1、3.3 几何概型几何概型 3.3.1 几何概型几何概型 学案学案 新知自解新知自解 1.理解几何概型的定义及其特点理解几何概型的定义及其特点. 2.会用几何概型的概率公式求几何概型的概率会用几何概型的概率公式求几何概型的概率. 3.应用几何概型概率公式时需注意基本事件的形成过程应用几何概型概率公式时需注意基本事件的形成过程. 几何概型几何概型 定义定义 如果每个事件发生的概率只与如果每个事件发生的概率只与_， 则称这样的概率模型为几何概率模型则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型简称几何概型 特点特点 (1)试验中所有可能出现的结果试验中所有可能出现的结果(基本事件基本事件)有有_；
2、(2)每个基本事件出现的可能性每个基本事件出现的可能性_ 概率概率 公式公式 P(A)_ 构成该事件的长度构成该事件的长度(或面积、体积或面积、体积)成比例成比例 无限多个无限多个 相等相等 构成事件构成事件A的区域长度（面积或体积）的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 化解疑难化解疑难 (1)几何概型的概率公式的理解几何概型的概率公式的理解 公式中公式中“长度长度”的理解：公式中的的理解：公式中的“长度长度”并不是实际意义的长度并不是实际意义的长度.有些有些 书上也叫测度书上也叫测度， 测度的意义依试验的全部结果构
3、成的区域而定测度的意义依试验的全部结果构成的区域而定， 若区域分别是线若区域分别是线 段、平面图形和立体图形时段、平面图形和立体图形时，相应的测相应的测度分别是长度、面积和体积度分别是长度、面积和体积. 等可能性：等可能性：当试验全部结果所构成的区域长度一定时当试验全部结果所构成的区域长度一定时，A 的概率只与构成的概率只与构成 事件事件 A 的区域长度有关的区域长度有关，而与而与 A 的位置形式无关的位置形式无关. (2)几何概型与古典概型的区别与联系几何概型与古典概型的区别与联系 名称名称 古典概型古典概型 几何概型几何概型 相同点相同点 基本事件发生的可能性相等基本事件发生的可能性相等
4、不同点不同点 基基本事件有限个本事件有限个 P(A)0A 为不可能事件为不可能事件 P(B)1B 为必然事件为必然事件 基本事件无限个基本事件无限个 P(A)0 A 为不可能事件为不可能事件 P(B)1 B 为必然事件为必然事件 1.下列概率模型中下列概率模型中，几何概型的个数为几何概型的个数为( ) 从区间从区间10，10内任取出一内任取出一个数个数，求取到求取到 1 的概率；的概率； 从区间从区间10，10内任取出一个数内任取出一个数，求取到绝对值不大于求取到绝对值不大于 1 的数的概率；的数的概率； 从区间从区间10， 10内任取出一个整数内任取出一个整数， 求取到大于求取到大于 1 而
5、小于而小于 2 的数的概率；的数的概率； 向一个边长为向一个边长为4 cm的正方形的正方形ABCD内投一点内投一点P， 求点求点P离中心不超过离中心不超过1 cm 的概率的概率. A.1 个个 B.2 个个 C.3 个个 D.4 个个 解析：解析： 不是几何概型不是几何概型，虽然区间虽然区间10，10有无限多个点有无限多个点，但取到但取到“1” 只是一个数字只是一个数字，不能构成区域长度；不能构成区域长度； 是几何概型是几何概型，因为区间因为区间10，10和和1，1上有无限多个数可取上有无限多个数可取(满足无满足无 限性限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的且在这两个区间内每个数被
6、取到的机会是相等的(满足等可满足等可能性能性)； 不是几何概型不是几何概型，因为区间，因为区间 10，10上的整数只有上的整数只有 21 个个(是有限的是有限的)，不满不满 足无限性特征；足无限性特征； 是几何概型是几何概型， 因为在边长为因为在边长为 4 cm 的正方形和半径为的正方形和半径为 1 cm 的圆内均有无数的圆内均有无数 多个点多个点， 且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到， 故满足无限性和等故满足无限性和等 可能性可能性. 答案：答案： B 2.一只小蜜蜂在一个棱长为一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行的正方体内自由
