1、重难突破专题(七)动点产生的图形面积问题题型解读常见的面积问题有规则图形的面积(如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题),以及不规则图形的面积.解决不规则的图形的面积问题常用到以下与面积相关的知识:图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.解决由动点产生的面积问题的关键是找到变化中的不变量和特殊位置,列出面积的表达式.类型一动点在几何图形上运动例1 如图Z7-1,RtACB中,C=90,AC=6,AB=10,动点P以1个单位/秒的速度从点B运动到点C,同时点Q也以1个单位/秒的速度从点C运动到点A.当点Q运动到点A时,两点都停止运动.(1)求PCQ的面积y(用含有t的代数式表示).
2、(2)在运动的过程中y是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值,并求出相应的t值;若不存在,请说明理由.图Z7-1例1 如图Z7-1,RtACB中,C=90,AC=6,AB=10,动点P以1个单位/秒的速度从点B运动到点C,同时点Q也以1个单位/秒的速度从点C运动到点A.当点Q运动到点A时,两点都停止运动.(2)在运动的过程中y是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值,并求出相应的t值;若不存在,请说明理由.图Z7-1【方法点析】解决此类问题尤其需要关注一些不变的量,不变的关系或特殊关系,善于化动为静,由特殊情形(特殊点,特殊值,特殊位置,特殊图形等)逐步过渡到一般情形,即选取动点运动路径中任
3、意一位置形成静态图形,再由静态图形的性质得出题设变量间的关系.类型二动点在坐标系中运动图Z7-2图Z7-2【方法点析】解此类问题的关键在于通过三角形相似、三角形面积公式以及面积转化等方法求出所求图形的面积表达式,然后根据函数性质求最值.图Z7-3 题型精练1.如图Z7-4,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90,得到ABO.(1)一抛物线经过点A,B,B,求该抛物线的解析式.(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明
4、理由.图Z7-41.如图Z7-4,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90,得到ABO.(1)一抛物线经过点A,B,B,求该抛物线的解析式.图Z7-4解:(1)AOB绕着原点O逆时针旋转90,点A,B的坐标分别为(-1,0),(0,2).抛物线与x轴交于A(-1,0),B(2,0),设解析式为y=a(x+1)(x-2),将B(0,2)代入,得2=-2a,a=-1.该抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2.题型精练1.如图Z7-4,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0
5、),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90,得到ABO.(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图Z7-42.如图Z7-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a0)与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当PBQ存在时,求运动多少秒时PBQ的面积
6、最大,最大面积是多少?(3)当PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使SCBK SPBQ=5 2,求点K的坐标.图Z7-52.如图Z7-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a0)与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.图Z7-52.如图Z7-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a0)与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时,另一个点
7、也停止运动.当PBQ存在时,求运动多少秒时PBQ的面积最大,最大面积是多少?图Z7-52.如图Z7-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a0)与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.(3)当PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使SCBK SPBQ=5 2,求点K的坐标.图Z7-5(3)当PBQ的面积最大时,t=1,此时P是AB的中点,P点坐标为(1,0),BQ=1.如图,连结PC,PBC与PBQ是同高三角形,SPBC SPBQ=BC BQ=5 1.当SCBK SPBQ=5 2时,SPBC SCBK=2 1.PBC与CBK是同底三角形,对应高的比
8、为2 1.图Z7-6-2c图Z7-6图Z7-6114.2019资阳在矩形ABCD中,连结AC,点E从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着BAC的路径运动,运动时间为t(秒).过点E作EFBC于点F,在矩形ABCD的内部作正方形EFGH.(1)如图Z7-7,当AB=BC=8时,若点H在ABC的内部,连结AH,CH,求证:AH=CH;当0t8时,设正方形EFGH与ABC的重叠部分面积为S,求S与t的函数关系式.(2)当AB=6,BC=8时,若直线AH将矩形ABCD的面积分成1 3两部分,求t的值.图Z7-74.2019资阳在矩形ABCD中,连结AC,点E从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着BAC的路
9、径运动,运动时间为t(秒).过点E作EFBC于点F,在矩形ABCD的内部作正方形EFGH.(1)如图Z7-7,当AB=BC=8时,若点H在ABC的内部,连结AH,CH,求证:AH=CH;图Z7-7解:(1)证明:如图中,四边形EFGH是正方形,BE=BG=EH=HG,BEH=BGH=90,AEH=CGH=90.在正方形ABCD中,AB=BC,AE=CG.EH=HG,AEH CGH(SAS),AH=CH.4.2019资阳在矩形ABCD中,连结AC,点E从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着BAC的路径运动,运动时间为t(秒).过点E作EFBC于点F,在矩形ABCD的内部作正方形EFGH.(1)如图Z7-7,当AB=BC=8时,当0t8时,设正方形EFGH与ABC的重叠部分面积为S,求S与t的函数关系式.图Z7-74.2019资阳在矩形ABCD中,连结AC,点E从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着BAC的路径运动,运动时间为t(秒).过点E作EFBC于点F,在矩形ABCD的内部作正方形EFGH.(2)当AB=6,BC=8时,若直线AH将矩形ABCD的面积分成1 3两部分,求t的值.图Z7-7
