1、43 空间直角坐标系空间直角坐标系 43.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 43.2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 学案学案 新知自解新知自解 1理解空间直角坐标系的理解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点 的位置写出点的坐标的位置写出点的坐标 2掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算或掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用公式计算或 证明证明 空间直角坐标系的建立及坐标表示空间直角坐标系的建立及坐标表示 1空间直角坐标系空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念空间直角坐标系及相关概念
2、 空间直角坐标系：从空间某一定点空间直角坐标系：从空间某一定点 O 引三条两两垂直，且有相同单位长度引三条两两垂直，且有相同单位长度 的数轴：的数轴：_，这样就建立了一个，这样就建立了一个_. 相关概念：相关概念：_叫作坐标原点，叫作坐标原点，_叫作坐标轴，通过叫作坐标轴，通过每每 _的平面叫作坐标平面，分别称为的平面叫作坐标平面，分别称为_平面、平面、_平面、平面、_平面平面 x轴、轴、y轴、轴、z轴轴 空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz 点点O x轴、轴、y轴、轴、z轴轴 两个坐标轴两个坐标轴 xOy yOz zOx (2)右手直角坐标系右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向
3、在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_的正方向，食指指向的正方向，食指指向_ 的正方向， 如果中指指向的正方向， 如果中指指向_的正方向， 则称这个坐标系为右手直角坐标系的正方向， 则称这个坐标系为右手直角坐标系 x轴轴 y轴轴 z轴轴 2空间一点的坐标空间一点的坐标 空 间 一 点空 间 一 点M的 坐 标 可 以 用的 坐 标 可 以 用 _ 来 表 示 ，来 表 示 ， _叫作点叫作点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作在此空间直角坐标系中的坐标，记作 _， 其中， 其中_叫作点叫作点 M 的横坐标，的横坐标， _叫作点叫作点 M 的纵坐标，的纵坐标， _ 叫作点叫作点 M 的竖坐标的竖
4、坐标 有序实数组有序实数组(x，y，z) 有序实数组有序实数组(x，y，z) M(x，y，z) x y z 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 1 空间中任意一点 空间中任意一点 P(x， y， z)与原点之间的距离与原点之间的距离|OP|_； 2空间中任意两点空间中任意两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离之间的距离|P1P2| _. x2y2z2 x2x1 2 y2y1 2 z2z1 2 化解疑难化解疑难 1要求坐标就必须建立空间直角坐标系要求坐标就必须建立空间直角坐标系 2同一个点在不同的坐标系中的坐标也不同同一个点在不同的坐标系中的坐标也不同 3识记一
5、些特殊位置的点的坐标识记一些特殊位置的点的坐标 4画空间直角坐标系的注意事项：画空间直角坐标系的注意事项： (1)x 轴与轴与 y 轴成轴成 135 角，角，x 轴与轴与 z 轴成轴成 90 角；角； (2)y 轴垂直于轴垂直于 z 轴，轴，y 轴和轴和 z 轴的单位长度应相等，轴的单位长度应相等，x 轴上的单位长度轴上的单位长度则等则等 于于 y 轴的一半轴的一半(xOy 平面适用于斜二测画法平面适用于斜二测画法)； (3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直每两条坐标轴确定的平面两两垂直 1点点(2,0,3)在空间直角坐标系中的在空间直角坐标系中的( ) Ay 轴上轴上 BxOy 平面上平面上
6、CzOx 平面上平面上 D第一象限内第一象限内 解析：解析： 点点(2,0,3)的纵坐标为的纵坐标为0，所以该点在，所以该点在zOx平面上平面上 答案：答案： C 2若已知点若已知点 A(1,1,1)，B(3，3，3)，则线段，则线段 AB 的长为的长为( ) A4 3 B2 3 C4 2 D3 2 解析：解析： |AB| 31 2 31 2 31 24 3. 答案：答案： A 3在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点(4，1,2)关于原点的对称点的坐标是关于原点的对称点的坐标是 _ 解析：解析： 空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数， 故点空间直角坐标系中关于原点对称的点的