7、飞行， 若蜜蜂在飞行过程中始若蜜蜂在飞行过程中始 终保持与正方体终保持与正方体 6 个表面的距离均大于个表面的距离均大于 1，称其为称其为“安全飞行安全飞行”，则蜜蜂则蜜蜂“安全安全 飞行飞行”的概率为的概率为( ) A. 8 27 B. 1 27 C.26 27 D.15 27 解析：解析： 根据题意：安全飞行的区域为棱长为根据题意：安全飞行的区域为棱长为 1 的正方体的正方体， P 构成事件构成事件A的区域体积的区域体积 试验的全部结果所构成的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积 1 27.故选 故选 B. 答案：答案： B 3.在区间在区间1，2上随机取一个数上随机取一个数 x，则则
8、x0，1的概率为的概率为 . 解析：解析： 1，2的长度为的长度为 3，0，1的长度为的长度为 1，所以概率是所以概率是1 3. 答案：答案： 1 3 教案教案 课堂探究课堂探究 与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型自主练透型自主练透型 如图如图 A，B 两盏路灯之间两盏路灯之间的距离是的距离是 30 米米，由于光线较暗由于光线较暗.想在其间再想在其间再 随意安装两路灯随意安装两路灯 C、D，问问 A 与与 C，B 与与 D 之间的距离都不小于之间的距离都不小于 10 米的概率是米的概率是 多少？多少？ 解析：解析： 记记 E：“A 与与 C，B 与与 D 之间的距离都不小于之间的距离都不
9、小于 10 米米”，把把 AB 三三 等分等分，由于中间长度为由于中间长度为 301 3 10 米米，所以所以 P(E)10 30 1 3. 归纳升华归纳升华 在求解与长度有关的几何概型时在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域首先找到几何区域 D，这时区域这时区域 D 可能可能 是一条线段或几条线是一条线段或几条线段或段或曲线段曲线段，然后找到，然后找到事件事件 A 发生对应的区域发生对应的区域 d，在找在找 d 的的 过程中过程中，确定边界点是问题的关键确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件但边界点是否取到却不影响事件 A 的概率的概率. 1.已知函数已知函数 f(x)
10、log2x， 在区间在区间 1 2， ，2 上随机取一上随机取一 x0， 则使得则使得 f(x0)0 的概率的概率 为为 . 解析：解析： f(x)log2x0 可以得出可以得出 x1，所以在区间所以在区间 1 2， ，2 上使上使 f(x)0 的范的范 围为围为1，2，所以使得所以使得 f(x0)0 的概率为的概率为 P2 1 21 2 2 3. 答案：答案： 2 3 与体积有关的几何概型与体积有关的几何概型多维探究型多维探究型 有一杯有一杯 2 升的水升的水， 其中含有一个细菌其中含有一个细菌， 用一个小杯从这杯水中取出用一个小杯从这杯水中取出 0.1 升水升水，求这一小杯水中含有这个细菌
11、的概率求这一小杯水中含有这个细菌的概率. 解析：解析： 设小水杯中含有这个细菌为事件设小水杯中含有这个细菌为事件 A，则事件则事件 A 构成的区域体积是构成的区域体积是 0.1 升升，全部试验结果构成的区域体积是全部试验结果构成的区域体积是 2 升升，所以所以 P(A)0.1 2 0.05. 归纳升华归纳升华 当所给随机事件是用三个当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或者当概率问题涉及体积时连续变量进行描述或者当概率问题涉及体积时， 则则 可以 考 虑利 用 几何 概 型概 率的 计 算公可以 考 虑利 用 几何 概 型概 率的 计 算公 式式P(A) 构成事件构成事件A的区域体积的区域体积
12、 试验的全部结果所构成的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积进行求解 进行求解.常用的体积计算公式有柱形体积公常用的体积计算公式有柱形体积公 式、锥形体积公式以及球的体积公式式、锥形体积公式以及球的体积公式. 2.在一个圆锥体的培养房内培养了在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂只蜜蜂，准备进行某种实验准备进行某种实验，过圆锥过圆锥 高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区， 其其 中小锥体叫第一实验区中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的且两个实验区是互
