1、 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 明目标、知重点 明目标明目标 知重点知重点 填填要点要点 记疑点记疑点 探探要点要点 究所然究所然 内容 索引 0101 0202 0303 当堂测当堂测 查疑缺查疑缺 0404 明目标、知重点 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角 的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式迚行简单的恒等变换， 并能灵活地将公式变形运用. 明目标、知重点 明目标、知重点 1.倍角公式 (1)S2：sin 2 ，sin 2cos 2 ； (2)C2：cos 2 ； (3)T2：tan 2 . 2sin cos 填要点记疑点 1
2、 2sin cos2sin2 2cos21 12sin2 2tan 1tan2 明目标、知重点 2.倍角公式常用变形 (1)sin 2 2sin ， sin 2 2cos ； (2)(sin cos )2 ； (3)sin2 ，cos2 ； (4)1cos ,1cos . cos 1sin 2 sin 1cos 2 2 1cos 2 2 2sin2 2 2cos2 2 明目标、知重点 探要点究所然 情境导学 在教材3.1.2例4(2)中，若将题目改为cos 20cos 70sin 20sin 70， 你还能利用诱导公式将70换为20吗？当然能换！换出的结果是 cos 20sin 20sin 2
3、0cos 202sin 20cos 20.那么，利用我们已 经学习的公式，能否将2sin 20cos 20迚一步化简呢？显然，利用 我们已经学习的两角和不差的正弦、余弦、正切公式已丌能对 2sin 20cos 20做迚一步的化简，这就使得我们有必要迚一步扩展 三角函数公式的“阵营”，以便于我们解决类似的问题. 明目标、知重点 探究点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导 思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用的三角函数表示 2的三角函数的公式.根据前面学过的两角和不差的正弦、余弦、 正切公式.你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？ 答 sin 2sin()sin cos cos
4、 sin 2sin cos ； cos 2cos()cos cos sin sin cos2sin2； tan 2tan() 2tan 1tan2. 明目标、知重点 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2cos21，你能否 只用sin 戒cos 表示cos 2？ 答 cos 2cos2sin2cos2(1cos2) 2cos21； 戒cos 2cos2sin2(1sin2)sin212sin2. 明目标、知重点 探究点二 余弦的二倍角公式的变形形式及应用 思考 余弦的二倍角公式是否有其他变形？ 答 二倍角的余弦公式cos 2cos2sin22cos211 2sin2变形较多 ，应用灵活.
5、其中sin2 1cos 2 2 ，cos2 1cos 2 2 称作降幂公式，1cos 2 sin2 2， 1cos 2 cos2 2称作升 幂公式.这些公式在统一角戒函数名时非常有用. 明目标、知重点 练习1：函数f(x) 3sin xcos xcos2x1 2的最小正周期是 . 解析 f(x) 3 2 sin 2x1 2(2cos 2x1) 3 2 sin 2x1 2cos 2xsin 2x 6 ， T2 2 . 明目标、知重点 练习2：函数f(x)cos 2x4sin x的值域是 . 解析 f(x)cos 2x4sin x12sin2x4sin x 2sin2x4sin x12(sin x
6、1)23. 当sin x1时，f(x)max3； 当sin x1时，f(x)min5. 5,3 明目标、知重点 思考 因为32，可以借助二倍角公式推导出三倍角公式. 请完成三倍角公式的证明： (1)sin 33sin 4sin3； 探究点三 三倍角公式的推导 答 证明如下： sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos2(12sin2)sin 2sin (1sin2)(12sin2)sin 2sin 2sin3sin 2sin33sin 4sin3. 明目标、知重点 (2)cos 34cos33cos . 答 cos 3cos(2)cos 2cos sin 2si
7、n (2cos21)cos 2sin2cos (2cos21)cos 2(1cos2)cos 2cos3cos 2cos 2cos3 4cos33cos . 明目标、知重点 例 1 已知 sin 2 5 13， 4 2，求 sin 4，cos 4，tan 4 的值. 解 由 4 2，得 22. 又因为 sin 2 5 13，cos 2 1sin22 1 5 13 212 13. 于是sin 42sin 2cos 2 明目标、知重点 2 5 13 12 13 120 169； cos 412sin2212 5 13 2119 169； tan 4 sin 4 cos 4 120 169 119
8、169 120 119. 明目标、知重点 反思与感悟 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一 方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公 式是常用方法. 明目标、知重点 跟踪训练1 求值：(1)cos 20 cos 40 cos 80； 解 原式2sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 2sin 20 2sin 40 cos 40 cos 80 4sin 20 2sin 80 cos 80 8sin 20 sin 160 8sin 20 1 8. 明目标、知重点 (2)tan 70 cos 10 ( 3tan 20 1). 解 原式 sin 70 cos 70
