1、题型三二次函数综合题压轴题型精讲练目录（河南中考）类型1 线段问题 考点2 面积问题 考点3 等腰三角形、菱形的存在性问题 类型4 直角三角形、矩形的存在性问题 类型5等腰直角三角形、正方形的存在性问题 类型6 平行四边形的存在性问题 类型7相似三角形的存在性问题 类型8角度的存在性问题考法 考法 线段问题类型1方法总结线段问题类型1线段问题类型1线段问题类型1线段问题类型1例1 2020南阳二模改编如图,抛物线 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是直线AC上方的抛物线上一点,过点P作PHAC于点H,求线段PH的长度的最大值.线段问题类型1线段问题类型1【参考答案】对于 ,令y=0,得
2、 ,解得x1=1,x2=4,A(4,0).令x=0,得y=-2,C(0,-2),AC=设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(4,0),C(0,-2)分别代入,得 故直线AC的解析式为y=线段问题类型1方法一方法一(利用二次函数的性质求解利用二次函数的性质求解):):如图(1),过点P作y轴的平行线交AC于点N,则PNH=OCA.设P()(0m4),则N ,PN=,PH=PNsinPNH=PNsinOCA=-0,当m=2时,PH的长度最大,最大值为 .线段问题类型1方法二(利用函数与方程的关系求解):过点P作直线lAC,当直线l与抛物线有且只有一个交点时,点P到直线AC的距离最大,即PH的长度
3、最大,如图(2),设直线l的解析式为 ,整理,得x2-4x+4+2c=0,易知此方程有两个相等的实数根,(-4)2-4(4+2c)=0,解得c=0,故直线l经过原点O.过点O作OGAC于点G,则PH=OG=OCsinOCA=,即PH长度的最大值为 .线段问题类型1解决二次函数中线段长的最大值问题的方法解决二次函数中线段长的最大值问题的方法方法一方法一(利用二次函数的性质求解利用二次函数的性质求解):):1.找出与所求线段密切相关的“横平竖直”的线段,并求出两者的数量关系(若图中未给出这样的“横平竖直”的线段,则需要作辅助线);2.设出未知数(通常是一个与所求线段密切相关的点的横坐标);3.用含
4、未知数的代数式表示出“横平竖直”的线段的长,继而表示出所求线段的长;4.利用二次函数的性质求最值.高分技法高分技法线段问题类型1方法二方法二(利用函数与方程的关系求解利用函数与方程的关系求解):):1.过所求线段在抛物线上运动的端点作另一端点所在直线(记为已知直线)的平行线,记为直线l;2.设出直线l的解析式,并与抛物线的解析式联立,根据直线l与抛物线有且只有一个交点时直线l与已知直线的距离最大,可求得直线l的解析式;3.利用题中条件求直线l与已知直线的距离,即可求得所求线段的最大值.高分技法高分技法线段问题类型1典例变式1由线段长的最大值问题变式为周长最大问题如图,直线 与x轴,y轴分别交于
5、点A,B,抛物线 经过点B,且与直线 交于另一点C.点D为抛物线上一动点,且点D的横坐标为t(-4t0),过点D作DEy轴,交直线BC于点E,作DFx轴,交直线BC于点F,设DEF的周长为p,求p与t的函数关系式及p的最大值.线段问题类型1【自主解答】解解:对于对于 ,令令x=x=0,0,得得y=y=1,1,令令y=y=0,0,得得x x=-,=-,BB(0,1),(0,1),A A(-,0),0),AB=AB=DEDEy y轴，轴，DEF=DEF=ABOABO,tantanDEF=DEF=tantanABO=ABO=线段问题类型1 线段问题类型1 高分技法高分技法解决二次函数中图形周长最大问
6、题的方法解决二次函数中图形周长最大问题的方法解决此类问题时,应利用转化思想,即先观察图形,结合题目弄清楚图形各边与其中一边(一般为“横平竖直”的边)的数量关系,再求周长与该“横平竖直”的边的数量关系,即将求周长的最大值问题转化为求线段长的最大值问题.线段问题类型1 典例变式2由线段长的最大值问题变式为周长最小问题如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线AC.点P是直线AC上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OP，OQ，PQ，是否存在点P，Q，使OPQ的周长最小?若存在,求出点P，Q的坐标;若不存在，请说明理由.线段问题类型1【自主解答】解解:存在存在.易求直线易求直线A
