2020届南京市六校联合体高三下5月联考数学试题含答案.pdf

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1、2020届高三模拟考试试卷 数 届高三模拟考试试卷 数 学学 (满分160分,考试时间120分钟) 2020.5 一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分 1. 已知集合A=x|x2-2x0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线与 双曲线交于A,B两点若F1F2= 3 2 AB,则双曲线的渐近线方程为_ 10. 如图,五边形 ABCDE 由两部分组成, ABE 是以角 B 为直角的直角三角形,四边形 BCDE 为 正方形,现将该图形以AC为轴旋转一周,构成一个新的几何体若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等,则 圆锥和圆柱的体积之比为_ 11. 在平行四边形 AB

2、CD 中, AD = 2AB = 6, DAB = 60, DE = 1 2 EC , BF = 1 2 FC .若 FG = 2GE ,则AG BD =_ 12. 已知在锐角三角形 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 a = 3bcos C,则 1 tanA + 1 tanB + 1 tanC 的最小值为_ 13. 已知圆O:x2+y2=4,点A(2,2),直线l与圆O交于P,Q两点,点E在直线l上且满足 PQ =2QE .若AE2+2AP2=48,则弦PQ中点M的横坐标的取值范围是_ 14. 若函数f(x)=(x3-3a2x+2a)(ex-1)的图象恰好经过

3、三个象限,则实数a的取值范围是_ _ 二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15. (本小题满分14分) 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=asin( 2 3 -B) (1) 求角B的大小; (2) 若a=2,c=3,求sin(A-C)的值 16. (本小题满分14分) 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BCC1B1是矩形,平面ACC1A1平面BCC1B1,M是棱CC1上 的一点 (1) 求证:BCAM; (2) 若N是AB的中点,且CN平面AB1M,求证:M是棱CC1中点 17. (本小题满分14分)

4、 疫情期间,某小区超市平面图如图所示,由矩形 OABC 与扇形 OCD 组成, OA = 30 米, AB = 50 米,COD= 6 ,经营者决定在O点处安装一个监控摄像头,摄像头的监控视角EOF= 3 ,摄像头监 控区域为图中阴影部分,要求点E在弧CD上,点F在线段AB上,设FOC=. (1) 求该监控摄像头所能监控到的区域面积S关于的函数关系式,并求出tan 的取值范围; (2) 求监控区域面积S最大时,角的正切值 18. (本小题满分16分) 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1(ab0)的左焦点为F1,点A,B为椭圆的左、右顶点,点P是椭圆上 一点,且直线PF1的倾斜角为

5、4 ,PF1=2,椭圆的离心率为 2 2 . (1) 求椭圆C的方程; (2) 设 M, N 为椭圆上异于 A, B 的两点,若直线 BN 的斜率等于直线 AM 斜率的 2 倍,求四边形 AMBN面积的最大值 19. (本小题满分16分) 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR),g(x)=ex. (1) 若a=b=1,c=-1,求函数h(x)= f(x) g(x) 在x=1处的切线方程; (2) 若a=1,且x=1是函数m(x)= f(x)g(x)的一个极值点,确定m(x)的单调区间; (3) 若b=2a,c=2,且对任意x0, f(x) g(x) 2x+2恒成立,求实数a的取值范

6、围 20. (本小题满分16分) 设数列an(任意项都不为零)的前n项和为Sn,首项为1,对于任意nN*,满足Sn= anan1 2 . (1) 求数列an的通项公式; (2) 是否存在k,m,nN*(k0,可得sin B=sin( 2 3 -B), 展开得sin B=sin 2 3 cos B-cos 2 3 sin B,即sin B= 3 cos B(4分) 又由B(0,),得sin B0,从而cos B0, 从而有tan B=3 ,可得B= 3 .(6分) (2) 在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B= 3 , 得b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7 .(7分) 由 a

