1、33 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 33.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 33.2 两点间的距离两点间的距离 学案学案 新知自解新知自解 1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 2会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系 3掌握两点间的距离公式并会简单应用掌握两点间的距离公式并会简单应用 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 1两条直线的交点两条直线的交点 直线方程：直线方程： l1：A1xB1yC10， l2：A2xB2yC20. 前提条件：前提条件： 两直线组成的方程组两直线组成的
2、方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 有唯一解有唯一解 xx0， yy0. 结论：两直线结论：两直线_，交点坐标为，交点坐标为_ 相交相交 (x0，y0) 2方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组的解方程组的解 交点个数交点个数 直线的位置关系直线的位置关系 无解无解 _个个 _ 有唯一解有唯一解 _个个 _ 有无数组解有无数组解 _个个 _ 0 平行平行 1 相交相交 无数无数 重合重合 两点间的距离公式两点间的距离公式 两点坐标两点坐标 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 距离公式距离公式 |P1P2|_ 特例特例 若若 O(0,0)，
3、P(x，y)，则，则|OP|_ x2x1 2 y2y1 2 x2y2 方程组的解的组数与两条直线的位置关系方程组的解的组数与两条直线的位置关系 化解疑难化解疑难 对两点间距离公式的理解对两点间距离公式的理解 (1)公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2| x1x2 2 y1y2 2，利用此公式可以将几何问题代数化，利用此公式可以将几何问题代数化 (2)当直线当直线 P1P2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下 列方法：列方法：直线直线 P1P2平行于平行于 x 轴
4、时轴时|P1P2|x2x1|；直线直线 P1P2平行于平行于 y 轴时轴时 |P1P2|y2y1|. 1下列直线中，与直线下列直线中，与直线 2xy30 相交的是相交的是( ) A2axay60(a0) By2x C2xy50 D2xy30 解析：解析： 选项选项 B，C 中的直线与直线中的直线与直线 2xy30 平行，当平行，当 a1 时，选项时，选项 A 中的直线也与直线中的直线也与直线 2xy30 平行平行 答案：答案： D 2 两条直线 两条直线 2x3yk0 和和 xky120 的交点在的交点在 y 轴上， 那么轴上， 那么 k 的值的值 是是( ) A24 B6 C 6 D8 解析
5、：解析： 设两直线交点为设两直线交点为 P(0，b)， 3bk0， bk120， 解得解得 k 6. 答案：答案： C 3已知点已知点 A(1,2)，B(a,6)，且，且|AB|5，则，则 a 的值为的值为_ 解析：解析： 由两点间的距离公式由两点间的距离公式 得得|AB| a1 2 62 25， 即即(a1)21625， 解得解得 a2 或或 a4. 答案：答案： 2或或4 教案教案 课堂探究课堂探究 两条直线的交点问题两条直线的交点问题自主练透型自主练透型 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：5x4y20
6、，l2：2xy20； (2)l1：2x6y30，l2：y1 3x 1 2； ； (3)l1：2x6y0，l2：y1 3x 1 2. 解析：解析： (1)解方程组解方程组 5x4y20， 2xy20， 得得 x10 3 ， y14 3 . 所以所以 l1与与 l2相交，相交， 且交点坐标为且交点坐标为 10 3 ，14 3 . (2)解方程组解方程组 2x6y30， y1 3x 1 2， ， 6 整理得整理得 2x6y30. 因此，因此，和和可以化成同一个方程，即可以化成同一个方程，即和和表示同一条直线，表示同一条直线，l1与与 l2重重 合合 (3)解方程组解方程组 2x6y0， y1 3x
7、1 2， ， 6得得 30，矛盾，矛盾 方程组无解，所以两直线无公共点，方程组无解，所以两直线无公共点，l1l2. 归纳升华归纳升华 两条直线相交的判定方法两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等方法二：两直线斜率都存在且斜率不等 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在. 1判断下列直线的位置关系，若相交求出它们的交点坐标判断下列直线的位置关系，若相交求出它们的交点坐标 (1)l1：2xy7 和和 l2：3x2y70； (2)