7、CAC的解析式为的解析式为y=2x+4.y=2x+4.如图如图,作点作点O O关于直线关于直线ACAC的对称点的对称点O,O,作点作点O O关于抛物线对称轴的对称点关于抛物线对称轴的对称点O,O,连接连接OO,OO,交交ACAC于点于点M,M,连接连接OO,OO,交交ACAC于点于点P,P,交抛物线对称轴交抛物线对称轴 线段问题类型1于点于点Q,Q,此时此时OPQOPQ的周长最小的周长最小,故此时的点故此时的点P,QP,Q即为所求即为所求.易知抛物线的对称轴为直线易知抛物线的对称轴为直线x=1,O(2,0).x=1,O(2,0).直线直线OOAC,OOAC,直线直线OOOO的解析式为的解析式为
8、y=-x,y=-x,线段问题类型1线段问题类型1典例变式3由线段长的最大值问题变式为线段和的最小值问题如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,点D为抛物线的顶点,连接BD,点H为BD的中点,在y轴上是否存在一点P,使PD+PH的值最小?若存在,求PD+PH的最小值及点P的坐标;若不存在,请说明理由.线段问题类型1【自主解答】解解:存在存在.对于对于y=-xy=-x2 2+2x+3,+2x+3,令令y=0,y=0,得得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3,B(3,0).=3,B(3,0).y=-xy=-x2 2+2x+3=-(x-1)+2x+3=-(x-1)2 2+4,D(1
9、,4),H(2,2).+4,D(1,4),H(2,2).作点作点H H关于关于y y轴的对称点轴的对称点H,H,则则H(-2,2),H(-2,2),连接连接HD,HD,HDHD与与y y轴交于点轴交于点P,P,此时此时PD+PHPD+PH的值最小的值最小,最小值为最小值为HDHD的长的长,如图如图.线段问题类型1HD=,HD=,PD+PHPD+PH的最小值的最小值为为 .设直线设直线HDHD的解析式为的解析式为y=kx+b,y=kx+b,将将H(-2,2),D(1,4)H(-2,2),D(1,4)分别代入分别代入,得得 直线直线HDHD的解析式为的解析式为 ,易知易知 .线段问题类型1典例变式
10、4由线段长的最大值问题变式为线段差的绝对值的最大值问题如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点H是抛物线的顶点，作直线BC，点D是直线BC上一动点，连接DA，DH，求|DA-DH|的最大值，并求出此时点D的坐标.线段问题类型1【自主解答】解解:易知易知A(-2,0),B(4,0),C(0,4),H(1,),A(-2,0),B(4,0),C(0,4),H(1,),直线直线BCBC的解析式为的解析式为y=-x+4.y=-x+4.如图如图,作点作点A A关于直线关于直线BCBC的对称点的对称点A,A,连接连接AHAH并延长交直线并延长交直线BCBC于点于点D,D,此时此时|DA-DH|
11、DA-DH|的值最大的值最大,最大值为最大值为AHAH的长的长.线段问题类型1连接连接AB.AB.易知易知ABC=45ABC=45,ABC=45,ABC=45,ABA=90,ABA=90.又又AB=AB=6,A(4,6),AH=AB=AB=6,A(4,6),AH=|DA-DH|DA-DH|的最大值为的最大值为 .设直线设直线AHAH的解析式为的解析式为y=kx+b,y=kx+b,将将A(4,6),H(1,)A(4,6),H(1,)分别代入分别代入,得得 解得解得 直线直线AHAH的解析式为的解析式为 ,点点D D的坐标为的坐标为(0,4).(0,4).线段问题类型1典例变式5由线段长的最大值问
12、题变式为线段倍数关系或比值问题1.如图,抛物线 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,作直线BC,点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交直线BC于点E,交x轴于点F,则当PE=PF时,求点P的坐标.线段问题类型1解解:易知易知A(-2,0),B(4,0),A(-2,0),B(4,0),直线直线BCBC的解析式为的解析式为y=-x+4.y=-x+4.解解:易知易知A(-2,0),B(4,0),A(-2,0),B(4,0),直线直线BCBC的解析式为的解析式为y=-x+4.y=-x+4.【自主解答】线段问题类型1解决二次函数中线段倍数关系问题的方法解决二次函数中线段倍数关系问题的方法此类问