7、 sinA = b sinB ,得 2 sinA = 7 3 2 ,解得sin A= 3 7 . 因为ab0)的离心率为 2 2 ,所以a= 2 c. 设椭圆右焦点为F2,在F1PF2中,PF1=2,PF1F2= 4 , 由余弦定理得(2a-2)2=22+(2c)2-22c2cos 4 ,解得c= 2 ,则a=2,b= 2 , 所以椭圆的方程为 x2 4 + y2 2 =1.(4分) (2) (解法1)设直线AM的斜率为k,则直线AM的方程为y=k(x+2),联立 y=k(x+2), x2 4 + y2 2 =1, 整理得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-4=0,=64k4-4(2k2+1

8、)(8k2-4)0. 设M(x1,y1),则-2x1= 8k2-4 2k2+1 ,即x1= 2-4k2 2k2+1 ,从而y1= 4k 2k2+1 .(8分) 由kBN=2kAM,可得直线BN的方程为y=2k(x-2),联立 y=2k(x-2), x2 4 + y2 2 =1, 整理得(8k2+1)x2-32k2x+32k2-4=0,=322k4-4(8k2+1)(32k2-4)0. 设N(x2,y2),则2x2= 32k2-4 8k2+1 ,即x2= 16k2-2 8k2+1 ,从而y2= -8k 8k2+1 .(12分) 由对称性,不妨设k0,则四边形AMBN的面积 S= 1 2 4(y1

9、-y2)=2( 4k 2k2+1 + 8k 8k2+1 ) =24 4k3+k (2k2+1)(8k2+1) =24 1 k +4k (8k+ 1 k )(2k+ 1 k ) =24 1 k +4k 16k2+ 1 k2 +10 =24 1 k +4k ( 1 k +4k)2+2 = 24 1 k +4k+ 2 1 k +4k . 令t= 1 k +4k,则t2 1 k 4k =4(当且仅当k= 1 2 时取等号),则S= 24 t+ 2 t 24 4+ 1 2 = 16 3 , 故S的最大值为 16 3 .(16分) (解法2)设M(x1,y1),则y2 1= 1 2 (4-x2 1),A(

10、-2,0),B(2,0),则 kMAkMB= y1-0 x1+2 y1-0 x1-2 =2 1 2 1=- 1 2 .(6分) 由kBN=2kMA,故kBNkBM=-1.(7分) 设直线MN的方程为x=my+t,联立 x=my+t, x2 4 + y2 2 =1, 整理得(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,即t20解得x(-,-b-3)或x(1,+),由m(x)0,与题意不符 综上,实数a的取值范围是a2.(16分) 20. 解:(1) 数列an是非零数列,所以an0. 当n=1时,a1=S1= a1a2 2 ,a2=2; 当n2,nN*时,an=Sn-Sn-1= anan1 2 - a

11、n1an 2 , 所以an+1-an-1=2,(2分) 所以a2n-1是首项为1,公差为2的等差数列,a2n是首项为2,公差也为2的等差数列,a2n-1=a1 +2(n-1)=2n-1,a2n=a2+2(n-1)=2n, 所以an=n.(4分) (2) 设k,m,nN*(ke时,f(x)0,所以f(x)是减函数,所以f(x)在x=e处取极大值 所以,当n4时 ln(n-1) n-1 是递减数列, ln1 1 ln3 3 .(13分) 设函数 g(x) = ln(x+2) x ,求导 g(x) = x x+2 -ln(x+2) x2 ln3 3 ;当n=8时, ln9 7 = ln3 7 2 3

12、 1 3 ,(*)式成立,当n=8时(*)式右侧不等式不成立 所以,至多前8项是递增数列,即正整数r的最大值是8.(16分) 2020届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷(南京南京) 数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 解:设P(x,y)是曲线C上的任一点,它是椭圆C: x2 16 + y2 4 =1上的点P 1(x,y)在矩阵A = 1 4 0 01 2 对应变换作用下的对应点,则 x y = 1 4 0 01 2 x y = x 4 y 2 ,(4分) 即 x= x 4 , y= y 2 , 所以 x=4x, y=2y. (6分) 将 x=4x, y=2