13、通的.假设蜜假设蜜 蜂落入培养房内任蜂落入培养房内任何位置是等可能的， 且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不何位置是等可能的， 且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响受影响 的的.求蜜蜂落入第二实验区的概率求蜜蜂落入第二实验区的概率. 解析：解析： 记记“蜜蜂落入第一实验区蜜蜂落入第一实验区”为事件为事件 A， “蜜蜂落入第二实验区蜜蜂落入第二实验区”为为 事件事件 B. 依题意依题意，P(A)V 小锥体小锥体 V圆锥体 圆锥体 1 3 1 4 S圆锥底面 圆锥底面1 2h 圆锥圆锥 1 3 S圆锥底面 圆锥底面h圆锥圆锥 1 8， ， P(B)1P(A)7 8， ， 蜜蜂落入第二实验区的概率蜜蜂落入
14、第二实验区的概率为为7 8. 与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型分层深化型分层深化型 如图如图，矩形矩形 ABCD 中中，点点 E 为边为边 CD 的中点的中点.若在矩形若在矩形 ABCD 内部随内部随 机取一个点机取一个点 Q，则点则点 Q 取自取自ABE 内部的概率等于内部的概率等于( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析：解析： 点点 Q 取自取自ABE 内部的概率为内部的概率为 P S ABE S矩形 矩形ABCD 1 2|AB| |AD| |AB|AD| 1 2， ，故故 选选 C. 答案：答案： C 归纳升华归纳升华 此类几何概型问题此类几何概型问题， 关
15、键是要构造出随机事件关键是要构造出随机事件对应的几何图形对应的几何图形， 利用图形的利用图形的 几何特征找出两几何特征找出两个个“面积面积” ，套用几何概型公式，从而，套用几何概型公式，从而求得随机事件的概率求得随机事件的概率. 同类练同类练 1.如图如图，EFGH 是以是以 O 为圆心为圆心，半径为半径为 1 的圆的内接正方形的圆的内接正方形.将一颗豆子随将一颗豆子随 机地扔到该圆内机地扔到该圆内， 用用 A 表示事件表示事件“豆子落在正方形豆子落在正方形 EFGH 内内”， 则则 P(A)( ) A. 4 B. 1 C.2 D. 2 解析：解析： 豆子落在正方形豆子落在正方形 EFGH 内
16、是随机的内是随机的，故可以认为豆子落在正方形故可以认为豆子落在正方形 EFGH 内任一点是等可能的内任一点是等可能的，属于几何概型属于几何概型.因为圆的半径为因为圆的半径为 1，所以正方形所以正方形 EFGH 的边长是的边长是 2，则正方形则正方形 EFGH 的面积是的面积是 2，又圆的面积是又圆的面积是，所以所以 P(A) 2 .故选 故选 D. 答案：答案： D 变式练变式练 2.设关于设关于 x 的一元二次的一元二次方程方程 x22axb20.若若 a 是从区间是从区间0，3任取的一个任取的一个 数数，b 是从区间是从区间0，2任取的一个数任取的一个数，求上述方程有实根的概率求上述方程有
17、实根的概率. 解析：解析： 试验的全部结果所构成的区域为试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3，0b2，而构而构 成事件成事件 A 的区域为的区域为(a，b)|0a3，0b2，ab， 即如图所示的阴影部分即如图所示的阴影部分. 所以所以 P(A) 321 2 22 32 2 3. 拓展练拓展练 3.甲、乙两人约定晚上甲、乙两人约定晚上 6 点到点到 7 点之间在某地见面点之间在某地见面，并约定先到者要等候另并约定先到者要等候另 一人一刻钟一人一刻钟，过时即可离开过时即可离开.求甲、乙能见面的概率求甲、乙能见面的概率. 解析：解析： 如图所示：如图所示： 以以 x 轴和轴和 y 轴分别表
18、示甲、乙两人到达约定地点的时间轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的则两人能够会面的 等价条件是等价条件是|xy|15. 在平面直角坐标系内在平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为的所有可能结果是边长为 60 的正方形的正方形，而事而事 件件 A“两人能够见面两人能够见面”的可能结果是阴影部分所表示的的可能结果是阴影部分所表示的平面区域平面区域， 由几何概型的概率公式得：由几何概型的概率公式得：P(A)SA S 60 2 452 602 3 600 2 025 3 600 7 16.所以两 所以两 人能会面的概率是人能会面的概率是 7 16. 谢谢观看！谢谢观看！
