1、专题三突破解答题之 2函数与图象函数及其图象是初中数学的重要内容.函数关联着丰富的几何知识，且与许多知识有深刻的内在联系，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位.函数与图象常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等.中考时常见的题型有图象信息题、代数几何综合题、函数探索开放题、函数创新应用题等.应用以上数学思想解决函数问题的题目是中考压轴题的首选.函数图象和性质例 1：(2018 年浙江衢州)星期天，小明上午 8：00 从家里出发，骑车到图书馆去
2、借书，再骑车回到家.他离家的距离 y(单位：千米)与时间 t(单位：分钟)的关系如图 Z3-1，则上午 8：45小明离家的距离是_千米.图 Z3-1解析：设当 40t60 时，距离 y(单位：千米)与时间 t(单位：分钟)的函数关系为 yktb，图象经过(40,2)(60,0)，答案：1.5名师点评本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题关键.例 2：(2018 年内蒙古通辽)已知抛物线yx22xk1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数 ykxk 与反比例函数ABCD解析：抛物线 yx22xk1与 x 轴有两个不同的交点，44(k1)0.解得 k0.一次函数
3、 ykxk 的图象经过第一、二、四象限，答案：D名师点评本题主要考查了反比例函数、二次函数、一次函数图象，运用“当b24ac0时，抛物线与 x 轴有2 个交点”得出 k0 是解题关键.函数解析式的求法例 3：如图 Z3-2，在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形的图象经过线段 OC 的中点 A，交 DC 于点 E，交 BC 于点 F.设直线 EF 的解析式为 yk2xb.求反比例函数和直线 EF 的解析式.图 Z3-2思路分析先利用矩形的性质确定点 C 的坐标为(6,4)，再确定点 A 的坐标为(3,2)，则根据反比例函数图象上点的坐标特解：四边形 DOBC 是矩形，且点 D(0,4)，B(
4、6,0)，点 C 的坐标为(6,4).点 A 的为线段 OC 的中点，点A的坐标为(3,2).k1326.名师点评本题主要考查待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，关键是正确确定点的坐标.代数几何综合题例 4：(2018 年湖南长沙)如图 Z3-3，在平面直角坐标系 xOyQ(1，m)，直线 PQ 与 x 轴，y 轴分别交于 C，D 两点，点 M(x，y)是该函数图象上的一个动点，过点 M 分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A，B.(1)求OCD 的度数；(2)当 m3,1x3 时，存在点 M 使得OPMOCP，求此时点 M 的坐标；(3)当 m5 时，矩形 OAMB 与OPQ 的
5、重叠部分的面积能否等于 4.1？请说明你的理由.图 Z3-3解：(1)设直线 PQ 的解析式为 ykxb，yxm1.令 x0，得到 ym1，D(0，m1).令 y0，得到 xm1，C(m1,0).OCOD.COD90，OCD45.当 1x5 时，如图 Z3-4(1)，(1)(3)(2)图Z3-4化简得到：x49x2250，0，没有实数根.当x1时，如图Z3-4(2)，SSOGHSOAM2.5，不存在.当x5时，如图Z3-4(3)，SSOTSSOBM2.5，不存在.综上所述，当m5时，矩形OAMB与OPQ的重叠部分的面积不能等于4.1.名师点评本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、一元二次方程、
6、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.函数探索开放题例 5：如图 Z3-5，直线 AB 的解析式为 y2x4，交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，以 A 为顶点的抛物线交直线 AB 于点 D，交 y 轴负半轴于点 C(0，4).(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线顶点沿着直线 AB 平移，此时顶点记为 E，与 y轴的交点记为 F，求当BEF 与BAO 相似时，E 点坐标；记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则SEFG与SACD是否存在 8 倍的关系？若有请直接写出 F 点的坐标.图 Z3
7、-5解：(1)直线 AB 的解析式为 y2x4，令 x0，得 y4；令 y0，得 x2.A(2,0)，B(0,4).抛物线的顶点为点 A(2,0)，设抛物线的解析式为ya(x2)2，点 C(0，4)在抛物线上，代入上式得44a，解得 a1.抛物线的解析式为y(x2)2.(2)平移过程中，设点E的坐标为(m,2m4)，则平移后抛物线的解析式为y(xm)22m4.F(0，m22m4).点E为顶点，BEF90.若BEF与BAO相似，只能是点E作为直角顶点.BAOBFE，如图 Z3-6，过点 E 作 EHy 轴于点 H，图 Z3-6则点 H 的坐标为 H(0,2m4).B(0,4)，H(0,2m4)，
8、F(0，m22m4)，BH|2m|，FH|m2|.点E与点G横坐标相差2，即|xG|xE|2.如图 Z3-7，当顶点 E 在 y 轴左侧时.图 Z3-7B(0,4)，F(0，m22m4)，BF|m22m|.|m22m|64或|m22m|1.m22m可取值为64，64,1，1.当取值为64时，一元二次方程m22m64无解，故m22m64.m22m可取值为64,1，1.F(0，m22m4)，点F的坐标可取为(0，60)，(0,3)，(0,5).同理，当顶点E在y轴右侧时，点F为(0,5).综上所述，SEFG与SACD存在8倍的关系，点F的坐标为(0，60)或(0,3)或(0,5).名师点评本题是二次函数压轴题，涉及运动型与存在型问题，难度较大.第(2)问中，解题关键是确定点E 为直角顶点，且BE2EF；第(2)问中，注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用.
