1、42 直线、圆的位置关系直线、圆的位置关系 42.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 学案学案 新知自解新知自解 1理解直线与圆的三种位置关系理解直线与圆的三种位置关系 2会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 3掌握求圆的切线的方法并能解决与弦长有关的问题掌握求圆的切线的方法并能解决与弦长有关的问题 直线直线AxByC0 A2B20 与圆与圆 xa 2 yb 2r2 r0 的位置关系及判断的位置关系及判断 位置关系位置关系 相交相交 相切相切 相离相离 公共点个数公共点个数 _个个 _个个 _个个 判定判定 方法方法 几何法：设圆心到直
2、线的距离几何法：设圆心到直线的距离 d |AaBbC| A2B2 d_r d_r d_r 2 1 0 代数法：代数法： 由由 AxByC0， xa 2 yb 2r2 消元得到一元二次方程，消元得到一元二次方程， 判别式为判别式为 _0 _0 _0 图形图形 化解疑难化解疑难 1“代数法代数法”与与“几何法几何法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面 和不同的思路来判断的，和不同的思路来判断的，“代数法代数法”侧重于侧重于“数数”，更多倾向于，更多倾向于“坐标坐标”与与 “方程方程”；而；而“几何法几何法”则侧重于则侧重于“形形”，结合了图形的几何性质，结
3、合了图形的几何性质 2对于具体用哪种方法判断直对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数线与圆的位置关系，应由条件而定，代数 法是从方程角度考虑，但较繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，是判法是从方程角度考虑，但较繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，是判 断直线与圆位置关系的常用方法断直线与圆位置关系的常用方法. 1直线直线 yx1 与圆与圆 x2y21 的位置关系是的位置关系是( ) A相切相切 B相交但直线不过圆心相交但直线不过圆心 C直线过圆心直线过圆心 D相离相离 解析：解析： 方法一：方法一：由由 yx1， x2y21 消去消去 y 整理，得整理，得 x2x
4、0，因为，因为 12 41010，所以直线与圆相交，所以直线与圆相交 又圆又圆 x2y21 的圆心坐标为的圆心坐标为(0,0)，且，且 001，所以直线不过圆心，所以直线不过圆心 方法二：方法二：圆圆 x2y21 的圆心坐标为的圆心坐标为(0,0)，半径长为，半径长为 1，则圆心到直线，则圆心到直线 y x1，即直线，即直线 xy10 的距离的距离 d 1 2 2 2 ， 因为因为 0 2 2 1，所以直线，所以直线 yx1 与圆与圆 x2y21 相交但直线不过圆心相交但直线不过圆心 答案：答案： B 2圆圆 x2y24x0 在点在点 P(1， 3)处的切线方程为处的切线方程为( ) Ax 3
5、y20 Bx 3y40 Cx 3y40 Dx 3y20 解析：解析： 圆圆 x2y24x0 的圆心为的圆心为 C(2,0)，半径，半径 r2， 设切线斜率为设切线斜率为 k， k kPC1， k 30 12 1，k 3 3 ， 切线方程为切线方程为 y 3 3 3 (x1)， 即即 x 3y20. 答案：答案： D 3已知直线已知直线 xy20 与圆与圆 x2y22x4y10 相交于点相交于点 A，B，则，则 弦弦 AB 长为长为_ 解析：解析： 联立方程组联立方程组 xy20， x2y22x4y10， 消去消去 y，得关于，得关于 x 的方程的方程 2x22x30，设，设 A(x1，y1)，
6、B(x2，y2)， 则则 x1x21，x1x23 2， ， 则则|AB| x1x2 2 y1y2 2 1k2 x1x2 24x1x2 112 7 14. 答答案：案： 14 教案教案 课堂探究课堂探究 直线与圆的位置关系的判断直线与圆的位置关系的判断多维探究型多维探究型 已知直线方程已知直线方程 mxym10，圆的方程，圆的方程 x2y24x2y10. 当当 m 为何值时，圆与直线：为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点；有两个公共点； (2)只有一个公共点；只有一个公共点； (3)没有公共点没有公共点 解析：解析： 方法一：方法一：将直线将直线 mxym10 代入圆的方程化简整理，代入圆的