13、题一般是求满足线段倍数关系的点的坐标,方法如下:1.在图中找出对应线段,分清定端点和动端点,设出动端点的横坐标;2.用所设未知数表示出各线段的长度,列出满足线段数量关系的等式,继而求出未知数的值.注意:若所给倍数关系中的线段不是“横平竖直”的线段,则先转化为“横平竖直”的线段,再进行求解.高分技法高分技法线段问题类型12.如图,抛物线 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是直线BC上方的抛物线上一动点,连接PA交BC于点M,求 的最大值.线段问题类型1【自主解答】解解:如图如图,过点过点P P作作PEyPEy轴交直线轴交直线BCBC于点于点E,E,过点过点A A作作AFyAFy轴交直线轴
14、交直线BCBC于点于点F,F,则则PEAF,PEAF,PEMPEMAFM,AFM,易知易知A(-2,0),B(4,0),C(0,4),A(-2,0),B(4,0),C(0,4),直线直线BCBC的解析式为的解析式为y=-x+4.y=-x+4.将将x=-2x=-2代入代入y=-x+4,y=-x+4,得得y=6,F(-2,6),AF=6.y=6,F(-2,6),AF=6.线段问题类型1面积问题类型2方法总结面积问题类型2面积问题类型2面积问题类型2面积问题类型2典例剖析例2 如图,抛物线y=-x2+x+6与x轴交于A,B两点,直线y=x-3经过点A,交y轴于点C,且与抛物线交于另一点D,点P是直线
15、AD上方的抛物线上的一动点,连接PA,PD,求PAD面积的最大值,并求出此时点P的坐标.面积问题类型2面积问题类型2【参考答案】令-x2+x+6=x-3,解得x1=-3,x2=3,故A(3,0),D(-3,-6).方法一(铅垂高、水平宽法):过点P作x轴的垂线交直线AD于点F,交x轴于点N,如图(1).面积问题类型2设P(m,-m2+m+6),则F(m,m-3),PF=-m2+m+6-(m-3)=-m2+9.过点D作PF的垂线交PF的延长线于点M,则SPAD=SPDF+SPAF=PFDM+PFAN=PF(DM+AN)=PF(xA-xD)=(-m2+9)3-(-3)=-3m2+27.-30,当m
16、=0时,SPAD取得最大值,最大值为27,此时P(0,6).方法二(定底平行线法):过点P作直线lAD,当直线l与抛物线只有一个交点P时,直线l与直线AD的距离最大,即SPAD最大,如图(2).设直线l的解析式为y=x+b,令x+b=-x2+x+6,整理,得x2+b-6=0,面积问题类型2易知此方程有两个相等的实数根,b-6=0,即b=6.将b=6代入方程,得x=0,故此时点P的坐标为(0,6).易得C(0,-3),PC=6+3=9,SPAD=PC(xA-xD)=9(3+3)=27.故PAD面积的最大值为27,此时P(0,6).面积问题类型2方法三(直接求法):过点P作PMAD于点M,过点P作
17、y轴的平行线,交AD于点F,如图(3).易知C(0,-3),OA=OC,PFM=OCA=45,PM=PF.设P(m,-m2+m+6),则F(m,m-3),PF=-m2+m+6-(m-3)=-m2+9.由A(3,0),D(-3,-6),可得AD=6 ,SPAD=ADPM=AD PF=3PF=-3m2+27.-30,当m=0时,SPAD取得最大值,最大值为27,此时P(0,6).面积问题类型2求解二次函数中三角形面积最大值问题的常见方法求解二次函数中三角形面积最大值问题的常见方法方法一:设动顶点的横坐标为m,用含m的代数式表示出三角形的面积,再利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.方法二:找到所
18、求三角形三边中的定边,过动顶点作平行于这条定边的平行线,当平行线和抛物线有且只有一个交点时,三角形面积取最大值.高分技法高分技法面积问题类型2三角形面积最大值问题的相关结论三角形面积最大值问题的相关结论本例中,SPAD取得最大值时,点P的位置和点A,D关系密切.当点P的横坐标与线段AD中点的横坐标相同,即xP=时,SPAD最大.高分技法高分技法面积问题类型2典例变式1由三角形面积最值问题变式为三角形面积倍数关系问题1.如图,抛物线y=-x2+x+6与x轴相交于A,B两点,与y轴交于点C,直线y=x-3经过点A,且与抛物线交于另一点D,连接AC,DC.点P是线段AD上一动点(不与点A,D重合),
19、过点P作直线lx轴,交抛物线于点Q.当ACD的面积被直线l分为12的两部分时,求点Q的坐标.面积问题类型2 【自主解答】易知易知C(0,6),A(3,0),B(-2,0),D(-3,-6),C(0,6),A(3,0),B(-2,0),D(-3,-6),直线直线DCDC的解析式为的解析式为y=4x+6,y=4x+6,直线直线ACAC的解析式为的解析式为y=-2x+6.y=-2x+6.设直线设直线ADAD与与y y轴的交点为轴的交点为E,E,则则E(0,-3),CE=6-(-3)=9,E(0,-3),CE=6-(-3)=9,面积问题类型2 由由ACDACD的面积被直线的面积被直线l l分为分为12