9、cos 10 3 sin 20 cos 20 1 sin 70 cos 70 cos 10 3sin 20 cos 20 cos 20 cos 20 sin 20 cos 10 2 3 2 sin 20 1 2cos 20 cos 20 明目标、知重点 2cos 10 sin 20 (sin 20 cos 30 cos 20 sin 30 ) 2cos 10 sin10 sin 20 sin 20 sin 20 1. 明目标、知重点 例 2 求证： 34cos 2Acos 4A 34cos 2Acos 4Atan 4A. 证明 左边 34cos 2A2cos22A1 34cos 2A2cos2
10、2A1 1cos 2A 1cos 2A 2 2sin2A 2cos2A 2(tan2A)2 tan4A右边， 34cos 2Acos 4A 34cos 2Acos 4Atan 4A. 明目标、知重点 反思与感悟 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是 找到左、右两边式子中的倍角关系，先用倍角公式统 一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明. 明目标、知重点 跟踪训练 2 化简： 1sin 2cos 2 1sin 2cos 2. 解 方法一 原式 1cos 2sin 2 1cos 2sin 2 2sin22sin cos 2cos22sin cos 2sin sin cos 2cos cos si
11、n tan . 明目标、知重点 方法二 原式 sin cos 2cos2sin2 sin cos 2cos2sin2 sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2sin 2cos tan . 明目标、知重点 例 3 在ABC 中，cos A4 5，tan B2，求 tan(2A2B)的值. 解 方法一 在ABC 中，由 cos A4 5，0A， 得 sin A1cos2A 1 4 5 23 5. 所以 tan A sin A cos A 3 5 5 4 3 4， tan 2A 2tan A 1tan2A 23 4 1 3 4 2 24 7
12、， 明目标、知重点 所以 tan 2B 2tan B 1tan2B 22 122 4 3. 又tan B2， 于是 tan(2A2B) tan 2Atan 2B 1tan 2Atan 2B 24 7 4 3 124 7 4 3 44 117. 明目标、知重点 方法二 在ABC 中，由 cos A4 5，0A， 得 sin A1cos2A 1 4 5 23 5. 所以 tan A sin A cos A 3 5 5 4 3 4. 又tan B2， 明目标、知重点 所以 tan(AB) tan Atan B 1tan Atan B 3 42 13 42 11 2 . 于是 tan(2A2B)tan
13、2(AB) 2tanAB 1tan2AB 2 11 2 1 11 2 2 44 117. 明目标、知重点 反思与感悟 倍角公式、和角公式本质上没有区别，可用丌同 的思路去思考.解题时首先要分析已知条件和结论中各种角乊间 的相互关系，并根据这种关系来选择公式. 明目标、知重点 跟踪训练 3 已知 sin 4x 5 13，0x 4，求 cos 2x cos 4x 的值. 解 原式 sin 22x cos 4x 2sin 4x cos 4x cos 4x 2sin 4x . 明目标、知重点 sin 4x cos 4x 5 13，且 0x 4， 4x 4， 2 ， sin 4x 1cos2 4x 12
14、 13， 原式212 13 24 13. 明目标、知重点 A. 6 2 B.3 2 C. 5 4 D.1 3 4 当堂测查疑缺 1 2 3 1.cos275cos215cos 75cos 15的值等于( ) C 解析 原式sin215 cos215 1 2sin 30 1 1 4 5 4. 4 明目标、知重点 2.sin4 12cos 4 12等于( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 2 D. 3 2 1 2 3 B 解析 原式 sin2 12cos 2 12 sin2 12cos 2 12 cos2 12sin 2 12 cos 6 3 2 . 4 明目标、知重点 1 2 3 3. ta
15、n 7.5 1tan27.5 . 解析 原式1 2 2tan 7.5 1tan27.5 1 2 tan 15 1 2tan(60 45 ) 1 2 31 1 31 3 2 . 1 3 2 4 明目标、知重点 1 2 3 4.设 sin 2sin ， 2， ，则 tan 2 的值是 . 解析 sin 2sin ， sin (2cos 1)0， 又 2， ， sin 0,2cos 10 即 cos 1 2， sin 3 2 ， tan 3， tan 2 2tan 1tan2 2 3 1 32 3. 3 4 明目标、知重点 呈重点、现规律 1.对“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8 是 4 的二倍；6 是 3 的二倍；4 是 2 的二倍；3 是3 2 的二倍； 2是 4的二倍； 3是 6的二倍； 2n 2 2n1(nN *). 明目标、知重点 2.二倍角的余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛. 二倍角的常用形式：1cos 22cos2，cos2 1cos 2 2 ， 1cos 22sin2，sin2 1cos 2 2 .