7、方程化简整理， 得得(1m2)x22(m22m2)xm24m40. 4m(3m4)， (1)当当 0 时，即时，即 m0 或或 m4 3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个 公共点；公共点； (2)当当 0 时，即时，即 m0 或或 m4 3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一 个公共点；个公共点； (3)当当 0 时，即时，即4 3 m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点 方法二：方法二：已知圆的方程可化为：已知圆的方程可化为：(x2)2(y1)24， 即圆心为即圆心为 C(2,1
8、)，半径，半径 r2. 圆心圆心 C(2,1)到直线到直线 mxym10 的距离的距离 d|2m 1m1| 1m2 |m2| 1m2 . (1)当当 d2 时，即时，即 m0 或或 m4 3时，直线与圆相交，即直线与圆有两个 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个 公共点；公共点； (2)当当 d2 时，即时，即 m0 或或 m4 3时，直线与圆相切，即直线与圆只有一 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一 个公共点；个公共点； (3)当当 d2 时，即时，即4 3 m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点 归纳升华归纳升华 解决此类问题的关键是搞清直线与圆的
9、位置和直线与圆的公共点的个数解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数 间的等价关系在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直间的等价关系在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直 线的距离和半径的大小，而不用联立方程线的距离和半径的大小，而不用联立方程. 1已知圆已知圆 C 的方程是的方程是(x1)2(y1)24，直线，直线 l 的方程为的方程为 yxm，求：，求： 当当 m 为何值时为何值时 (1)直线平分圆；直线平分圆； (2)直线与圆相切；直线与圆相切； (3)直线与圆有两个公共点直线与圆有两个公共点 解析：解析： (1)因为直线平分圆，所以
10、圆心在直线上，即有因为直线平分圆，所以圆心在直线上，即有 m0. (2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径 所以所以 d|1 1m| 1212 |m| 2 2，m 2 2，即，即 m 2 2时，直线时，直线 l 与圆相切与圆相切 (3)直线与圆有两公共点，直线与圆有两公共点，dr，即，即|m| 2 2，所以，所以2 2m2 2时有两个时有两个 公共点公共点 直线与圆相切问题直线与圆相切问题多维探究型多维探究型 (2015 濮阳综合高中月考濮阳综合高中月考)已知圆已知圆 C：x2y22x4y10，O 为坐为坐 标原点，动点标原点，动点 P
11、 在圆外，过点在圆外，过点 P 作圆作圆 C 的切线，设切点为的切线，设切点为 M. (1)若点若点 P 运动到运动到(1,3)处，求此时切线处，求此时切线 l 的方程；的方程； (2)求满足求满足|PM|PO|的点的点 P 的轨迹方程的轨迹方程 解析：解析： (1)把圆把圆 C 的方程化为标准方程为的方程化为标准方程为(x1)2(y2)24， 所以圆心为所以圆心为(1,2)，半径为，半径为 2. 当当 l 的斜率不存在时，的斜率不存在时，l 的方程为的方程为 x1 满足条件满足条件 当当 l 的斜率存在时，的斜率存在时，设斜率为设斜率为 k，则，则 l：y3k(x1)， 即即 kxy3k0.
