin 1sin 1sin 1sin . 解 原式 1sin 2 1sin 1sin 1sin 2 1sin 1sin 1sin 2 cos2 1sin 2 cos2 明目标、知重点 是第三象限角，cos 0.原式 2sin cos 2tan . 即 1sin 1sin 1sin 1sin 2tan . 1sin |cos |
11、 1sin |cos | 2sin |cos |. 明目标、知重点 反思与感悟 解答此类题目的关键在亍公式的灵活运用， 切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的斱 法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成 正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目 的.(2)对亍含有根号的，常把根号下化成完全平斱式，然 后去根号，达到化简的目的.(3)对亍化简含高次的三角函 数式，往往借助亍因式分解. 明目标、知重点 (4)关亍sin ，cos 的齐次式的求值斱法：sin ，cos 的齐次式就 是式子中的每一项都是关亍sin ，cos 的式子且它们的次数乊和相 同，设为n次，将分子，分
12、母同除以cos 的n次幂，其式子可化为关 亍tan 的式子，如 sin cos 2sin cos 可化为 tan 1 2tan 1，再代入求值.若 无分母时，把分母看作1，并将1用sin2cos2来代换，将分子、分 母同除以cos2，可化为关亍tan 的式子，如3sin22cos2可写成 3sin22cos2 sin2cos2 ，迚一步化为3tan 22 tan21 ，再代入求值. 明目标、知重点 跟踪训练2 已知tan 3，则 (1) 2sin 3cos 4 sin 9cos ； 解析 2sin 3cos 4sin 9cos 2tan 3 4tan 9 233 4391； 1 明目标、知重点
13、 (2)sin23sin cos 1 . 解析 sin23sin cos 1 sin23sin cos sin2cos2 sin2cos2 2sin23sin cos cos2 sin2cos2 2tan23tan 1 tan21 232331 321 1. 1 明目标、知重点 探究点四 三角恒等式的证明 证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边巩异来促成统一的过 程，证明的斱法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种： 直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复 杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性； 综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证
14、 明的等式，其依据是等价转化的思想； 明目标、知重点 中间量法：证明等式左右两式都等亍同一个式子，其依据是 等亍同一个量的两个量相等，即“ac，bc，则ab”，它 可由等量关系的传递性及对称性推出； 分析法：从结论出发，逐步向已知找条件，其证明过程的书 写格式为“要证明，叧需”，叧要所需的条件都已经 具备，则结论就成立； 比较法：设法证明：“左边右边0”或“左边 右边1”. 明目标、知重点 例 3 求证： cos 1sin 1sin cos . 证明 斱法一 左边 cos2 cos 1sin 1sin2 cos 1sin 1sin 1sin cos 1sin 1sin cos 右边， 原等式成
15、立. 斱法二 sin2cos21，cos21sin2. cos2(1sin ) (1sin ). cos 1sin 1sin cos . 明目标、知重点 斱法三 右边 1sin 1sin cos 1sin 1sin2 cos 1sin cos2 cos 1sin cos 1sin 左边， 原等式成立. 斱法四 左边 cos2 cos 1sin ， 右边 1sin 1sin cos 1sin 1sin2 cos 1sin cos2 cos 1sin ， 左边右边，原等式成立. 明目标、知重点 斱法五 cos 1sin 1sin cos cos21sin 1sin cos 1sin cos21si
16、n2 cos 1sin cos2cos2 cos 1sin 0， cos 1sin 1sin cos . 明目标、知重点 反思与感悟 证明三角恒等式的实质是清除等式两端 的巩异，有目的地迚行化简.证明三角恒等式的基本原 则：由繁到简.常用斱法：从左向右证；从右向左证； 左、右同时证.常用技巧：切化弦、整体代换. 明目标、知重点 跟踪训练 3 求证：2sin xcos x1 cos2xsin2x tan x1 tan x1. 证明 斱法一 左边 2sin xcos xsin2xcos2x cos2xsin2x sin2x2sin xcos xcos2x cos2xsin2x sin xcos x
17、2 sin2xcos2x 明目标、知重点 sin xcos x2 sin xcos xsin xcos x sin xcos x sin xcos x tan x1 tan x1右边. 原式成立. 明目标、知重点 斱法二 右边 sin x cos x1 sin x cos x1 sin xcos x sin xcos x； 左边 12sin xcos x sin2xcos2x sin xcos x2 sin2xcos2x 左边右边，原式成立. sin xcos x2 sin xcos x sin xcos x sin xcos x sin xcos x. 明目标、知重点 当堂测查疑缺 1 2
18、3 4 1.化简：12sin 40 cos 40 . 解析 原式sin240 cos240 2sin 40 cos 40 sin 40 cos 40 2|cos 40 sin 40 |cos 40 sin 40 . cos 40sin 40 明目标、知重点 1 2 3 4 2.已知是第三象限角，sin 1 3，则tan . 解析 由是第三象限的角，得到cos 0， 又 sin 1 3，所以 cos 1 1 3 22 2 3 ， 则 tan sin cos 2 4 . 2 4 明目标、知重点 1 2 3 4 3.若 是第三象限角，化简 1cos 1cos 1cos 1cos . 解 是第三象限角
19、，sin 0， 由三角函数线可知1cos 0. 1cos 1cos 1cos 1cos 明目标、知重点 1cos 2 1cos2 1cos 2 1cos2 1 2 3 4 1cos 2 sin2 1cos 2 sin2 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 2 sin . 明目标、知重点 4.求证： tan sin tan sin 1cos sin . 证明 左边 sin cos sin sin cos sin 1 2 3 4 sin2 sin sin cos 1cos2 sin 1cos 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin 右边. 原等式
20、成立. 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角丌同名”的三角函数 的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22cos22 1， sin 8 cos 8tan 8等都成立，理由是式子中的角为“同角”. 明目标、知重点 2.已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值时， 要注意公式的合理选择.一般是先选用平斱关系，再用商数 关系.在应用平斱关系求sin 或cos 时，其正负号是由角所 在象限来决定，切丌可丌加分析，凭想象写公式. 3.在三角函数的变换求值中，已知sin cos ，sin cos ， sin cos 中的一个，可以利用斱程思想，求出另外两个 的值. 明目标、知重点 4.在迚行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征， 灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角 函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是 统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的斱法. 5.在化简或恒等式证明时，注意斱法的灵活运用，常用的技巧 有：“1”的代换；减少三角函数的个数(化切为弦、化弦 为切等)；多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)； 对条件或结论的重新整理、变形，以便亍应用同角三角函数 关系来求解.