20、12的两部分的两部分,可知这两部分的面积分别可知这两部分的面积分别为为9,18.9,18.设设P(m,m-3)(-3m3).P(m,m-3)(-3m3).分两种情况讨论分两种情况讨论.当直线当直线PQPQ在在y y轴左侧时轴左侧时,设直线设直线PQPQ与与DCDC交于点交于点F,F,则则F(m,4m+6),PF=4m+6-(m-3)=3m+9.F(m,4m+6),PF=4m+6-(m-3)=3m+9.易知易知S SDPFDPF=9,=9,面积问题类型2 当直线当直线PQPQ在在y y轴右侧时轴右侧时,设直线设直线PQPQ与与ACAC交于点交于点G,G,则则G(m,-G(m,-2m+6),PG=
21、-2m+6-(m-3)=-3m+9.2m+6),PG=-2m+6-(m-3)=-3m+9.易知易知S SAPGAPG=9,=9,面积问题类型2 2.如图,抛物线y=-x2+x+6与x轴交于A,B两点,直线y=x-3经过点A,且与抛物线交于另一点D,点P是抛物线上一动点,连接OD,PA,PD.(1)当SPAD=SOAD时,求点P的坐标;(2)当SPAD=2SOAD时,求点P的坐标;(3)当SPAD=SOAD时,点P的坐标恰有三个.3 3面积问题类型2 面积问题类型2 面积问题类型2 【自主解答】(1)(1)如图如图(1),(1),过点过点O O作作ADAD的平行线的平行线l,l,交抛物线于点交抛
22、物线于点P P1 1,P,P2 2,则点则点P P1 1,P,P2 2即为所求即为所求.易求直线易求直线l l的解析式为的解析式为y=x,y=x,令令x=-xx=-x2 2+x+6,+x+6,解得解得x=x=,故故P P1 1(-,-),P(-,-),P2 2(,).(,).作直线作直线l l关于直线关于直线ADAD的对称图形的对称图形(直线直线l),l),交抛物线于点交抛物线于点P P3 3,P,P4 4,则点则点P P3 3,P,P4 4即为所求即为所求.面积问题类型2 易知直线易知直线ll与与y y轴的交点为轴的交点为(0,-6),(0,-6),故直线故直线ll的解析式为的解析式为y=x
23、-6.y=x-6.令令x-6=-xx-6=-x2 2+x+6,+x+6,解得解得x=x=2 ,2 ,面积问题类型2 (2)(2)设直线设直线ADAD交交y y轴于点轴于点C,C,在在y y轴正半轴上截取轴正半轴上截取OE=OC=3,OE=OC=3,则则E(0,3).E(0,3).过点过点E E作直线作直线m,m,交抛物线于点交抛物线于点P P5 5,P,P6 6,如图如图(2),(2),则点则点P P5 5,P,P6 6即为所求即为所求.易求直线易求直线m m的解析式为的解析式为y=x+3,y=x+3,令令x+3=-xx+3=-x2 2+x+6,+x+6,面积问题类型2 作直线作直线m m关于
24、直线关于直线ADAD的对称图形的对称图形(直线直线m),m),交抛物线于点交抛物线于点P P7 7,P,P8 8,则点则点P P7 7,P,P8 8即为所求即为所求.易知直线易知直线mm与与y y轴的交点的坐标为轴的交点的坐标为(0,-9),(0,-9),故直线故直线mm的解析式为的解析式为y=x-9.y=x-9.令令x-9=-xx-9=-x2 2+x+6,+x+6,面积问题类型2 (3)3(3)3解法提示解法提示:在直线在直线ADAD的上侧作直线的上侧作直线nAD,nAD,作直线作直线n n关于直线关于直线ADAD的对称图形的对称图形(直直线线n),n),易知直线易知直线nn与抛物线一定有两
25、个交点与抛物线一定有两个交点,故当直线故当直线n n与抛物线只有一个交与抛物线只有一个交点时点时,直线直线n,nn,n与抛物线的交点有且只有三个与抛物线的交点有且只有三个,且当点且当点P P与这三个点重合与这三个点重合时时,S,SPADPAD与与S SOADOAD的倍数关系是一样的的倍数关系是一样的.设此时直线设此时直线n n的解析式为的解析式为y=x+c,y=x+c,令令x+c=-xx+c=-x2 2+x+6,+x+6,整理整理,得得x x2 2+c-6=0,+c-6=0,易知此方程有两个相等的实数根易知此方程有两个相等的实数根,故故c=6,c=6,代入方程代入方程,得得x x1 1=x=x