12、 由题意，得由题意，得| k23k| 1k2 2，得，得 k3 4. 所以所以 l 的方程为的方程为 3x4y150. 综上得，满足条件的切线综上得，满足条件的切线 l 的方程为的方程为 x1，或，或 3x4y150. (2)设设 P(x，y)， 因为因为|PM|PO|，所以，所以(x1)2(y2)24x2y2. 整理得整理得 2x4y10. 即点即点 P 的轨迹方程为的轨迹方程为 2x4y10. 归纳升华归纳升华 1用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形 2直线与圆相切用几何法列式计算比较简单不用代数法直线与圆相切用几何法列式计算比较简单
13、不用代数法(判别式法判别式法) 3求动点求动点 P 的轨迹方程要用坐标变量表示的轨迹方程要用坐标变量表示 P 点，即点，即 P(x，y)，然后利用条，然后利用条 件列出件列出(x，y)满足的方程化简则得解满足的方程化简则得解. 2(2015 吉林汪清县六中期末吉林汪清县六中期末)求经过求经过 A(0，1)和直线和直线 xy1 相切，且相切，且 圆心在直线圆心在直线 y2x 上的圆的方程上的圆的方程 解析：解析： 因为圆心在直线因为圆心在直线 y2x 上，上， 设圆心坐标为设圆心坐标为(a，2a)， 设圆的方程为设圆的方程为(xa)2(y2a)2r2， 圆经过点圆经过点 A(0，1)和直线和直线
14、 xy1 相切，相切， 所以有所以有 a2 2a1 2r2， |a2a1| 2 r， 解得解得 a1， r 2 或或 a1 9， ， r5 2 9 ， 所以圆的方程为所以圆的方程为(x1)2(y2)22 或或 x1 9 2 y2 9 2 50 81. 直线被圆截得的弦长问题直线被圆截得的弦长问题分层深化型分层深化型 已知圆的方程为已知圆的方程为 x2y28，圆内有一点，圆内有一点 P(1,2)，AB 为过点为过点 P 且且 倾斜角为倾斜角为 的弦的弦 (1)当当 135 时，求时，求 AB 的长；的长； (2)当弦当弦 AB 被点被点 P 平分时，写出直线平分时，写出直线 AB 的方程的方程
15、解析：解析： (1) 法一：法一：(几何法几何法) 如图所示，过点如图所示，过点 O 作作 OCAB. 由已知条件得直线由已知条件得直线 AB 的斜率为的斜率为 ktan 135 1， 所以直线所以直线 AB 的方程为的方程为 y2(x1)， 即即 xy10. 因为圆心为因为圆心为(0,0)， 所以所以|OC| 1| 2 2 2 . 因为因为 r2 2，所以，所以|BC|8 2 2 2 30 2 ， 所以所以|AB|2|BC| 30. 法二：法二：(代数法代数法) 当当 135 时，直线时，直线 AB 的方程为的方程为 y2(x1)， 即即 yx1，代入，代入 x2y28， 得得 2x22x7
16、0. 所以所以 x1x21，x1x27 2， ， 所以所以|AB| 1k2|x1x2| 11 x1x2 24x1x2 30. (2)如图，当弦如图，当弦 AB 被点被点 P 平分时，平分时， OPAB， 因为因为 kOP2，所以，所以 kAB1 2， ， 所以直线所以直线 AB 的方程为的方程为 y21 2(x 1)， 即即 x2y50. 归纳升华归纳升华 求直线与圆相交时弦长的两种方法：求直线与圆相交时弦长的两种方法： 1.几何法：如图，直线几何法：如图，直线 l 与圆与圆 C 交于交于 A，B 两点，设弦心距为两点，设弦心距为 d，圆的半径，圆的半径 为为 r，弦长，弦长为为|AB|，则有
17、，则有 |AB| 2 2 d2r2，即，即|AB|2 r2d2. 2.代数法：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点代数法：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点 分别是分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则|AB| x1x2 2 y1y2 2 1k2|x1x2| 1 1 k2|y1 y2| (直线直线 l 的斜率的斜率 k 存在存在) 几何法比代数法运算量小，也比较直观、简单几何法比代数法运算量小，也比较直观、简单，故通常采用几何法解决圆，故通常采用几何法解决圆 的有关弦长问题的有关弦长问题. 同类练同类练 1过点过点(1，2)的直线的直线 l 被
18、圆被圆 x2y22x2y10 截得的弦长为截得的弦长为 2， 求直线求直线 l 的方程的方程 解析：解析： 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为 k. 设直线设直线 l 的方程为的方程为 y2k(x1) 又圆的方程为又圆的方程为(x1)2(y1)21，圆心为，圆心为(1,1)，半径为，半径为 1， 所以圆心到直线的距离所以圆心到直线的距离 d|2k 12| 1k2 12 2 2 2 2 2 . 解得解得 k1 或或17 7 .所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 y2x1 或或 y217 7 (x1)，即，即 x y10 或或 17x7y30.