8、l1：y3x1 和和 l2：6x2y30. 解析：解析： (1)由题意知，两直线的斜率分别为由题意知，两直线的斜率分别为 k12，k23 2，由 ，由 k1k2， 且且 k1 k21 可知两直线相交但不垂直可知两直线相交但不垂直 由由 2xy7， 3x2y70， 解得解得 x3， y1. 即即 l1和和 l2的交点坐标为的交点坐标为(3，1) (2)由题意知，两直线的斜率分别为由题意知，两直线的斜率分别为 k13，k23， k1k2，故两直线不相交，故两直线不相交 又两直线在又两直线在 y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为 b11，b23 2， ， b1b2， 所以两直线的位置关系是平行所以两
9、直线的位置关系是平行 两点间距离公式的两点间距离公式的应用应用自主练透型自主练透型 已知点已知点 A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：，求证：ABC 为直角三角形为直角三角形 证明：证明： 法一：法一：|AB| 51 2 31 22 5， |AC| 01 2 31 2 5， 又又|BC| 50 2 33 25， |AB|2|AC|2|BC|2， ABC 为直角三角形为直角三角形 法二：法二：kAB3 1 51 1 2， ，kAC3 1 01 2， kAB kAC1，ABAC， ABC 是以是以 A 为直角顶点的直角三角形为直角顶点的直角三角形 归纳升华归纳升华 1.计算两点间距离的
10、方法计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点对于任意两点 P1(x1，y1)和和 P2(x2，y2)，则，则|P1P2| x2x1 2 y2y1 2. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况， 可直接利用距离公式的特殊情对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况， 可直接利用距离公式的特殊情 况求解况求解 2.解答本题还要注意构成三角形的条件解答本题还要注意构成三角形的条件. 2(1)已知点已知点 M(m，1)，N(5，m)，且，且|MN|2 5，则实数，则实数 m_. (2)设设 A(3,4)，在，在 x 轴上有一点轴上有一点 P，使得，使得|PA|5，则，则 P 点坐标为点坐标为_ 解析：解析：
11、 (1)|MN| 5m 2 m1 22 5， m24m30. m1，或，或 m3. (2)设设 P 点坐标为点坐标为(x,0)， 则有则有 x3 2 04 25， 即即(x3)29， x0 或或 x6. 答案：答案： (1)1或或3 (2)(0,0)或或(6,0) 直线恒过定点问题直线恒过定点问题多维探究型多维探究型 求证：不论求证：不论 m 为何实数，直线为何实数，直线(m1)x(2m1)ym5 都过某一都过某一 定点定点 证明：证明： 法一：法一：取取 m1 时，直线方程为时，直线方程为 y4.取取 m1 2时，直线方程为 时，直线方程为 x9. 两直线的交点为两直线的交点为 P(9，4)
12、，将点，将点 P 的坐标代入原方程左边的坐标代入原方程左边(m1)9 (2m1)(4)m5. 故不论故不论 m 取何实数，点取何实数，点 P(9，4)总在直线总在直线(m1)x(2m1)ym5 上，上， 即直线恒过点即直线恒过点 P(9，4) 法二：法二：原方程化为原方程化为(x2y1)m(xy5)0. 若对任意若对任意 m 都成立，都成立， 则有则有 x2y10， xy50， 得得 x9， y4. 所以不论所以不论 m 为何实数，所给直线都过定点为何实数，所给直线都过定点 P(9，4) 归纳升华归纳升华 解含有参数的直线恒过定点的问题解含有参数的直线恒过定点的问题 1方法一：任给直线中的参数
13、赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然 后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解 2 方法二： 含有一个参数的二元一次方程若能整理为 方法二： 含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1xB1yC1(A2x B2yC2)0，其中，其中 是参数，这就说明了它表示的是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可直线必过定点，其定点可 由方程组由方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 解得若整理成解得若整理成 yy0k(xx0)的形式，
14、则表示的形式，则表示 的所有直线必过定点的所有直线必过定点(x0，y0). 3已知直线已知直线 l 经过两条直线经过两条直线 2x3y30，xy20 的交点，且与直的交点，且与直 线线 3xy10 平行，则直线平行，则直线 l 的方程为的方程为_ 解析：解析： 法一：法一：解方程组解方程组 2x3y30， xy20， 得得 x3 5， ， y7 5， ， 所以两直线的交点坐标为所以两直线的交点坐标为 3 5， ，7 5 . 又所求直线与直线又所求直线与直线 3xy10 平行，平行， 所以所求直线的斜率为所以所求直线的斜率为3. 故所求直线方程为故所求直线方程为 y7 5 3 x3 5 ，即，即 15x5y160. 法二：法二：设所求直线为设所求直线为 l，因为直线，因为直线 l 过过已知两直线的交点，因此直线已知两直线的交点，因此直线 l 的方的方 程可设为程可设为 2x3y3(xy2)0(其中其中 为常数为常数)，即，即(2)x(3)y2 30. 又直线又直线 l 与直线与直线 3xy10 平行，平行， 所以所以 2 3 3 且且 2 3 2 3 1 ，解得，解得 11 2 . 将将 11 2 代入代入，整理，得，整理，得 15x5y160，即为所求，即为所求. 谢谢观看！谢谢观看！
