1、数学试卷 第 1 页（共 6 页）2023 本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡 上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案 不能答在试卷上。3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题 目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 考生必须保持答题
2、卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 若 M，N 是 U 的非空子集，M N M，则 AMN BNM CUM N DUN M 2 若 i z(1 2 i)2，则 z A4 3i B4 3i C4 3i D4 3i 3 已知(x 3 22x)n的展开式中各项系数和为 243，则展开式中常数项为 A60 B80 C D 4 古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学 基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，已知点 A 是球体建筑物与 水平
3、地面的接触点（切点），地面上 B，C 两点与点 A 在同一条直线上，且在点 A 的同 侧若在 B，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 60和 20，且 BC 100 m，则该 球体建筑物的高度约为（cos10 0.985）A49.25 m B50.76 m C56.74 m D58.60 m 数学试卷 第 2 页（共 6 页）5 在ABCD 中，12BEBC ，13AFAE 若ABmDFnAE ，则 m n A12 B34 C56 D43 6 记函数f(x)sin(x 4)(0)的最小正周期为T若2T，且f(x)|f(3)|，则 A34 B94 C154 D274 7 已知函数 f(x)的定
4、义域为 R，y f(x)e x是偶函数，y f(x)e x是奇函数，则 f(x)的最小值为 Ae B22 C23 De 8 已知 F1，F2分别是双曲线 C：22221(00)yxabab，的左、右焦点，点 P 在双曲线上，PF1PF2，圆 O：22229()4xyab，直线 PF1与圆 O 相交于 A，B 两点，直线PF2与圆 O 相交于 M，N 两点若四边形 AMBN 的面积为 9b2，则 C 的离心率为 A54 B85 C52 D2 105 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有
5、选错的得 0 分。9 已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则 A甲种的样本极差小于乙种的样本极差 B甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数 C甲种的样本方差大于乙种的样本方差 D甲种的样本 60 百分位数小于乙种的样本 60 百分位数 10已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，a n762131(3)16.nnnn，若 Sk，则 k 可能为 A4 B8 C9 D12 数学试卷 第 3 页（共 6 页）P A B C D 11如图，
6、正三棱锥 A-PBC 和正三棱锥 D-PBC 的侧棱长均为2，BC 2若将正三棱锥 A-PBC 绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点AP，处，且A，B，C，D四点共面，点A，D 分别位于 BC 两侧，则 AA DCP BPP/平面ABDC C多面体 PAP BDC 的外接球的表面积为 6 D点 A，P 旋转运动的轨迹长相等 12已知 a 0，e a ln b 1，则 Aa ln b 2 Cln a e b 1 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知点 P 在抛物线 C：y 2 2px(p 0)上，过 P 作 C 的准线的垂线，垂足为 H，点 F为 C 的焦点若HP
7、F 60，点 P 的横坐标为 1，则 p _ 14过点(1，0)作曲线 y x 3 x 的切线，写出一条切线的方程_ 15已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为 1.5 m，下边长为 1 m，且下边距地面 1 m若某 人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5 m 2，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为_ m3 16“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍寻找“完全 数”用到函数()n：*n N，()n为 n 的所有正因数之和，如(6)123612，则(20)_；(6)n_（第一空 2 分，第二空 3 分）数学试卷 第 4 页（共