26、2 2=0,=0,故直线故直线n n与抛物线交点的坐标为与抛物线交点的坐标为(0,6).(0,6).面积问题类型2 面积问题类型2 典例变式2由三角形面积最值问题变式为三角形面积定值问题如图,抛物线y=-x2+x+6与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P为直线AC下方的抛物线上一点,且SPAC=12,求点P的坐标.面积问题类型2 易知易知C(0,6),A(3,0),C(0,6),A(3,0),直线直线ACAC的解析式为的解析式为y=-2x+6.y=-2x+6.在在y y轴上取一点轴上取一点D,D,连接连接AD,AD,使使S SDACDAC=12,=12,设设D(0,m),D(0,m),则则
27、CD=6-m,CD=6-m,(6-m)(6-m)3=12,3=12,解得解得m=-2,D(0,-2).m=-2,D(0,-2).如图如图,过点过点D D作直线作直线lAC,lAC,直线直线l l与抛物线与抛物线的交点即为所求点的交点即为所求点P.P.【自主解答】面积问题类型2 设直线设直线l l的解析式为的解析式为y=-2x+b,y=-2x+b,将将D(0,-2)D(0,-2)代入代入,得得b=-2,b=-2,故直线故直线l l的解析式为的解析式为y=-2x-2.y=-2x-2.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3一、等腰三角形的存在性问题方法总结等腰三角形、菱形的存在性问题类型3典例剖析例3
28、2018河南中考B卷改编如图,抛物线y=-x2+2x+3的对称轴交x轴于点H,直线y=x+1交x轴于点D,交抛物线的对称轴于点G.点M为抛物线对称轴上的一个动点,连接DM,若DGM是以DG为腰的等腰三角形,请求出点M的坐标.【思路分析】确定点M的位置:分别以点D,G为圆心、DG的长为半径作圆,两圆与抛物线对称轴的交点(不含点G),即为点M.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3等腰三角形、菱形的存在性问题类型3方法一(几何法):分两种情况讨论.当点D为等腰三角形的顶角顶点时,DG=DM,以点D为圆心、DG的长为半径作圆,交抛物线对称轴于点M1,则点M1即为所求,如图.易知此时点M1和点G关于x轴对
29、称,故M1(1,).,等腰三角形、菱形的存在性问题类型3当点G为等腰三角形的顶角顶点时,GD=GM,以点G为圆心、DG的长为半径作圆,交抛物线对称轴于点M2,M3,则点M2,M3即为所求,如图,此时GM2=GM3=GD=，等腰三角形、菱形的存在性问题类型3 等腰三角形、菱形的存在性问题类型3 典例变式1由固定腰变式为固定底如图,抛物线y=-x2+2x+3的对称轴交x轴于点H,直线y=x+1交x轴于点D,交抛物线的对称轴于点G.点M为抛物线上的一个动点,若DGM是以DG为底的等腰三角形,请求出点M的坐标.【思路分析】确定点M的位置:作线段DG的垂直平分线,该线与抛物线的交点即为点M.方法一:先求
30、线段DG的垂直平分线的解析式,再与抛物线的解析式联立,可求得点M的坐标;方法二:设M(m,n),根据MD2=MG2,列出关于m,n的方程,结合n=-m2+2m+3进行求解.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3 【自主解答】易求易求G(1,),D(-2,0).G(1,),D(-2,0).DGMDGM是以是以DGDG为底的等腰三角形为底的等腰三角形,MD=MG.,MD=MG.方法一方法一:作线段作线段DGDG的垂直平分线的垂直平分线l,l,与与DGDG交于点交于点N,N,直线直线l l与抛物线与抛物线的交点即为所求的点的交点即为所求的点M.M.易得易得N .N .设直线设直线l l的解析式为的解析式
31、为y=-2x+a,y=-2x+a,将将N N 代入代入,得得 ,解得解得a=,a=,故直线故直线l l的解析式为的解析式为y=-2x-.y=-2x-.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3 等腰三角形、菱形的存在性问题类型3 等腰三角形、菱形的存在性问题类型3 典例变式2由有条件限制变式为无条件限制如图,抛物线y=-x2+2x+3的对称轴交x轴于点H,直线y=x+1交x轴于点D,交抛物线的对称轴于点G.在x轴上是否存在一点M,使DGM是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3【思路分析】确定点M的位置:分别以点D,G为圆心、DG的长为半径作圆,作