7、坐标互为相反数， 故点(4， 1,2)关于原点的对称点的坐标是关于原点的对称点的坐标是(4,1，2) 答案：答案： (4,1，2) 教案教案 课堂探究课堂探究 空间中点的坐标的确定空间中点的坐标的确定自主练透型自主练透型 在棱长为在棱长为 1 的正方体的正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，E、F 分别是分别是 D1D、BD 的中点，的中点，G 在棱在棱 CD 上，且上，且 CG1 4CD， ，H 为为 C1G 的中点，试建立适当的坐标的中点，试建立适当的坐标 系，写出系，写出 E、F、G、H 的坐标的坐标 解析：解析： 建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 点点 E 在
8、在 z 轴上，它的横坐标、纵坐标均为轴上，它的横坐标、纵坐标均为 0，而，而 E 为为 DD1的中点，故其坐的中点，故其坐 标为标为 0，0，1 2 . 由由 F 作作 FMAD、FNDC，由平面几何知，由平面几何知 FM1 2， ，FN1 2，故 ，故 F 点坐点坐 标为标为 1 2， ，1 2， ，0 . 点点 G 在在 y 轴上，其横、竖坐标均为轴上，其横、竖坐标均为 0， 又又|GD| 3 4，故 ，故 G 点坐标为点坐标为 0，3 4， ，0 . 由由 H 作作 HKCG 于于 K，由于，由于 H 为为 C1G 的中点，的中点， 故故|HK| 1 2， ，|CK|1 8. 所以所以|
9、DK|7 8，故 ，故 H 点坐标为点坐标为 0，7 8， ，1 2 . 归纳升华归纳升华 1建立空间直角坐标建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于 计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上 2对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为 x、y、z 轴建立空间直角轴建立空间直角 坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度， 即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注
10、意坐标的符号，这也是求空间即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间 点的坐标的关键点的坐标的关键. 1如图，在长方体如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，中，E，F 分别是棱分别是棱 BC，CC1上的上的 点，点，|CF|AB|2|CE|，|AB|AD|AA1|124.试建立适当的坐标系，写试建立适当的坐标系，写 出出 E，F 点的坐标点的坐标 解析：解析： 以以 A 为坐标原点，射线为坐标原点，射线 AB，AD，AA1的方向分别为的方向分别为 x 轴、轴、y 轴、轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示 分别设分别设
11、|AB|1，|AD|2，|AA1|4， 则则|CF|AB|1， |CE|1 2|AB| 1 2， ， 所以所以|BE|BC|CE|21 2 3 2. 所以点所以点 E 的坐标为的坐标为 1，3 2， ，0 ，点，点 F 的坐标为的坐标为(1,2,1) 空间直空间直角坐标系中点的对称问题角坐标系中点的对称问题自主练透型自主练透型 在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点 P(2,1,4) (1)求点求点 P 关于关于 x 轴的对称点的坐标；轴的对称点的坐标； (2)求点求点 P 关于关于 xOy 平面的对称点的坐标；平面的对称点的坐标； (3)求点求点 P 关于点关于点 M(2，1，4)的对
12、称点的坐标的对称点的坐标 解析：解析： (1)由于关于由于关于 x 轴对称的点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原轴对称的点的横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原 来的相反数，所以对称点为来的相反数，所以对称点为 P1(2，1，4) (2)由于点由于点 P 关于关于 xOy 平面对称后，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原平面对称后，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原 来的相反数，所以对称点为来的相反数，所以对称点为 P2(2,1，4) (3)设对称点为设对称点为 P3(x，y，z)，则，则点点 M 为线段为线段 PP3的中点，的中点， 由中点坐标公式，由中点坐标公式， 可得可得 x22(2)6，y2(1