8、6 页）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本题 10 分）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin C 3sin A sin B（1）若 A 3，求 cosB；（2）若 c 6，求ABC 的面积 18（本题 12 分）已知正项数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1 1，2218nnSSn，nN*（1）求 Sn；（2）在数列 an 的每相邻两项 ak，ak 1之间依次插入 a1，a2，ak，得到数列 bn：a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，求 bn 的前 100 项和 19（本题
9、 12 分）如图，在圆台 OO1中，A1B1，AB 分别为上、下底面直径，且 A1B1/AB，AB A1B1，CC1为异于 AA1，BB1的一条母线（1）若 M 为 AC 的中点，证明：C1M/平面11ABB A；（2）若 OO1 3，AB，ABC，求二面角 A-C1C-O 的正弦值 O A B C M A1 B1 C1 O1 数学试卷 第 5 页（共 6 页）20（本题 12 分）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量 x（单位：dm）与遥测雨量 y（单位：dm）的关系，统计得到该地区 10 组雨量数据如下：样本号 i 1 2 3 4 5 6 7
10、8 9 10 人工测雨量xi 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23 遥测雨量yi 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49|xi yi|0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26 并计算得1010102222111353.6361.7357.333.6234.4234.02.iiiiiiixyx yxyx y，（1）求该地区汛期遥测雨量 y 与人工测雨量 x 的样本相关系数（精确到 0.01），并判断它们是否具有线性相关关
11、系；（2）规定：数组(xi，yi)满足|xi yi|0.1 为“类误差”；满足 0.1|xi yi|1，f(x)0，求实数 a 的取值范围；（2）设 x1，x2是函数 f(x)的两个极值点，证明：|f(x1)f(x2)|214aa 2023 届高三第二次调研测试 数学参考答案与讲评建议 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 若 M，N 是 U 的非空子集，M N=M，则 AMN BNM CUM=N DUN=M【答案】A 2 若 i z=(1 2 i)2，则 z=A4+3i B4 3i C 4+3i D 4 3i【答
12、案】C 3 已知(x 3+22x)n的展开式中各项系数和为 243，则展开式中常数项为 A60 B80 C D【答案】B 4 古代数学家刘徽编撰的重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学 基础现根据刘徽的重差测量一个球体建筑物的高度，已知点 A 是球体建筑物与 水平地面的接触点（切点），地面上 B，C 两点与点 A 在同一条直线上，且在点 A 的同 侧若在 B，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 60和 20，且 BC=100 m，则该 球体建筑物的高度约为（cos10 0.985）A49.25 m B50.76 m C56.74 m D58.60 m【答案】B 5 在ABCD
13、中，12BEBC=uuu ruuu r，13AFAE=uuu ruuu r若ABmDFnAE=+uuu ruuu ruuu r，则 m+n=A12 B34 C56 D43【答案】D 6 记函数f(x)=sin(x+4)(0)的最小正周期为T若2T，且f(x)|f(3)|，则 =A34 B94 C154 D274 【答案】C 7 已知函数 f(x)的定义域为 R，y=f(x)+e x是偶函数，y=f(x)e x是奇函数，则 f(x)的最小值为 Ae B22 C23 D e【答案】B 8 已知 F1，F2分别是双曲线 C：22221(00)yxabab=，的左、右焦点，点 P 在双曲线上，PF1P
14、F2，圆 O：22229()4xyab+=+，直线 PF1与圆 O 相交于 A，B 两点，直线PF2与圆 O 相交于 M，N 两点若四边形 AMBN 的面积为 9b2，则 C 的离心率为 A54 B85 C52 D2 105 【答案】D 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9 已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，
15、10.5，则 A甲种的样本极差小于乙种的样本极差 B甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数 C甲种的样本方差大于乙种的样本方差 D甲种的样本 60 百分位数小于乙种的样本 60 百分位数【答案】ABD 10已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，a n=762131(3)16.nnnn，若 Sk=，则 k 可能为 A4 B8 C9 D12【答案】AC P A B C D 11如图，正三棱锥 A-PBC 和正三棱锥 D-PBC 的侧棱长均为2，BC=2若将正三棱锥 A-PBC 绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点AP，处，且A，B，C，D四点共面，点A，D 分别位于 BC 两侧，则 AA DCP