32、线段DG的垂直平分线l,D,G,直线l与x轴的交点即为所求的点M(点D,G,M三点不共线).方法一(几何法):等腰三角形、菱形的存在性问题类型3【自主解答】存在存在方法一方法一(几何法几何法):):分三种情况讨论分三种情况讨论.当点当点D D为等腰三角形的顶角顶点时为等腰三角形的顶角顶点时,DG=DM,DG=DM,等腰三角形、菱形的存在性问题类型3等腰三角形、菱形的存在性问题类型3当点当点G G为等腰三角形的顶角顶点时为等腰三角形的顶角顶点时,GD=GM,GD=GM,以点以点G G为圆心、为圆心、DGDG的长为半径作圆的长为半径作圆,交交x x轴于点轴于点M M3 3(非点非点D),D),则点
33、则点M M3 3即为所求即为所求,如图如图,易知点易知点M M3 3与点与点D D关于直线关于直线x=1x=1对称对称,故点故点M M3 3的坐标为的坐标为(4,0).(4,0).当点当点M M为等腰三角形的顶角顶点时为等腰三角形的顶角顶点时,MD=MG,MD=MG,作线段作线段DGDG的垂直平分线的垂直平分线l,l,交交x x轴于点轴于点M M4 4,则点则点M M4 4即为所求即为所求,如图如图.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3等腰三角形、菱形的存在性问题类型3等腰三角形、菱形的存在性问题类型3等腰三角形、菱形的存在性问题类型3求解二次函数综合题中等腰三角形存在性问题的一般思路求解二次函
34、数综合题中等腰三角形存在性问题的一般思路1.找点,找出所求等腰三角形的三个顶点,若是定点,求出坐标,若是动点,将其横、纵坐标用含未知数的代数式表示出来(一般涉及一个未知数);2.求边长,利用勾股定理分别求出该三角形的三条边长,若三条边长中有二次根式,则求出三条边长的平方,把二次根号消去;3.分类讨论,根据等腰三角形中两条边长相等,分三种情况,列方程求解.注意:解出的未知数的值要进行检验,若出现三个顶点共线或不合题意的点,要舍去.高分技法高分技法等腰三角形、菱形的存在性问题类型3典例变式3由一边固定变式为三边均不固定如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴
35、交于点C,点P是直线BC上方的抛物线上的一动点,过点P作PHx轴于点H,交直线BC于点M.是否存在点P,恰好使PCM是等腰三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3等腰三角形、菱形的存在性问题类型3【自主解答】存在存在.对于对于y=-xy=-x2 2+2 2x+x+3,3,令令x=x=0,0,得得y=y=3,3,CC(0,3)(0,3).令令y=y=0,0,得得0 0=-x=-x2 2+2 2x+x+3,3,解得解得x x1 1=-=-1,1,x x2 2=3,3,BB(3,0)(3,0).设直线设直线BCBC的解析式为的解析式为y=kx+y=
36、kx+3,3,将将B B(3,0)(3,0)代入代入,得得0 0=3 3k+k+3,3,解得解得k=-k=-1,1,故直线故直线BCBC的解析式为的解析式为y=-x+y=-x+3,3,CBO=CBO=4545.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3分三种情况讨论分三种情况讨论.当当PC=PMPC=PM时时,如图如图(1),(1),则则PCM=PMC=BMH=90PCM=PMC=BMH=90-CBO=45-CBO=45,CPM=90CPM=90,CPx,CPx轴轴,点点P P的纵坐标为的纵坐标为3.3.令令-x-x2 2+2x+3=3,+2x+3=3,解得解得x x1 1=0,x=0,x2 2=2,
37、=2,点点P P的坐标为的坐标为(2,3).(2,3).等腰三角形、菱形的存在性问题类型3当当CP=CMCP=CM时时,如图如图(2),(2),则则CPM=PMC=BMH=90CPM=PMC=BMH=90-CBO=45-CBO=45,PCM=90PCM=90,CPBC,CPBC,易得直线易得直线PCPC的解析式为的解析式为y=x+3,y=x+3,令令-x-x2 2+2x+3=x+3,+2x+3=x+3,解得解得x x1 1=0,x=0,x2 2=1,=1,点点P P的坐标为的坐标为(1,4).(1,4).等腰三角形、菱形的存在性问题类型3当当MP=MCMP=MC时时,如图如图(3),(3),设
