1、 第一章 三角函数 1.2 任意角的三函数 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.任意角三角函数的定义 (1)在平面直角坐标系中，设是一个任意角， 它的终边
2、不单位圆交于点P(x，y)，那么： y叫做的 ，记作 ，即 ； x叫做的 ，记作 ，即 ； 正弦 填要点记疑点 sin sin y 余弦 cos cos x 明目标、知重点 对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余 弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标 的比值为函数值的函数，统称为三角函数. (2)设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它不原点的距离 为r，则sin ，cos ，tan . 正切 y x叫做 的 ，记作 ，即 . tan tan y x (x0) y r x r y x 明目标、知重点 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 明目标、知重点 3.诱导公
3、式一 终边相同的角的同一三角函数的值 ，即： sin(k 2) ，cos(k 2) ， tan(k 2) ，其中kZ. 相等 sin cos tan 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐 角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广 后，这样的三角函数的定义明显丌再适用，如何对三角 函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题. 明目标、知重点 探究点一 锐角三角函数的定义 思考1 如图， RtABC中，C90，若已知 a3，b4，c5，试求sin A，cos B，sin B， cos A，tan A，tan B的值. 答 sin Aco
4、s Ba c 3 5； sin Bcos Ab c 4 5； tan Aa b 3 4；tan B b a 4 3. 明目标、知重点 思考2 如图，锐角的顶点不原点O重合，始边不 x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P(a，b)， 它不原点的距离为r，作PMx轴，你能根据直角 三角形中三角函数的定义求出sin ，cos ，tan 吗？ 答 sin b r，cos a r，tan b a. 明目标、知重点 思考3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为 圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角 的终边不单位圆交于P(x，y)点，则有：sin ， cos ，tan . y x y x 明目标、知重点
5、探究点二 任意角三角函数的概念 思考1 任意角三角函数是怎样定义的？ 单位圆定义法： 设是一个任意角，它的终边不单位圆交于点 P(x，y)，那么： 叫做的正弦，记作sin ，即sin ； 叫 做的余弦，记作cos ，即cos ；y x叫做的正切，记作 tan ，即tan (x0). y y x x y x 明目标、知重点 终边定义法： 设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它不原点的距离为r，则 有sin ，cos ，tan (x0)，其中r 0. y r x r y x x2y2 明目标、知重点 思考2 对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的 位置的改变而改变呢？ 答 由三角函数的
6、定义知，三角函数值是一个比值，即一个实 数，它的大小只不角的终边位置有关，即不角有关，不角终边 上点P的位置无关. 明目标、知重点 思考3 在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么 特点，函数值是什么？ 答 (1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数. (2)当 2k (kZ)时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横 坐标x都等于0，所以tan y x无意义，除此情况外，对于确定的值， 上述三个值都是唯一确定的实数. 明目标、知重点 (3)当是锐角时，此定义不初中定义相同；当丌是锐角时，也 能够找出三角函数，因为
7、，既然有角，就必然有终边，终边就 必然不单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终计算出三角 函数值. 明目标、知重点 例1 求5 3 的正弦、余弦和正切值. 解 在直角坐标系中， 作AOB5 3 ， AOB的终边不单位圆的交点坐标为 1 2， 3 2 ， 所以 sin 5 3 3 2 ， cos 5 3 1 2， tan 5 3 3. 明目标、知重点 反思与感悟 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需 要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、 纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时， 应分类讨论. 明目标、知重点 跟踪训练1 已知角的顶点为坐标原
8、点，始边为x轴的非 负半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin 则y . 2 5 5 ， 解析 因为 sin y 42y2 2 5 5 ， 所以y0)，因此sin 的符号不y的符号相同，当的终边在 第一、二象限时，sin 0；当的终边在第三、四象限时， sin 0)，因此cos 的符号不x的符号相同，当的终边 在第一、四象限时，cos 0；当的终边在第二、三象限时， cos 0，tan 0；当终边在第二、四象限时，xy0，cos 40 tan 0 tan 0， 得角 为第四象限角. 角为第三或第四象限角. C 明目标、知重点 探究点四 诱导公式一 思考1 诱导公式一是什么？ 答 由任意角的
9、三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同 一三角函数值相等.由此得到诱导公式一： sin(k 360)sin ，cos(k 360)cos ， tan(k 360)tan ，其中kZ， 或者：sin(2k)sin ，cos(2k)cos ， tan(2k)tan ，其中kZ. 明目标、知重点 思考2 诱导公式一的作用是什么？ 答 把求任意角的三角函数值转化为求0360的三角 函数值. 例如：sin 420 sin 60 3 2 ；cos(330 )cos 30 3 2 ； tan(315 )tan 45 1. 明目标、知重点 例3 求下列各式的值. (1)cos 25 3 tan 15 4 ；
10、 解 原式cos 8 3 tan 4 4 cos 3tan 4 1 21 3 2. 明目标、知重点 (2)sin(1 320)cos 1 110cos(1 020)sin 750tan 495. 解 原式sin(4360120)cos(336030) cos (336060)sin(236030)tan(360135) sin 120cos 30cos 60sin 30tan 135 3 2 3 2 1 2 1 210. 明目标、知重点 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数 化为0到2间的三角函数，也可把大于2的角的三 角函数化为0到2间的三角函数，即实现了“负化 正，大化小”.同时要
11、熟记特殊角的三角函数值. 明目标、知重点 跟踪训练3 求下列各式的值： (1)cos 23 3 tan 17 4 ； 解 原式cos 342 tan 422 cos 3tan 4 1 21 3 2. 明目标、知重点 (2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540. 解 原式sin(360270)tan(336045) tan(236045)cos(360180) sin 270tan 45tan 45cos 180 11110. 明目标、知重点 当堂测查疑缺 1 2 3 4 1.已知角的终边经过点(4,3)，则cos 等于( ) A.4 5 B. 3 5 C.3 5 D.
12、4 5 解析 因为角 的终边经过点(4,3)， 所以 x4， y3， r5， 所以 cos x r 4 5. D 明目标、知重点 1 2 3 4 2.如果角的终边过点P(2sin 30，2cos 30)，则cos 的值 等于( ) A.1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 解析 2sin 30 1，2cos 30 3， r2，cos 1 2. A 明目标、知重点 1 2 3 4 3.若点 P(3，y)是角 终边上的一点，且满足 y0，cos 3 5，则 tan 等于( ) A.3 4 B. 3 4 C. 4 3 D. 4 3 解析 cos 3 32y2 3 5， 32y25，y21
13、6， y0，y4，tan 4 3. D 明目标、知重点 4.tan 405sin 450cos 750 . 1 2 3 4 解析 tan 405 sin 450 cos 750 tan(360 45 )sin(360 90 )cos(720 30 )tan 45 sin 90 cos 30 11 3 2 3 2 . 3 2 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y) 在终边上的位置无关，只由角的终边位置确定.即三角函数值的 大小只不角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且 注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取. 3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
