1、 第三章 三角恒等变换 理网络明结构 内容 索引 0101 0202 理理网络网络 明结构明结构 探探题型题型 提提能力能力 0303 0404 理网络明结构 理网络明结构 理网络明结构 给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常 在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系， 如2 2，()，()， 1 2( )( )，1 2 ( )( )等. 探题型提能力 题型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用 理网络明结构 例 1 已知 、 为锐角，cos 4 5，tan() 1 3，求 cos 的值. 解 是锐角，cos 4 5，sin 3 5，tan 3 4. tan t
2、an() tan tan 1tan tan 13 9 . 是锐角，故 cos 9 10 50 . 理网络明结构 跟踪训练 1 已知 tan()1 2，tan 1 7，且 ，(0，)， 求 2 的值. 解 tan tan() tantan 1tantan 1 30. 而 (0，)，故 (0， 2). tan 1 7，0， 2. 0， 理网络明结构 2. 2()(，0). tan(2)tan() tan tan 1tan tan1，2 3 4 . 理网络明结构 题型二 整体换元的思想在三角恒等变换中的应用 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一 个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明
3、确地设 出来(如例2令sin xcos xt). 理网络明结构 例2 求函数ysin xsin 2xcos x(xR)的值域. 解 令sin xcos xt， 则由 t 2sin x 4 知 t 2， 2， 又sin 2x1(sin xcos x)21t2. y(sin xcos x)sin 2xt1t2 t1 2 25 4. 理网络明结构 当 t1 2时，ymax 5 4； 当 t 2时，ymin 21. 函数的值域为 21，5 4 . 理网络明结构 跟踪训练2 求函数f(x)sin xcos xsin x cos x，xR的最值及 取到最值时x的值. 解 设sin xcos xt， 则 t
4、sin xcos x 2 2 2 sin x 2 2 cos x 2sin x 4 ， t 2， 2， sin x cos x sin xcos x21 2 t21 2 . 理网络明结构 f(x)sin xcos xsin x cos x 即 g(t)t t21 2 1 2(t1) 21，t 2， 2. 当t1，即sin xcos x1时，f(x)min1. 此时，由 sin x 4 2 2 ， 解得 x2k 或 x2k 2，kZ. 当 t 2，即 sin xcos x 2时，f(x)max 21 2. 理网络明结构 此时，由 2sin x 4 2，sin x 4 1. 解得 x2k 4，kZ
5、. 综上， 当 x2k 或 x2k 2， kZ 时， f(x)取得最小值， f(x)min 1；当 x2k 4，kZ 时，f(x)取得最大值，f(x)max 2 1 2. 理网络明结构 题型三 转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用 三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简.其中切化弦、异名 化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒 等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右 归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用. 理网络明结构 例 3 求证：tan 3 2xtan x 2 2sin x cos xcos 2x. 证明 左边tan 3 2xtan x 2 si
6、n 3 2x cos 3 2x sin x 2 cos x 2 sin 3 2xcos x 2sin x 2cos 3 2x cos x 2cos 3 2x 理网络明结构 sin x 1 2cos 2xcos x 2sin x cos xcos 2x右边. tan 3 2xtan x 2 2sin x cos xcos 2x. 理网络明结构 跟踪训练 3 已知 cos 4x 3 5， 17 12 x7 4 ，求 sin 2x2sin2x 1tan x 的值. 解 sin 2x2sin2x 1tan x sin 2x2sin 2xcos x cos x 1tan x sin 2x1tan x 1
7、tan x sin 2x tan 4x . 理网络明结构 17 12 x7 4 ，5 3 x 42， 又cos 4x 3 5，sin 4x 4 5. tan 4x 4 3. cos xcos 4x 4 cos 4x cos 4sin 4x sin 4 理网络明结构 2 2 3 5 4 5 2 10 . sin xsin 4x 4 sin 4x cos 4sin 4cos 4x 7 2 10 ， sin 2x 7 25. sin 2x2sin2x 1tan x 28 75. 理网络明结构 题型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 方程(组)思想是中学重要的思想方法之一.借助三角函数 公
8、式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值 中常用的方法之一. 理网络明结构 例 4 已知锐角三角形 ABC 中，sin(AB)3 5，sin(AB) 1 5. (1)求证：tan A2tan B. 证明 sin(AB)3 5，sin(AB) 1 5， sin Acos Bcos Asin B3 5， sin Acos Bcos Asin B1 5 理网络明结构 sin Acos B2 5， cos Asin B1 5 tan A tan B2. tan A2tan B. 理网络明结构 解 2AB，sin(AB) 3 5， tan(AB)3 4，即 tan Atan B 1tan Ata
9、n B 3 4. (2)设AB3，求AB边上的高. 将tan A2tan B代入上式并整理得 2tan2B4tan B10， 解得 tan B2 6 2 ，舍去负值，得 tan B 2 6 2 . 理网络明结构 tan A2tan B2 6. 设 AB 边上的高为 CD， 则 ABADDB CD tan A CD tan B 3CD 2 6， 由 AB3，得 CD2 6. AB 边上的高等于 2 6. 理网络明结构 跟踪训练 4 已知向量 m(cos ， sin )和 n( 2sin ， cos )， (，2)， 且|mn|8 2 5 ，求 cos 2 8 的值. 解 mn(cos sin 2，cos sin )， |mn|cos sin 22cos sin 2 42 2cos sin 理网络明结构 44cos 4 2 1cos 4 . 由已知|mn|8 2 5 ，得 cos 4 7 25. 又 cos 4 2cos2 2 8 1， 所以 cos2 2 8 16 25. 2，5 8 2 8 9 8 . cos 2 8 0.cos 2 8 4 5. 理网络明结构 呈重点、现规律 本章所学的内容是重要的三角恒等变换，在三角式求值、化 简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础， 是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速 化到最简，再进一步研究函数的性质.