38、设P(m,-mP(m,-m2 2+2m+3),+2m+3),则则M(m,-m+3),PM=-mM(m,-m+3),PM=-m2 2+2m+3-(-m+3)=-m+2m+3-(-m+3)=-m2 2+3m.+3m.过点过点M M作作MGyMGy轴于点轴于点G,G,则则GM=m,GM=m,MGxMGx轴轴,CMG=CBO=45,CMG=CBO=45,等腰三角形、菱形的存在性问题类型3二、菱形的存在性问题方法总结二次函数综合题中的菱形存在性问题一般涉及两动顶点、两定顶点,且其中一动顶点在某条线上运动,设为第一动顶点,另一动顶点随第一动顶点的变化而变化,设为第二动顶点,即只要确定第一动顶点的位置,即可
39、确定第二动顶点的位置.解决此类问题时,可利用转化的数学思想,将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题,再利用解决等腰三角形存在性问题的方法求出第一动顶点的坐标,继而利用平移变换或线段中点坐标公式,求出第二动顶点的坐标.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3二、菱形的存在性问题方法总结例4 如图,抛物线 交x轴于A,B两点,交y轴于点C,一次函数y=x+b的图象经过点A,交y轴于点D,点E为直线AD上一动点.在平面直角坐标系内是否存在点G,使得以G,E,D,C为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3等腰三角形、菱形的存在性问题类型
40、3【参考答案】存在.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3当DE为菱形的对角线时,CE=CD,EGCD且EG=CD,CE2=CD2,2m2+8m+16=16,解得m1=0(不合题意,舍去),m2=-4,E(-4,-1).易知点G在点E的上侧,G(-4,3).方法二方法二(几何法几何法):):设E(n,n+3).当CD为菱形的边时,分以下两种情况讨论.等腰三角形、菱形的存在性问题类型3a.当DE为菱形的边时,以点D为圆心、CD的长为半径作圆,该圆与直线AD的交点即为符合题意的点E,如图(1).等腰三角形、菱形的存在性问题类型3b.当DE为菱形的对角线时,以点C为圆心、CD的长为半径作圆,该圆与直线A
41、D的交点(非点D)即为符合题意的点E,如图(2).易知EDC=45.CE=CD=4,DEC=EDC=45,ECD=90,E(-4,-1).又EG=CD=4,EGCD,G(-4,3).等腰三角形、菱形的存在性问题类型3当CD为菱形的对角线时,如图(3),过CD的中点作CD的垂线,该线与直线AD的交点即为符合题意的点E.易知点E的纵坐标为1,E(-2,1).又点E,G关于直线CD对称,G(2,1).直角三角形、矩形的存在性问题 类型4一、直角三角形的存在性问题方法总结直角三角形、矩形的存在性问题 类型4直角三角形、矩形的存在性问题 类型4例5 2019平顶山三模改编如图,在平面直角坐标系中,抛物线
42、y=-x2+bx+c经过点A(1,3),B(0,1),过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C,连接BC.过点A作x轴的垂线,垂足为点M,点N为直线AM上任意一点,连接BN,CN,当BCN为直角三角形时,请求出点N的坐标.直角三角形、矩形的存在性问题 类型4直角三角形、矩形的存在性问题 类型4【参考答案】直角三角形、矩形的存在性问题 类型4【参考答案】分三种情况讨论.(1)如图(1),过点B作BC的垂线,交直线AM于点N1,则点N1即为所求.根据“两直线垂直,k值积为-1”,可知 =-2,易得直线BN1的解析式为y=-2x+1,将x=1代入,得y=-1,N1(1,-1).直角三角形、矩形的存在性
43、问题 类型4(2)如图(1),过点C作BC的垂线,交直线AM于点N2,则点N2即为所求.根据“两直线垂直,k值积为-1”,可知 =-2,易得直线CN2的解析式为y=-2x+11,将x=1代入,得y=9,N2(1,9).直角三角形、矩形的存在性问题 类型4(3)如图(2),以线段BC为直径作D,交直线AM于N3,N4两点,则点N3,N4即为所求.根据线段中点的坐标公式,可得D(2,2).设N(1,n),则DN2=(2-1)2+(2-n)2=n2-4n+5.又CD2=(4-2)2+(3-2)2=5,DN=CD,n2-4n+5=5,解得n1=0,n2=4,N3(1,4),N4(1,0).综上所述,点
44、N的坐标为(1,0),(1,4),(1,-1)或(1,9).直角三角形、矩形的存在性问题 类型4方法二(“一线三直角”模型法):分三种情况讨论.(1)如图(3),过点B作BC的垂线,交直线AM于点N1,则点N1即为所求.延长CA交y轴于点D,则ADy轴,CD=4,BD=2.过点N1作N1Ey轴于点E,则EN1=1,直角三角形、矩形的存在性问题 类型4(2)如图(4),过点C作BC的垂线,交直线AM于点N2,则点N2即为所求.分别过点N2,B作x轴的平行线,过点C作x轴的垂线,分别交上述两线于点F,G,则BG=4,CG=3-1=2,N2F=4-1=3.直角三角形、矩形的存在性问题 类型4(3)如