13、y, 代入 x2 16 + y2 4 =1,得x2+y2=1.(10分) B. 解:以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系(1分) 由直线sin(+ 3 )= 3 2 得sin 1 2 +cos 3 2 = 3 2 , 1 2 y+ 3 2 x= 3 2 ,即y=- 3 x+ 3 .(4分) 直线与x轴的交点为(1,0) 又点P的直角坐标为(1,1),圆C的方程为(x-1)2+y2=1.(6分) x2+y2-2x=0,2-2cos =0, =0或=2cos . 又=0表示极点也在圆上,圆的极坐标方程为=2cos .(10分) C. 解:因为(a+2)(b+2)(c+2)=(a+1

14、+1)(b+1+1)(c+1+1)3 3 a 33 b 33 c =27 3 abc=27, (6分) 当且仅当a=b=c=1时,等号成立, 所以(a+2)(b+2)(c+2)的最小值为27.(10分) 22. 解:(1) 因为直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,所以BAD=60. 由E为BC的中点,可得DEBC.又ADBC可得DEAD. 以D为坐标原点,DA 的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.(1分) 则A1(2,0,4),M(1,3 ,2),C 1(-1, 3 ,4),E(0, 3 ,0), A1M =(-1,3 ,-2),C 1E =(1,0,-4),

15、 cosA1M ,C1E = A1M C1E |A1M |C1E | = -1+8 8 17 = 734 68 . 所以,异面直线A1M与C1E所成角的余弦值为 734 68 .(4分) (2) N(1, 0, 2), A1A = (0, 0, -4), A1M = ( -1,3 , -2), A 1N = ( -1, 0, -2), MN = (0,-3 ,0) 设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则 mA1M =0, mA1A =0, 所以 -x+3 y-2z=0, -4z=0, 可取m=(3 ,1,0)(6分) 设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则 nMN =0, nA

16、1N =0, 所以 -3 q=0, -p-2r=0, 可取n=(2,0,-1)(8分) 于是cosm,n= mn |m|n| = 23 25 = 15 5 , 所以二面角AMA1N的正弦值为 10 5 .(10分) 23. 解:(1) 因为an=m+ C1 n+1 2 + C2 n+2 22 + C3 n+3 23 +C n n+n 2n , 所以a2=m+3=4,所以m=1,此时a1=2.(2分) (2) 猜想:an=2n.证明如下:(3分) 当n=1时,由上知结论成立;(4分) 假设n=k时结论成立, 则有ak=1+ C1 k+1 2 + C2 k+2 22 + C3 k+3 23 +C

17、k k+k 2k =2k. 则n=k+1时,ak+1=1+ C1 k+1+1 2 + C2 k+1+2 22 + C3 k+1+3 23 +C k+1 k+1+k+1 2k+1 . 由Ck+1 n+1=C k+1 n +Ck n得 ak+1=1+ C1 k+1+C 0 k+1 2 + C2 k+2+C 1 k+2 22 + C3 k+3+C 2 k+3 23 +C k k+k+C k-1 k+k 2k + Ck+1 k+1+k+1 2k+1 =2k+ C0 k+1 2 + C1 k+2 22 + C2 k+3 23 +C k-1 k+k 2k + Ck+1 k+1+k+1 2k+1 , ak+

18、1=2k+ 1 2 (C0 k+1+ C1 k+2 21 + C2 k+3 22 +C k-1 k+k 2k-1 + Ck+1 k+1+k+1 2k ) =2k+ 1 2 (C0 k+1+ C1 k+2 21 + C2 k+3 22 +C k-1 k+1+k-1 2k-1 + Ck k+1+k+C k+1 k+1+k 2k )(7分) 又Ck+1 k+1+k= (2k+1)! k!(k+1)! = (2k+1)!(k+1) (k+1)k!(k+1)! = 1 2 (2k+1)!(2k+2) (k+1)!(k+1)! = 1 2 Ck+1 k+1+k+1 =2k+ 1 2 (C0 k+1+ C1 k+2 21 + C2 k+3 22 +C k-1 k+1+k-1 2k-1 + Ck k+1+k 2k + Ck+1 k+1+k+1 2k+1 ), 于是ak+1=2k+ 1 2 ak+1,所以ak+1=2k+1,故n=k+1时结论也成立 由得an=2n,nN*.(10分)

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