16、BPP/平面ABDC C多面体 PAP BDC 的外接球的表面积为 6 D点 A，P 旋转运动的轨迹长相等【答案】BC 12已知 a 0，e a+ln b=1，则 Aa+ln b 2 Cln a+e b 1【答案】ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知点 P 在抛物线 C：y 2=2px(p 0)上，过 P 作 C 的准线的垂线，垂足为 H，点 F为 C 的焦点若HPF=60，点 P 的横坐标为 1，则 p=_【答案】23 14过点(1，0)作曲线 y=x 3 x 的切线，写出一条切线的方程_【答案】2 x y+2=，答案不唯一，x+4 y+1=0 也正确
17、 15已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为 1.5 m，下边长为 1 m，且下边距地面 1 m若某 人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5 m 2，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为_ m3【答案】218 16“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍寻找“完全 数”用到函数()n：*n N，()n为n的所有正因数之和，如(6)123612=+=，则(20)=_；(6)n=_（第一空 2 分，第二空 3 分）【答案】42；111(21)(31)2nn+四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演
18、算步骤。17（本题 10 分）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin C=3sin A sin B（1）若 A=3，求 cosB；（2）若 c=6，求ABC 的面积 解：（1）（方法 1）因为在ABC 中，A=3，所以2()3CABB=+=因为 sin C=3sin A sin B，所以2sin()3B=32sin B，所以31cossin22BB+=32sin B，即3sincos2BB=（*）3 分 又22sincos1BB+=所以()23cos2B+2cos1B=，即24cos7B=，又因为()0 B，所以sin0B，由（*）知，cos0B，所以2 7cos
19、7B=6 分（方法 2）因为在ABC 中，3A=，所以3sin3sinsinsin2CABB=，所以由正弦定理，得32cb=2 分 由余弦定理，得2222cosabcbcA=+()22332cos223bbbb=+274b=，因为0a，0b，所以72ab=4 分 由余弦定理，得()()22222273222 7cos2773222bbbacbBacbb+=6 分（2）因为sin3sinsinCAB=，由正弦定理，得3 sincaB=又因为 c=6，所以sin2aB=8 分 所以ABC 的面积为 11sin62322ScaB=10 分 18（本题 12 分）已知正项数列 an 的前 n 项和为
20、Sn，且 a1=1，2218nnSSn+=，nN*（1）求 Sn；（2）在数列 an 的每相邻两项 ak，ak+1之间依次插入 a1，a2，ak，得到数列 bn：a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，求 bn 的前 100 项和 解：（1）因为2218nnSSn+=，当2n时，()()2222221211nnnSSSSSS=+L()818 1 1n=+L 2 分()8 12311n=+L(1)812n n=+()221n=，4 分 因为0na，所以0nS，所以21nSn=当1n=时，111Sa=适合上式，所以21nSn=，nN 6 分（2）（方法 1）因为21nSn=，n
21、N，所以当2n时，()()121232nnnaSSnn=所以1122.nnan=，8 分 所以数列 bn：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，设(1)121002n nn+=L，则22000nn+，因为*nN，所以13n 10 分 所以 bn 的前 100 项是由 14 个 1 与 86 个 2 组成 所以10014 1862186T=+=12 分（方法 2）设(1)121002n nn+=L，则22000nn+，因为nN，所以13n 8 分 根据数列 bn 的定义，知()()()()1001121231213129Taaaaaaaaaaaa=+LLL 123139SSSSS=+L 10