19、 变式练变式练 2直线直线 l 经过点经过点 P(5,5)并且与圆并且与圆 C：x2y225 相交截得的弦长为相交截得的弦长为 4 5， 求求 l 的方程的方程 解析：解析： 据题意知直线据题意知直线 l 的斜率存在，的斜率存在， 设直线设直线 l 的方程为的方程为 y5k(x5)，与圆，与圆 C 相交于相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2) 方法一：方法一：联立方程组联立方程组 y5k x5 ， x2y225， 消去消去 y，得，得 (k21)x210k(1k)x25k(k2)0. 10k(1k)24(k21) 25k(k2)0， 解得解得 k0. 又又 x1x210k 1 k k21
20、，x1x225k k 2 k21 . 由斜率公式，得由斜率公式，得 y1y2k(x1x2) |AB| x1x2 2 y1y2 2 1k2 x1x2 2 1k2 x1x2 24x1x2 1k2 100k2 1k 2 k21 2 4 25k k2 k21 4 5. 两边平方，整理得两边平方，整理得 2k25k20， 解得解得 k1 2或 或 k2 符合题意符合题意 故直线故直线 l 的方程为的方程为 x2y50 或或 2xy50. 方法二：方法二：如图所示，如图所示，|OH|是圆心到直线是圆心到直线 l 的距离，的距离，|OA|是圆的半径，是圆的半径，|AH| 是弦长是弦长|AB|的一半的一半 在
21、在 RtAHO 中，中，|OA|5， |AH|1 2|AB| 1 2 4 52 5， |OH|OA|2|AH|2 5， |5 1 k | k21 5，解得，解得 k1 2或 或 k2. 直线直线 l 的方程为的方程为 x2y50 或或 2xy50. 拓展练拓展练 3已知以点已知以点 A(1,2)为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线 l1：x2y70 相切过点相切过点 B( 2,0)的动直线的动直线 l 与圆与圆 A 相交于相交于 M，N 两点，两点，Q 是是 MN 的中点的中点 (1)求圆求圆 A 的方程；的方程； (2)当当|MN|2 19时，求直线时，求直线 l 的方程的方程 解析：解析： (
22、1)设圆设圆 A 的半径为的半径为 r， 圆圆 A 与直线与直线 l1：x2y70 相切，相切， r| 147| 5 2 5， 圆圆 A 的方程为的方程为(x1)2(y2)220. (2)当直线当直线 l 与与 x 轴垂直时，轴垂直时， 则直线则直线 l 的方程的方程 x2， 此时有此时有|MN|2 19，即，即 x2 符合题意符合题意 当直线当直线 l 与与 x 轴不垂直时轴不垂直时，设直线，设直线 l 的斜率为的斜率为 k， 则直线则直线 l 的方程为的方程为 yk(x2)， 即即 kxy2k0， Q 是是 MN 的中点，的中点，AQMN，|AQ|2 1 2|MN| 2 r2， 又又|MN|2 19，r2 5，|AQ| 20191， 解方程解方程|AQ| |k2| k21 1，得，得 k3 4， ， 此时直线此时直线 l 的方程为的方程为 y03 4(x 2)，即，即 3x4y60. 综上所得，直线综上所得，直线 l 的方程为的方程为 x2 或或 3x4y60. 谢谢观看！谢谢观看！