13、)13， z2(4)412. 所以所以 P3(6，3，12) 归纳升华归纳升华 解决有关对称问题时，注意依靠解决有关对称问题时，注意依靠 x 轴、轴、y 轴、轴、z 轴作为参照直线，坐标平面轴作为参照直线，坐标平面 为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置空间点关于坐标轴、坐标平为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置空间点关于坐标轴、坐标平 面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁对称谁不变，其余的符号均关于谁对称谁不变，其余的符号均 相反相反”如关于如关于 x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标、 竖坐标变为原来的相反数；轴对称的点横坐标不变，纵坐标、
14、 竖坐标变为原来的相反数； 关于关于 xOy 坐标平面对称的点横、纵坐标不变，竖坐标相反特别坐标平面对称的点横、纵坐标不变，竖坐标相反特别注意关于原点注意关于原点 对称时三个坐标均变为原来的相反数对称时三个坐标均变为原来的相反数. 2已知已知 M(2,1,3)，求，求 M 关于原点对称的点关于原点对称的点 M1，M 关于关于 xOy 平面对称的平面对称的 点点 M2，M 关于关于 x 轴、轴、y 轴对称的点轴对称的点 M3，M4. 解析：解析： 由于点由于点 M 与与 M1关于原点对称，所以关于原点对称，所以 M1(2，1，3)；点；点 M 与与 M2关于关于 xOy 平面对称，横坐标与纵坐标
15、不变，竖坐标变为原来的相反数，平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数， 所以所以 M2(2,1，3)；M 与与 M3关于关于 x 轴对称，则轴对称，则 M3的横坐标不变，纵坐标和竖的横坐标不变，纵坐标和竖 坐标变为原来的相反数，坐标变为原来的相反数， 即即 M3(2，1，3)，同理，同理 M4(2,1，3) 空间两点间的距离空间两点间的距离多维探究多维探究型型 如图，已知正方体如图，已知正方体 ABCDABCD的棱长为的棱长为 a，M 为为 BD 的中点，点的中点，点 N 在在 AC上，且上，且|AN|3|NC|，试求，试求|MN|的长的长 解析：解析： 由题意应先建立坐标系，以
16、由题意应先建立坐标系，以 D 为原点，建立如图所示空间直角坐为原点，建立如图所示空间直角坐 标系 因为正方体棱长为标系 因为正方体棱长为 a， 所以， 所以 B(a， a,0)， A(a,0， a)， C(0， a， a)， D(0,0， a)由于由于 M 为为 BD的中点，取的中点，取 AC的中点的中点 O， 所以所以 M a 2， ，a 2， ，a 2 ，O a 2， ，a 2， ，a . 因为因为|AN|3|NC|，所以，所以 N 为为 AC的四等分点，从而的四等分点，从而 N 为为 OC 的中点，故的中点，故 N a 4， ，3 4a， ，a . 根据空间两点间的距离公式，可得根据空间
17、两点间的距离公式，可得|MN| a 2 a 4 2 a 2 3a 4 2 a 2 a 2 6 4 a. 归纳升华归纳升华 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关 键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标确定点的坐标的方法视具体题目键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标确定点的坐标的方法视具体题目 而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平 面直角坐标系的知识确定面直角坐标系的知识确定. 3侧棱垂直底面的三棱柱叫直三
18、棱柱已知直三棱柱侧棱垂直底面的三棱柱叫直三棱柱已知直三棱柱 ABCA1B1C1，底，底 面面ABC 中，中，CACB1，BCA90 ，棱，棱 AA12，M，N 分别是分别是 A1B1， A1A 的中点，求的中点，求 MN 的长的长 解析：解析： 如图，以如图，以 C 为原点，以为原点，以 CA，CB，CC1所在直线为坐标轴，建立所在直线为坐标轴，建立 空间直角坐标系空间直角坐标系 Cxyz， 因为因为 CACB1，AA12，所以，所以 N(1,0,1)，M 1 2， ，1 2， ，2 . 由两点间的距离公式，得由两点间的距离公式，得 MN 11 2 2 01 2 2 12 2 6 2 . 谢谢观看！谢谢观看！
