1、题型七与四边形有关的证明与计算【例例】(兰州二诊兰州二诊)如图，在如图，在 ABCD中，中，对对角角线线AC，BD相交于点相交于点O，以，以AC为为斜斜边边的等腰直角的等腰直角AEC的的边边CE，与，与AD交于点交于点F，连连接接OE，使得，使得OEOD.在在AD上截取上截取AHCD，连连接接EH，ED.(1)判断四判断四边边形形ABCD的形状，并的形状，并说说明理由；明理由；(2)若若AB1，BC3，求，求EH的的长长【分析分析】(1)由平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，得出由平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，得出OAOD，则则ACBD，得出平行四边形得出平行四边形ABCD是矩形
2、；是矩形；(2)由由SAS证得证得EAH ECD，得出对应角得出对应角，对应边相等对应边相等，证明证明HED90，由等腰直角三角形的性质即由等腰直角三角形的性质即可得出结果可得出结果解：解：(1)四边形四边形ABCD为矩形理由：为矩形理由：四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，OAOC，OBOD.在在RtACE中，中，OE为斜边为斜边AC上的中线，上的中线，OE OA.OEOD，OA OD，即，即ACBD，四边形四边形ABCD为矩形；为矩形；1如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABCD，且，且AB2CD，E，F分别是分别是AB，BC的中点，的中点，EF与与BD交于点交于点H
3、.(1)求证：四边形求证：四边形BCDE是平行四边形；是平行四边形；(2)若若BD9，求，求DH的长的长(1)证明：证明：E是是AB的中点，的中点，AB2EB，AB2CD，DCBE，又，又ABCD，即，即DCBE，四边形四边形BCDE是平行四边形；是平行四边形；2(2020北京北京)如图，菱形如图，菱形ABCD的对角线的对角线AC，BD相交于点相交于点O，E是是AD的中点，点的中点，点F，G在在AB上，上，EFAB，OGEF.(1)求证：四边形求证：四边形OEFG是矩形；是矩形；(2)若若AD10，EF4，求，求OE和和BG的长的长3(2020青岛青岛)如图，在如图，在 ABCD中，对角线中，
4、对角线AC与与BD相交于点相交于点O，点点E，F分别在分别在BD和和DB的延长线上，且的延长线上，且DEBF，连接，连接AE，CF.(1)求证：求证：ADE CBF；(2)连接连接AF，CE.当当BD平分平分ABC时，四边形时，四边形AFCE是什么特殊四边形？是什么特殊四边形？请说明理由请说明理由(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ADCB，ADBC，ADOCBD，ADECBF.又又DEBF，ADE CBF(SAS)；(2)解：解：当当BD平分平分ABC时，四边形时，四边形AFCE是菱形是菱形理由：理由：BD平分平分ABC，ABDCBD.ADBCBD，ABDADB
5、，ABAD，平行四边形平行四边形ABCD是菱形是菱形ACBD，ACEF.DEBF，OBOD，OEOF.又又OAOC，四边形四边形AFCE是平行四边形是平行四边形ACEF，四边形四边形AFCE是菱形是菱形4(2020云南云南)如图，四边形如图，四边形ABCD是菱形，点是菱形，点H为对角线为对角线AC的中点，的中点，点点E在在AB的延长线上，的延长线上，CEAB，垂足为点，垂足为点E，点点F在在AD的延长线上，的延长线上，CFAD，垂足为点，垂足为点F.(1)若若BAD60，求证：四边形，求证：四边形CEHF是菱形；是菱形；(2)若若CE4，ACE的面积为的面积为16，求菱形，求菱形ABCD的面积
6、的面积(1)证明：证明：线段线段BP绕点绕点B顺时针旋转顺时针旋转90得到线段得到线段BQ，BPBQ，PBQ90.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，BABC，ABC90，ABCPBQ.ABCPBCPBQPBC，即即ABPCBQ.BAP BCQ(SAS)，CQAP.6(2020鄂州鄂州)如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD交于点交于点O，点点M，N分别为分别为OA，OC的中点，延长的中点，延长BM至点至点E，使，使EMBM，连接，连接DE.(1)求证：求证：AMB CND；(2)若若BD2AB，且，且AB5，DN4，求四边形，求四边形DEMN的面积的
7、面积(1)证明证明：平行四边形平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC与与BD交于点交于点O，AOCO.又又点点M，N分别为分别为OA，OC的中点，的中点，AMCN.四边形四边形ABCD是平行四是平行四边 形，边 形，A B C D，A B C D，B A M D C N，AMB CND(SAS)；(2)解：解：AMB CND，BMDN，ABMCDN.又又BMEM，DNEM.ABCD，ABOCDO，MBONDO，MEDN，四边形四边形DEMN是平行四边形是平行四边形BD2AB，BD2BO，ABOB，又，又M是是AO的中点，的中点，BMAO，EMN90，四边形四边形DEMN是矩形是矩形AB5，
8、DNBM4，AM3MO，MN6，矩矩形形DEMN的面积的面积MNDN24.7(2020荆州荆州)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB20，点点E是是BC边上的一点将边上的一点将ABE沿着沿着AE折叠，折叠，点点B刚好落在刚好落在CD边上点边上点G处点处点F在在DG上，上，将将ADF沿着沿着AF折叠，点折叠，点D刚好落在刚好落在AG上点上点H处，处，此时此时SGFH SAFH2 3.(1)求证：求证：EGCGFH；(2)求求AD的长；的长；(3)求求tan GFH的值的值(1)证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，BDC90.由折叠对称知由折叠对称知AGEB90，AHFD90，GHFC90，EGCHGF90，GFHHGF90，EGCGFH，EGCGFH；(2)解：解：SGFH SAFH2 3，GFH和和AFH等高，等高，GH AH2 3.由题意知由题意知AGGHAHAB20，GH8，AH12.ADAH12；
