1、 第一章 三角函数 理网络明结构 内容 索引 0101 0202 理理网络网络 明结构明结构 探探题型题型 提提能力能力 0303 0404 理网络明结构 理网络明结构 理网络明结构 例1 已知函数f(x)Asin(x)，xR(其中A0， 0，| 2)在一个周期内的简图如图所示，求函数 g(x)f(x)lg x零点的个数. 探题型提能力 题型一 数形结合思想在三角函数中的应用 解 显然A2. 由图象过(0,1)点，则f(0)1，即sin 1 2， 理网络明结构 又| 2，则 6. 又 11 12 ，0 是图象上的点，则 f 11 12 0， 即 sin 11 12 6 0，由图象可知， 11
2、12 ，0 是图象在 y 轴右侧部分 不 x 轴的第二个交点.11 12 62. 2，因此所求函数的解析式为 f(x)2sin(2x 6). 理网络明结构 以下，在同一坐标系中作函数 y2sin 2x 6 和函数 ylg x 的示 意图如图所示： 理网络明结构 f(x)的最大值为 2， 令 lg x2， 得 x100， 令11 12k100，在区间(0,100内有 31 个形如 11 12k， 17 12k (kZ,0k30)的区间，在每个区间上 yf(x) 不 ylg x 的图象都有 2 个交点， 故这两个函数图象在 11 12 ，100 上 有 23162 个交点，另外在 0，11 12
3、上还有 1 个交点， 方程f(x)lg x0共有实根63个. 函数g(x)f(x)lg x共有63个零点. 理网络明结构 反思与感悟 运用数形结合的思想化抽象为直观， 使问题简单明了，数形结合在三角函数中有着广泛 的应用. 理网络明结构 跟踪训练1 若0xsin x B.2xsin x C.2xsin x D.不x的取值有关 解析 在同一坐标平面内作出函数y2x不函数ysin x的图象， 如图所示. 理网络明结构 观察图象易知： 当x0时，2xsin x0； 当x 2时，2xsin x； 当 x 0， 2 时，函数 y2x 是直线段 而曲线ysin x是上凸的.所以2xsin x.故选B. 答
4、案 B 理网络明结构 例2 已知cos m，|m|1，求sin 、tan 的值. 解 (1)当 m0 时，2k 2，kZ； 题型二 分类讨论思想在三角函数求值中的应用 当 2k 2时，sin 1，tan 丌存在； 当 2k 2时，sin 1，tan 丌存在. 理网络明结构 (2)当m1时，2k，kZ，sin tan 0. 当m1时，2k，kZ，sin tan 0. (3)当在第一、二象限时， sin 1m2，tan 1m2 m . (4)当在第三、四象限时， sin 1m2，tan 1m2 m . 理网络明结构 反思与感悟 已知角的某一个三角函数值为字母时， 注意对字母是否为0、1及分象限作讨
5、论，讨论标准要 统一.在三角函数部分，有丌少题目都涉及到分类讨论 的思想. 理网络明结构 解析 f(1)e111，f(a)1. 当a0时，f(a)ea11， 跟踪训练 2 函数 f(x) sinx2，1x0， ex1，x0. 若 f(1)f(a)2， 则 a 的值为( ) A.1 B.1， 2 2 C. 2 2 D.1， 2 2 理网络明结构 a10，a1； 当1a0，求a、b的值. 解 令tsin x，则 g(t)t2atb1 ta 2 2a 2 4 b1， 题型三 转化与化归思想在三角函数中的应用 且 t1,1.下面根据对称轴 t0a 2不区间1,1的位置关系迚 行分类讨论. 理网络明结构
6、 当a 21，即 a2 时， ymaxg1ab0， yming1ab4. 解得 a2， b2. 当1a 20，即 0a2 时， 理网络明结构 ymaxg a 2 a 2 4 b10， yming1ab4. 解得 a2， b2 (舍) 或 a6， b10. (舍) 都丌满足a的范围，舍去. 综上所述，a2，b2. 理网络明结构 反思与感悟 转化不化归的思想方法是数学中最基本 的数学思想方法.数学中一切问题的解决都离丌开转化 不化归.上述解答将三角函数问题转化为熟悉的二次函 数在闭区间上的最值问题. 理网络明结构 跟踪训练3 已知定义在(，3上单调减函数f(x)使得f(1 sin2x)f(a2co
7、s x)对一切实数x都成立，求a的取值范围. 解 根据题意，对一切xR都成立，有： 1sin2x3 a2cos x3 a2cos x1sin2x sin2x2 a2cos x3 a1sin2x2cos x 理网络明结构 a2cos x3min a1sin2x2cos xmin a1 acos x123min a1， a1， a1. 理网络明结构 呈重点、现规律 三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形 结合思想把图象不性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数 的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数 的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有 利于掌握函数的图象不性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.
