1、重难突破专题(一)规律探索问题题型解读规律探索性题目要求学生能根据给出的一组具有某种特定关系的数、式、图形或与图形有关的操作、变化过程,通过观察、分析、推理,探究其中所蕴含的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论.有利于促进学生对数学知识和数学方法的巩固和掌握,也有利于学生思维能力的提高和自主探索、创新精神的培养.类型一数式规律探索1.2020宁波模拟下面是按一定规律排列的代数式:a2,-3a4,5a6,-7a8,则第8个代数式是.-15a162.2020铜仁观察下列等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;2+22+23+24+25=26-2;已知按一定
2、规律排列的一组数:220,221,222,223,224,238,239,240,若220=m,则220+221+222+223+224+238+239+240=(结果用含m的代数式表示).答案m(2m-1)解析 220=m,220+221+222+223+224+238+239+240=220(1+2+22+219+220)=220(1+221-2)=m(2m-1).3.2019永州我们知道,很多数学知识相互之间都是有联系的.如图Z1-1,图一是“杨辉三角”数阵,其规律是:从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和;图二是二项和的乘方(a+b)n的展开式(按b的
3、升幂排列).经观察:图二中某个二项和的乘方的展开式中,各项的系数与图一中某行的数一一对应,且这种关系可一直对应下去.将(s+x)15的展开式按x的升幂排列得:(s+x)15=a0+a1x+a2x2+a15x15.依上述规律,解决下列问题:(1)若s=1,则a2=.(2)若s=2,则a0+a1+a2+a15=.图Z1-1(1)若s=1,则a2=.答案1053.2019永州我们知道,很多数学知识相互之间都是有联系的.如图Z1-1,图一是“杨辉三角”数阵,其规律是:从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和;图二是二项和的乘方(a+b)n的展开式(按b的升幂排列).经观
4、察:图二中某个二项和的乘方的展开式中,各项的系数与图一中某行的数一一对应,且这种关系可一直对应下去.将(s+x)15的展开式按x的升幂排列得:(s+x)15=a0+a1x+a2x2+a15x15.依上述规律,解决下列问题:(2)若s=2,则a0+a1+a2+a15=.图Z1-1图Z1-1答案315解析若s=2,令x=1,则(2+1)15=a0+a1+a2+a15,即a0+a1+a2+a15=315.类型二图形规律探索4.2020温州模拟如图Z1-2,第1个图形中有1个三角形,第2个图形中有5个三角形,第3个图形中有9个三角形,则第2019个图形中有个三角形.图Z1-2答案8073解析 由图可得
5、,第1个图形中有1个三角形,第2个图形中有1+4=5(个)三角形,第3个图形中有1+4+4=1+42=9(个)三角形,则第2019个图形中有:1+4(2019-1)=8073(个)三角形.图Z1-3答案219图Z1-4答案4039图Z1-5答案8.2020嘉兴模拟在ABC中,C=90,AC=4,BC=3,如图Z1-6,四边形DEFG为ABC的内接正方形,则正方形DEFG的边长为.如图,若三角形ABC内有并排的n个全等的正方形,它们组成的矩形内接于ABC,则正方形的边长为.图Z1-6答案类型三坐标系中的规律探索图Z1-7答案A图Z1-8答案(0,-22019)11.2020龙东地区如图Z1-9,
6、直线AM的解析式为y=x+1,与x轴交于点M,与y轴交于点A,以OA为边作正方形ABCO,点B坐标为(1,1).过B点作EO1MA交MA于点E,交x轴于点O1,过点O1作x轴的垂线交MA于点A1.以O1A1为边作正方形O1A1B1C1,点B1的坐标为(5,3).过点B1作E1O2MA交MA于E1,交x轴于点O2,过点O2作x轴的垂线交MA于点A2.以O2A2为边作正方形O2A2B2C2,则点B2020的坐标为.图Z1-9答案(232020-1,32020)解析 点B坐标为(1,1),OA=AB=BC=CO=CO1=1,A1(2,3),A1O1=A1B1=B1C1=C1O2=3,B1(5,3),
7、A2(8,9),A2O2=A2B2=B2C2=C2O3=9,B2(17,9),同理可得B3(53,27),B4(161,81),由上可知,Bn(23n-1,3n),当n=2020时,Bn(232020-1,32020).12.2018衢州定义:在平面直角坐标系中,一个图形先向右平移a个单位,再绕原点按顺时针方向旋转角度,这样的图形运动叫做图形的(a,)变换.如图Z1-10,等边三角形ABC的边长为1,点A在第一象限,点B与原点O重合,点C在x轴的正半轴上.A1B1C1就是ABC经(1,180)变换后所得的图形.若ABC经(1,180)变换后得A1B1C1,A1B1C1经(2,180)变换后得A2B2C2,A2B2C2经(3,180)变换后得A3B3C3,以此类推,An-1Bn-1Cn-1经(n,180)变换后得AnBnCn,则点A1的坐标是,点A2018的坐标是.图Z1-10答案图Z1-11答案
