1、3.3.2 均匀随机数的产生均匀随机数的产生 学案学案 新知自解新知自解 1.能够利用随机模拟试验估计事件的概率能够利用随机模拟试验估计事件的概率. 2.了解把未知量的估计问题转化为随机模拟问题了解把未知量的估计问题转化为随机模拟问题. 3.会根据题目条件合理设计简单的随机模拟试验会根据题目条件合理设计简单的随机模拟试验. 均匀随机数均匀随机数 定义定义：如果试验的结果是在区间：如果试验的结果是在区间a，b上的上的_，并且出现每一个实并且出现每一个实 数都是数都是_的的，则称这些实数为均匀随机数则称这些实数为均匀随机数. 均匀随机数的产生均匀随机数的产生 1.计算器上产生计算器上产生0，1的均
2、匀随机数的函数是的均匀随机数的函数是_函数函数. 2.Excel 软件产生软件产生0，1区间上均匀随机数的函数为区间上均匀随机数的函数为“_”. 任意实数任意实数 等可能等可能 RAND RAND 用模拟方法近似计算某事件概率的方法用模拟方法近似计算某事件概率的方法 用模拟方法近用模拟方法近 似计算某事件似计算某事件 概率的方法概率的方法 _ 制作两个转盘模型制作两个转盘模型，进行模拟试验进行模拟试验，并统计试并统计试 验结果验结果，进行近似计算进行近似计算 计算机计算机模拟法模拟法 用用_软件产生软件产生0，1上的均匀随机数进上的均匀随机数进 行模拟行模拟，注意操作步骤注意操作步骤 试验模拟
3、法试验模拟法 Excel 化解疑难化解疑难 (1)均匀随机数的理解均匀随机数的理解 均匀随机数是随机产生的均匀随机数是随机产生的，在一定的区域长度上出现的概率是均等的在一定的区域长度上出现的概率是均等的. 均匀随机数是小数或整数均匀随机数是小数或整数，相邻两个均匀随机数的步长是人为设相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的定的. (2)应用模拟试验近似计算概率的方法要点分析应用模拟试验近似计算概率的方法要点分析 用均匀随机数模拟试验时用均匀随机数模拟试验时， 首先把实首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验际问题转化为可以用随机数来模拟试验 结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果
4、的量结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从我们可以从 以下几个方面考虑：以下几个方面考虑： 由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、如长度型、 角度型只用一组角度型只用一组，面积型需要两组面积型需要两组. 由所有基本事件总体对应的区域确定产生随机数的范围由所有基本事件总体对应的区域确定产生随机数的范围. 由事件由事件 A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式求事件发生的条件确定随机数所应满足的关系式求事件 A 的概率的概率. 1.用均匀随机数进行随机模拟用均匀随机数进行随机模拟，可以解决
5、可以解决( ) A.只能求几何概型的概率只能求几何概型的概率，不能不能解决其他问题解决其他问题 B.不仅能求几何概型的概率不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率最适合估计古典概型的概率 解析：解析： 很明显用均匀随机数进行随机模拟很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率不但能估计几何概型的概率， 还能估计图形的面积还能估计图形的面积，得到的是近似值得到的是近似值，不是精确值不是精确值，用均匀随机数进行随机模用均匀随机数进行随机模 拟拟，
6、不适合估计古典概型的概率不适合估计古典概型的概率. 答案：答案： C 2.将将0，1内的均匀随机数转化为内的均匀随机数转化为2，6内的内的均匀随机数，需实施的变换均匀随机数，需实施的变换 为为( ) A.aa1*8 B.aa1*82 C.aa1*82 D.aa1*6 解析解析： 将将0，1内的随机数转化为内的随机数转化为a，b内的随机数需进行的变化为内的随机数需进行的变化为 a a1*(ba)aa1*82. 答案：答案： C 3.下列关于随机数的说法中：下列关于随机数的说法中： 计算器只能产生计算器只能产生(0，1)之间的随机数；之间的随机数； 计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；计算
7、器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数； 计算器只能产生均匀随机数；计算器只能产生均匀随机数； 我们通过命令我们通过命令 RAND*(ba)a 来得到两个整数值之间的随机数来得到两个整数值之间的随机数. 其中正确的是其中正确的是 . 解析：解析： 题号题号 判断判断 原因分析原因分析 计算器可以产生计算器可以产生0，1上的均匀随机数和上的均匀随机数和a，b上的整数值随机数上的整数值随机数 计算器不可以产生计算器不可以产生a，b上的均匀随机数上的均匀随机数，只能通过线性变换得到只能通过线性变换得到 计算器可以产生整计算器可以产生整数值随机数数值随机数 显然正确显然正确 答案：答案： 教案教案 课