45、图(5),以BC为直径作圆,交直线AM于点N3,N4,则点N3,N4即为所求.过点N3作N3Hy轴于点H,过点C作CKHN3,交HN3的延长线于点K,连接N3B,N3C,则HN3=1,N3K=4-1=3.设N3(1,n),则BH=n-1,CK=n-3.解得n1=0(舍去),n2=4(已检验),N3(1,4).同理可求得N4(1,0).综上所述,点N的坐标为(1,0),(1,4),(1,-1)或(1,9).直角三角形、矩形的存在性问题 类型4方法三(勾股定理法):设点N的坐标为(1,n).又B(0,1),C(4,3),BN2=12+(n-1)2=n2-2n+2,CN2=32+(n-3)2=n2-
46、6n+18,BC2=42+22=20.分三种情况讨论.(1)当BNC=90时,BN2+CN2=BC2,即n2-2n+2+n2-6n+18=20,解得n1=0,n2=4.故点N的坐标为(1,0)或(1,4).(2)当CBN=90时,BC2+BN2=CN2,即20+n2-2n+2=n2-6n+18,解得n3=-1.故点N的坐标为(1,-1).(3)当BCN=90时,CN2+BC2=BN2,即n2-6n+18+20=n2-2n+2,解得n4=9.故点N的坐标为(1,9).综上所述,点N的坐标为(1,0),(1,4),(1,-1)或(1,9).直角三角形、矩形的存在性问题 类型4二次函数综合题中的矩形
47、存在性问题一般涉及两动顶点、两定顶点,且其中一动顶点在某条线上运动,设为第一动顶点,另一动顶点随第一动顶点的变化而变化,设为第二动顶点,即只要确定第一动顶点的位置,即可确定第二动顶点的位置.解决此类问题时,可利用转化的数学思想,将矩形存在性问题转化为直角三角形存在性问题,利用垂直求“k”值及定点定长法、“一线三直角”模型法、勾股定理法求出第一动顶点的坐标,继而利用平移变换或线段中点坐标公式求出第二动顶点的坐标.一、直角三角形的存在性问题方法总结直角三角形、矩形的存在性问题 类型4例6 如图,抛物线y=-x2+x+3与x轴交于A,B(点B在A右侧)两点,与y轴交于点C,连接CB.点P是抛物线上一
48、动点,在平面直角坐标系内是否存在点Q,使得以点P,Q,B,C为顶点的四边形是矩形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.直角三角形、矩形的存在性问题 类型4直角三角形、矩形的存在性问题 类型4直角三角形、矩形的存在性问题 类型4方法一(垂直求“k”值法):分两种情况讨论.(1)如图(1),当BPBC时,记点P为P1.根据“两直线垂直,k值积为-1”,可知=2,易得直线BP1的解析式为y=2x-12,令2x-12=-x2+x+3,解得x1=6(舍去),x2=-10,P1(-10,-32).由矩形的性质可知,线段BC平移后可得P1Q1,又点B向左平移16个单位长度,向下平移32个单位长度
49、,可得点P1,点C向左平移16个单位长度,向下平移32个单位长度,可得点Q1,Q1(-16,-29).直角三角形、矩形的存在性问题 类型4(2)如图(2),当CPBC时,记点P为P2,根据“两直线垂直,k值积为-1”,可知 =2,故求得直线CP2的解析式为y=2x+3,令2x+3=-x2+x+3,解得x1=0(舍去),x2=-4,P2(-4,-5).由矩形的性质可知,线段BC平移后可得Q2P2,又点C向左平移4个单位长度,向下平移8个单位长度,可得点P2,点B向左平移4个单位长度,向下平移8个单位长度,可得点Q2,Q2(2,-8).综上可知,点Q的坐标为(2,-8)或(-16,-29).直角三
50、角形、矩形的存在性问题 类型4直角三角形、矩形的存在性问题 类型4(2)当BCCP时,记点P为P2,如图(4),分别过点P2,B作x轴的垂线,过点C作x轴的平行线,分别交上述两线于点F,G,则CG=6,BG=3,CF=-m,P2F=m2-m.直角三角形、矩形的存在性问题 类型4等腰直角三角形、正方形的存在性问题类型5一、等腰直角三角形的存在性问题方法总结解决等腰直角三角形的存在性问题时,一般利用“一线三直角”模型辅助求解,方法如下:1.先作出过该等腰直角三角形的直角顶点的“横平”或“竖直”的直线;2.过两锐角顶点作该“横平”或“竖直”直线的垂线,构造全等三角形.等腰直角三角形、正方形的存在性问
