1、中考数学中考数学几何最值模型几何最值模型苏科版九年级苏科版九年级模型汇总1、瓜豆原理-动点轨迹直线型动点轨迹为直线型【知识梳理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是
2、？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线1、瓜豆原理-动点轨迹直线型【引例】如图，APQ是等腰直角三角形，PAQ=90且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP 与AQ 夹角固定且AP：AQ为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形 当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线可以这样理解：分别
3、过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN 始终为AM 的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线1、瓜豆原理-动点轨迹直线型必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于PAQ（当PAQ90时，PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）牛刀小试【例【例1】（中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧
4、作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为 【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动 举一反三【分析】如图，以AB为边向右作等边ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DHQE于H利用全等三角形的性质证明AFQ90,推出AEF60,推出点Q的运动轨迹是射线FE,求出DH,可得结论【解答】解：如图，以AB为边向右作等边ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DHQE于HA课堂练习如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点将线段CD绕点D顺时针旋转60得到线段DE，连结BE（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明
5、AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长E解析（1）：由于等边三角形ABC和等边三角形CDE共顶点C，利用手拉手旋转全等可证得：ACD BCE(ASA)AD=BE解析（2）利用瓜豆原理，主动点D在AB上，从动点E的运动轨迹也是一条直线，且是经过点B并与直线AB呈60（较小）夹角；利用图像可知，过A点作AF垂直于BE，该垂线段AF就是AE的最小值；CD=CF,转而在RtCAF中，利用勾股定理，求得注意：在RtAFB中，AB=4且ABF=60；2、瓜豆原理-动点轨迹圆弧型动点轨迹为圆或圆弧型【知识精讲】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点考虑：当点P在圆O上运
6、动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:22、瓜豆原理-动点轨迹圆弧型动点轨迹为圆或圆弧型【知识精讲】根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQAP且AQ=AP考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是
7、圆接下来确定圆心与半径考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置，任意时刻均有APO AQM2、瓜豆原理-动点轨迹圆弧型动点轨迹为圆或圆弧型【知识精讲】如图，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为2模型汇总为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”
8、，点Q为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩牛刀小试如图，点D在半圆O上，半径OB=5，AD=4，点C在弧BD上移动，连接AC，作DHAC，垂足为H，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是_8举一反三【解析】连接BD，易知BDC为等边三角形首先可求证DFC BED(SAS）DBP=FDCDBP+BDP=FDC+BDP=BDC=60BPD=180-（DBP+BDP）=120又BAD=60在BPD中，满足BPD=120，BD为定弦，作BPD的外接圆，可知动点P的运动轨迹就是点A为圆心,以AD为半径的圆弧上。D
