1、1参考答案一 1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A二9.AB10.AD.11.ABD12.ABD三 13.914.0.7615.212,1216.1 1(,)3 3四、解答17.【解答】(1)因为222coscoscos1sinsinABCBC 所以222sinsinsinsinsinABCBC,由正弦定理可得222abcbc,所以2221cos22bcaAbc,因为(0,)A,则3A5 分(2)由题意1()2AMABAC ,则2222222111127()()()()()444424bcAMABACbcbcbcbcbc ,则3 3|2AM,即ABC的中线AM的最小值
2、为3 32当且仅当3bc取最小值10 分18.(12 分)解:(1)因为3DAB,且1APAB,故1BP,在PDC中,21,3PDDCPDC,所以3PC,在BPC中,1,3,2BPPCBC所以BPPC,又因为,BEPC BPBEE BE BPI平面BPE,所以PC 平面BPE4 分(2)选取BP中点为O,因为BEPE,故EOBP,由(1)得,EOPC BPPCPI,所以EO 平面ABCD,所以EAO为AE与平面ABCD所成的角,即4EAO,ABP为等边三角形,边长为 1,所以32EOAO,EBP为等边三角形6 分(解法 1)取PE中点M,过M作MNEC于N,连接,NB BM因EBP等边,所以B
3、MEP,由(1)知BMPCEPPCPI,所以BM 平面EPC由,MNEC故BNEC,BNM是二面角PECB的平面角,8 分2在直角EPC中,1,3EPPC,点M是EP的中点,所以34MN,在直角BMN中32tan234BNM,10 分所以余弦值为5512 分解法 2:以O为原点,,OA OP OEuur uuu r uuu r为在,x y z轴正方向建立空间直角坐标系得1113(0,0),(0,0),(3,0),(0,0,)2222PBCE,13(0,),(3,0,0),(3,1,0)22EPPCBC uuruuu ruuu r设1111(,)nx y zur是平面EPC的法向量,则1100n
4、 EPn PCur uurur uuu r,1111302230yzx,取1(0,3,1)n ur8 分设2222(,)nxy zuu r为平面EBC的法向量,2200nBEnBCuu r uuruu r uuu r,22221302230yzxy,取2(,3,1)n uu r9分设12n n,ur uu r所成的角为,则12125cos5|n nnnur uu ruruu r,11 分二面角的余弦值为5512 分选取BP中点为O,由(1)得EO 平面ABCD,设D到平面EPC的距离为3,4h h,由已知得ABC等边三角形,1BP,设EOx,则214EPx因为E PDCD EPCVV,即113
5、3PDCEPCSEOSh,3即01111sin1203232PDDCEOEPPCh,可求得32x 可求得32EO,6 分以解法下同的解法19.解:(1)当=1 时,1=1=12,当 2 时,=1=+11=1+1=12+经检验,=1 时,1=12也符合上式,所以数列 的通项公式为=12+3 分(2)易知 0,两边取倒数得:1+1=+2,整理得:1+1+1=21+1,1+1 是以首项为11+1=2,公比为 2 的等比数列,1+1=2 21,=1216 分(3)由(1)(2)问可知欲比较+1=12+11与=12+的大小,即比较2+1 1 与2+的大小当=1 时,21+1 1=3,12+1=2,有 3
6、2;当=2 时,22+1 1=7,22+2=6,有 76;当=3 时,23+1 1=15,32+3=12,有 1512;猜想2+1 1 2+,下面证明8 分方法一.当4n 时1+101211012+1+1+111+1111221(1 1)112221=22(1)(1)1nnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCnnnnn 所以对于任意的 +都成立,进而+1.12 分方法二.令12()21xf xxx,则112121()2ln221,()2(ln2)22(ln)222xxxxfxxfxe当4,x时,1()220 xfx,()fx在4,x单调增,151()(4)2ln221224 170,()
7、2xfxfxf x 在4,x单调增,4 12()2144110f xf(4),所以12210 xxx,即1221xxx 所以对于任意的 +都成立,进而+1 2+成立,那么当=+1 时,2+2 1=2 2+1 1=2 (2+1 1)+1 2 (2+)+1=22+2+1因为 22+2+1 +1)2+1=2 1对任意的 2 且 +上式都大于 0,所以有2+2 1 (+1)2+1综上所述,2+1 1 2+对于任意的 +都成立,进而+135,整理得 lnx2.1,即xe2.18.2,故当x9 时,即到第 9 天才能超过 35 杯7 分(3)由题意知,这 7 天中销售超过 25 杯的有 4 天,则随机变量
8、 X 的可能取值为 0,1,2,3 =0=403373=135 =1=413273=1235 =2=423173=1835 =3=433073=435则随机变量 X 的分布列为X0123P1351235183543512 分21.解(1)由题意,1,0Aa,2,0A a,设000,D xyxa,则2200221xyab,所以2222002byxaa,因为直线1DA、2DA的斜率之积为 3,所以2000220003yyyxa xaxa,将式代入化简得:223ba,2 分又双曲线 C 的右焦点为2,0F,所以224ab,结合式解得:1a,3b,双曲线 C 的方程为2213yx.4 分(2)因 为,
9、A B Q P四 点 共 圆,所 以,TPATBQTAPTQB,且TATQTPTB,所 以 有|TA TBTP TQ.5 分设直线AB的方程为1()yk xmn,1(A x,1)y,2(B x,2)y,设121mxx,将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得,2222211211(3)(22)230mnkxkkxnkmnmk,由已知得2130k,且0 由韦达定理有,22221111121222112223,33kknkk mxxx xmnknkm,7 分又由1111(,),(,)xmxnAkkT m n可得211|1()ATkxm,同理可得212|1()BTkxm,得2222221121121
10、212133|(1)()()(1)()(1)3mnATBTkxm xmkx xm xxmkk,6设直线PQ的方程为23344(),(,),(,)ykxmn P x yQ xy,设341mxx,同理可得222222(1)3)|3(|3mTQnkPTk,10 分由已知得22330mn,又|ATBTPTQT,则221222121133kkkk,化简可得2212kk,又12kk,则12kk,即120kk,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为 012 分22.(1)证明:由题意,=2+2+,定义域为(0,+),=2+2+1 0 恒成立,所以 在(0,+)上为增函数1 分易知 1=2,故 1+2=4=2
11、 1,若1,2都大于 1,则 1+2 2 1=4,不合题意,同理1,2都小于 1 时也不满足设 0 0所以 在区间(0,1上单调递增,所以 1=2 1=4,进而原不等式得证.6 分(2)由()=1+12(),令=1,则 1=1+12 0,故 27 分下面证明:2 时符合题意,当 2 时,=1+ln+122 1+ln 2,8 分以下证明:1+ln 2 0,构造函数()=1+ln ,则()=1(1)2+1 1=1(1)+22=(1)12令()=1,则()=1 1,令()0,可得 1;令()0,可得 0 1,于是()在(0,1)上递减,在(1,+)上递增,于是()(1)=0,10 分可得当 0 1 时,()1 时,()0,7所以()在(0,1)上递减,在(1,+)上递增,故()(1)=0,综上可知,实数b的取值范围 2,+)12 分