22、分()1352517=+L 13(125)172+=+186=12 分 19（本题 12 分）如图，在圆台 OO1中，A1B1，AB 分别为上、下底面直径，且 A1B1/AB，AB=A1B1，CC1为异于 AA1，BB1的一条母线（1）若 M 为 AC 的中点，证明：C1M/平面11ABB A；（2）若 OO1=3，AB=，ABC=，求二面角 A-C1C-O 的正弦值 证明：（1）如图，连接11AC 因为在圆台1OO中，上、下底面直径分别为 11ABAB，且11ABAB，所以111AABBC C，为圆台母线且交于一点 P 所以11AACC，四点共面 2 分 因为在圆台1OO中，平面111ABC
23、ABC平面，平面11AAC CABCAC=I 平面，平面1111111AAC CABCAC=I 平面，所以11ACAC 4 分 又因为11112ABAB ABAB=，所以11112PAABPAAB=，所以1112PCPAPCPA=，即1C为PC中点 在PAC 中，又 M 为AC的中点，所以11C MAA O A B C M A1 B1 C1 O1 因为1AA 平面11ABB A，1C M 平面11ABB A，所以1C M平面11ABB A 6 分（2）以O为坐标原点，1OBOO，分别为y z，轴，过 O 且垂直于平面11ABB A的 直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz 因为30A
24、BC=o，所以60AOC=o 则1(02 0)(31 0)(003)ACO，因为(31 0)OC=uuu r，所以11311(0)222OCOC=，uuuuruuu r 所以()131322C，所以()131322C C=uuuu r，设平面1OCC的法向量为1111()xyz=，n，所以1OCC C11，uuu ruuuu rnn所以1111130313022xyxyz=，所以平面1OCC的一个法向量为1(13 0)=，n 8 分 又(3 1 0)AC=uuu r，设平面1ACC的法向量为2222()xyz=，n，所以221ACC Cuuu ruuuu r，nn所以2222230313022
25、xyxyz+=，所以平面1ACC的一个法向量为()23133=，n 10 分 所以()12121231 1330393cos13113133+=+，nnnnn n 设二面角1MC CO的大小为，所以22130sin1cos13=1，nn 所以二面角1MC CO的正弦值为13013 12 分 O A B C M C1 x y z P 20（本题 12 分）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量 x（单位：dm）与遥测雨量 y（单位：dm）的关系，统计得到该地区 10 组雨量数据如下：样本号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人工测雨量xi
26、5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23 遥测雨量yi 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49|xi yi|0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26 并计算得1010102222111353.6361.7357.333.6234.4234.02.iiiiiiixyx yxyx y=，（1）求该地区汛期遥测雨量 y 与人工测雨量 x 的样本相关系数（精确到 0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；（2）规定：数组(xi，
27、yi)满足|xi yi|0.1 为“类误差”；满足 0.1|xi yi|1，f(x)0，求实数 a 的取值范围；（2）设 x1，x2是函数 f(x)的两个极值点，证明：|f(x1)f(x2)|214aa 解：依题意，2221()(0)aaxxafxaxxxx+=+=1 分（1）当0a时，x 1，()0fx，所以()f x在()1+，上单调递减，所以()(1)0f xf=，所以0a不符合题设 2 分 当102a时，令()0fx=，得20axxa+=，解得()211140 12axa=，()2211412axa+=+，所以当()21xx，时，()0fx，所以()f x在()21 x，上单调递减，所
28、以()(1)0f xf=，所以102a不符合题设 4 分 当12a时，判别式2140a=V，所以()0fx，所以()f x在()1+，上单调递增，所以()(1)0f xf=.综上，实数 a 的取值范围是)12+，6 分（2）由（1）知，当102a时，()f x在()10 x，上单调递增，在()12xx，上单调递减，在()2x+，上单调递增，所以1x是()f x的极大值点，2x是()f x的极小值点.由（1）知，121x x=，121xxa+=，22114axxa=.所以要证()()21214af xf xa，只要证()()1221f xf xxx.8 分 因为()()()()2212112211121lnxxxxxf xf xaxxaxx x+=+()()()212212212111211222lnlnxxxxxxa xxxxxxxxx x=+=+()212122121121ln1xxxxxxxxxx=+，设211xtx=，()211()ln1tg ttttt=+10 分 所以()()()222141114()022211tg tttt tt ttt=+=+，所以()g t在()1+，上单调递增，所以()()10g tg=.所以()()21120 xxf xf x+，即得()()1221f xf xxx成立 所以原不等式成立.12 分