8、堂探究课堂探究 用随机模拟法估计长度型几何概型用随机模拟法估计长度型几何概型自主练透型自主练透型 取一根长度为取一根长度为 5 m 的绳子的绳子，拉直后在任意位置剪断拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟用均匀随机模拟 方法估计剪得两段的长都不小于方法估计剪得两段的长都不小于 2 m 的概率有多大？的概率有多大？ 解析：解析： 设剪得两段的长都不小于设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件为事件 A. 法一：法一：(1)利用计算器或计算机产生利用计算器或计算机产生 n 个个 01 之间的均匀随机数之间的均匀随机数，x RAND； (2)作伸缩变换：作伸缩变换：yx*(50)，转化为转化为0，5上的
9、均上的均匀随机数；匀随机数； (3)统计出统计出2，3内均匀随机数的个数内均匀随机数的个数 m； (4)则概率则概率 P(A)的近似值为的近似值为m n . 法法二：二：(1)做一个带有指针的转盘做一个带有指针的转盘，把圆周五等分把圆周五等分，标上刻度标上刻度0，5(这里这里 5 和和 0 重合重合)； (2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在记下指针在2，3内内(表示剪断表示剪断 绳子位置在绳子位置在2，3范围内范围内)的次数的次数 m 及试验总次数及试验总次数 n； (3)则概率则概率 P(A)的近似值为的近似值为m n . 归纳升华归纳升华
10、利用随机模拟计算概率的步骤利用随机模拟计算概率的步骤 (1)确定概率模型；确定概率模型； (2)进行随机模拟试验进行随机模拟试验，即利用计算器等以及伸缩和平移变换即利用计算器等以及伸缩和平移变换得到得到a，b上的上的 均匀随机数；均匀随机数； (3)统计计算；统计计算； (4)得出结论得出结论，近似求得概率近似求得概率. 1.已知米粒等可能地落入如图所示的四边形已知米粒等可能地落入如图所示的四边形 ABCD 内内， 如果通过大量的实验如果通过大量的实验 发现米粒落入发现米粒落入BCD 内的频率稳定在内的频率稳定在4 9附近 附近， 那么点那么点 A 和点和点 C 到直线到直线 BD 的距离的距
11、离 之比约为之比约为 . 解析：解析： 设米粒落入设米粒落入BCD 内的频率为内的频率为 P1，米粒落入米粒落入BAD 内的频率为内的频率为 P2，点点 C 和点和点 A 到直线到直线 BD 的距离分别为的距离分别为 d1，d2， 根据题意：根据题意：P21P114 9 5 9， ， 又又P1 S BCD S四边形 四边形ABCD 1 2 BDd1 S四边形 四边形ABCD ， P2 S BAD S四边形 四边形ABCD 1 2 BDd2 S四边形 四边形ABCD P2 P1 d2 d1 5 4. 答案：答案： 5 4 用随机模拟估计面积型的几何概型用随机模拟估计面积型的几何概型多维探究型多维
12、探究型 如图所示如图所示， 在墙上挂着一块边长为在墙上挂着一块边长为 32 cm 的正方形木板的正方形木板， 上面画了小、上面画了小、 中、大中、大三个同心圆三个同心圆，半径分别为半径分别为 3 cm，6 cm，9 cm，某人站在某人站在 3 m 之外向此板之外向此板 投镖投镖，假设投镖击在线上或没有投中木板不算假设投镖击在线上或没有投中木板不算， 可重投可重投， 用随机模拟的方法估计：用随机模拟的方法估计： (1)“投中小圆内投中小圆内”的概率是多少？的概率是多少？ (2)“投中小圆与中圆形成的圆环投中小圆与中圆形成的圆环”的概率是多少？的概率是多少？ 解析：解析： 记事件记事件 A投中小圆
13、内投中小圆内， 事件事件 B投中小圆与中圆形成的圆环投中小圆与中圆形成的圆环.按如下步骤进行：按如下步骤进行： (1)用计算机产生两组用计算机产生两组0，1上的均匀随机数上的均匀随机数，a1RAND，b1RAND； (2)经过伸缩和平移变换经过伸缩和平移变换，aa13216，bb13216，得到两组得到两组16， 16上的均匀上的均匀随机数；随机数； (3)统计投在小圆内的次数统计投在小圆内的次数 N1(即满足即满足 a2b29 的点的点(a，b)的个数的个数)，投中小投中小 圆与中圆形成的圆环的次数圆与中圆形成的圆环的次数 N2(即满足即满足 9a2b236 的点的点(a，b)的个数的个数)
14、，投中投中 木板的总次数木板的总次数 N(即满足即满足16a16，16b16 的点的点(a，b)的个数的个数)； (4)计算频率计算频率 fn(A)N1 N ，fn(B)N2 N ，即分别为概率即分别为概率 P(A)，P(B)的近似值的近似值. 归纳升华归纳升华 用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的联系与区别概率的联系与区别 (1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同同，都需产生随机数；都需产生随机数； (2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，
15、所求事件的概率所求事件的概率 为表示事件的长度之比为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置一般需要确定点的位置，而一而一 组随机数是不能在平面上确定点的位置的组随机数是不能在平面上确定点的位置的， 故需要利用两组均匀随机数分别表示故需要利用两组均匀随机数分别表示 点的横纵坐标点的横纵坐标，从而确定点的位置从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比所求事件的概率为点的个数比. 2.现向图现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖， 试用随机模拟的方法求飞镖落在中所示正方形内随机地投掷飞镖， 试用随机模拟的方法求飞镖落在 阴影部分的概率阴影部分的概率. 解析：
16、解析： (1)利用计算器或计算机产生两组利用计算器或计算机产生两组 0 至至 1 区间内的均匀随机数区间内的均匀随机数 a1、 b1(共共 N 组组)； (2)经过平移和伸缩变换经过平移和伸缩变换，a(a10.5)*2，b(b10.5)*2； (3)数出满足不等式数出满足不等式 b2a4 3， ，即即 6a3b4 的数组数的数组数 N1.所求概率所求概率 PN1 N . 可以发现可以发现，试验次数越多试验次数越多，概率概率 P 越接近越接近 25 144. 利用随机模拟的方法计算不规则图形的面积利用随机模拟的方法计算不规则图形的面积多维探究型多维探究型 (1)如图如图，边长为边长为 2 的正方
17、形中有一封闭曲线围成的阴影区域的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方在正方 形中随机撒一粒豆子形中随机撒一粒豆子， 它落在阴影区域内的概率为它落在阴影区域内的概率为2 3， ， 则阴影区域的面积为则阴影区域的面积为( ) A.4 3 B.8 3 C.2 3 D.无法计算无法计算 (2)利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(抛物线抛物线 y22xx2与与 x轴轴 围成的图形围成的图形)的面积的面积. 解析：解析： (1)由几何概型的公式可得由几何概型的公式可得 S阴影 阴影 S正方形 正方形 2 3， ， 又又 S正方形 正方形4， S阴影 阴影42
18、 3 8 3. (2)利用计算机产生利用计算机产生两组两组0，1上的均匀随机数上的均匀随机数，a1RAND，b1RAND； 经过平移和伸缩变换经过平移和伸缩变换，aa143，bb13，得到一组得到一组3，1和一组和一组0， 3上的均匀随机数；上的均匀随机数；统计试验总次数统计试验总次数 N 和落在阴影部分的点数和落在阴影部分的点数 N1(满足条件满足条件 b 22aa2的点的点(a，b)的个数的个数)；计算频率计算频率N1 N 就是点落在阴影部分的概率的近就是点落在阴影部分的概率的近 似值；似值；设阴影部分的面积为设阴影部分的面积为 S，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率由几何概型概率公
19、式得点落在阴影部分的概率 为为 S 12， ，所以所以 S 12 N1 N ，故故 S12N1 N 即为阴影部分面积的近似值即为阴影部分面积的近似值. 答案：答案： (1)B 归纳升华归纳升华 利用随机模拟法估计图形面积利用随机模拟法估计图形面积的步骤的步骤 (1)把已知图形放在平面直角坐标系中把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形将图形看成某规则图形(长方形或圆长方形或圆 等等)内的一部分内的一部分，并用阴影表示；并用阴影表示； (2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点利用随机模拟方法在规则图形内任取一点， 求出落在阴影部分的概率求出落在阴影部分的概率 P(A N1 N ；
20、( (3)设阴影部分的面积是设阴影部分的面积是 S，规则图形的面积是规则图形的面积是 S，则有则有 S S N1 N ，解得解得 S N1 N S，则已知图形面积的近似值为则已知图形面积的近似值为N1 N S. 3.利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(曲线曲线 y2x与直线与直线 x 1 及及 x 轴围成的轴围成的图形图形)的面积的面积. 解析：解析： 设事件设事件 A 为为“随机向正方形内投点随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分所投的点落在阴影部分”， 操作步骤如下：操作步骤如下： 第一步第一步，用计数器用计数器 n 记录做了多少次试验记录做了多
21、少次试验，用计数器用计数器 m 记录其中有多少次记录其中有多少次 (x，y)满足满足1x1，0y2x(即点落在图中阴影部分即点落在图中阴影部分)，首先设置首先设置 n0，m 0； 第二步第二步， 用变换用变换 rand( )*21 产生产生11 之间的均匀随机数之间的均匀随机数 x 表示所投表示所投 点的横坐标点的横坐标，用变换用变换 rand( )*2 产生产生 02 之间的均匀随机数之间的均匀随机数 y 表示所投点的表示所投点的 纵坐标；纵坐标； 第三步第三步，判断点是否落在阴影部分判断点是否落在阴影部分，即是否满足即是否满足 y2x，如果是如果是， 则计数器则计数器 m 的值加的值加 1
22、，即即 mm1，如果不是如果不是，m 的值保持不变；的值保持不变； 第四步第四步，表示随机试验次数的计数器表示随机试验次数的计数器 n 的值加的值加 1，即即 nn1，如果还要试如果还要试 验验，则返回步骤第二步继续执行则返回步骤第二步继续执行，否则结束否则结束.程序结束后事件程序结束后事件 A 发生的频率发生的频率m n 作作 为事件为事件 A 的概率的近似值的概率的近似值.设阴影部分的面积为设阴影部分的面积为 S，正方形面积为正方形面积为 4， 由几何概型由几何概型 概率计算公式得概率计算公式得，P(A)S 4， ，所以所以m n S 4， ，故故4m n 可作为阴影部分面积可作为阴影部分面积 S 的近似值的近似值. 谢谢观看！谢谢观看！
