1、题型七几何探究题目录考法 类型1 与全等三角形有关的探究 类型2 与相似三角形有关的探究 类型3 与全等、相似三角形有关的探究考法 类型1与全等三角形有关的探究例1 2019贵州安顺(1)如图(1),在四边形ABCD中,ABCD,点E是BC的中点,若AE是BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的数量关系.解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F,易证AEB FEC,得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中,即可判断出AB,AD,DC之间的数量关系为;(2)问题探究:如图(2),在四边形ABCD中,ABCD,点F为DC延长线上一点,连接AF,点E是BC的中点,若
2、AE是BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的数量关系,并证明你的结论.AD=AB+DC类型1与全等三角形有关的探究【思路分析】(1)AD=AB+DC解法提示解法提示:AE是是BAD的平分线的平分线,DAE=BAE.ABCD,F=BAE,DAE=F,AD=DF.点点E是是BC的中点的中点,CE=BE.又又F=BAE,AEB=CEF,CEF BEA,AB=CF.又又DF=CF+DC.AD=AB+DC.类型1与全等三角形有关的探究(2)AB=AF+CF.证明证明:如图如图,延长延长AE交交DF的延长的延长线于点线于点G,AE平分平分BAF,BAG=FAG.ABDC,BAG=G,FAG=G.FA
3、=FG.点点E是是BC的中点的中点,CE=BE.又又AEB=GEC,AEB GEC,AB=GC.又又CG=CF+FG,AB=AF+CF.类型1与全等三角形有关的探究1.出现“a+b=c”时,通常用“截长补短”法求解.涉及“中点”时往往需要通过“倍长中线”构造全等三角形解决问题.2.“角平分线”+“平行线”=“双平等腰”(两个“平”产生等腰三角形).例1中,如图(1),ABCD,AE平分BAD,延长AE交DC的延长线于点F,则ADF是等腰三角形.如图(2),ABCD,AE平分BAF,延长AE交DF的延长线于点G,则AFG是等腰三角形.高分技法高分技法类型1与全等三角形有关的探究例2 2020黑龙
4、江七台河以RtABC的两边AB,AC为边,向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接EG,过点A作AMBC于点M,延长MA交EG于点N.(1)如图(1),若BAC=90,AB=AC,求证:EN=GN;(2)如图(2),BAC=90;如图(3),BAC90.(1)中结论是否成立?若成立,选择一个图形进行证明;若不成立,写出你的结论,并说明理由.类型1与全等三角形有关的探究【思路分析】类型1与全等三角形有关的探究类型1与全等三角形有关的探究“一线三直角”模型是特殊的一线三等角模型.本题中用到了“一线三直角”模型,其基本图形如下:1.构造“一线三直角”的步骤:若出现一直角的顶点在一条直线上的形式,就
5、可以构造两侧的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解决相关问题.综合性题目往往就会把全等和相似的转化作为出题的一种形式.本质就是找角、定线、构相似或垂直.2.一般结论:(1)当AB=AC时,ACD BAE;(2)当ABAC时,ACDBAE.高分技法高分技法类型1与全等三角形有关的探究3.一线三直角的应用:(1)图形中已经存在“一线三直角”,直接应用模型解题;(2)图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;(3)图形中只有直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;(4)图形中只有一个直角,过该直角顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型;(5)对于平面直角坐标系,在x轴或y轴
6、(也可以是平行于x轴或y轴的直线)上构造“一线三直角”是解决问题的关键.高分技法高分技法类型2与相似三角形有关的探究例3 2019安徽如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC,P为ABC内部一点,且APB=BPC=135.(1)求证:PABPBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2h3.类型2与相似三角形有关的探究类型2与相似三角形有关的探究1.借助比例条件和等角得到相似三角形;2.题目中有直角时,依托直角、作垂线构造一线三直角(三垂直)模型;3.题目中出现多个中点时,可依托中位线得平行,寻找比例关系,得到相似
7、三角形;4.题目中出现“残缺”的“A型”或“X型”相似模型时,可以通过延长线段将其补全;5.借助平移、旋转、对称三大变换来构造相似三角形.高分技法高分技法相似三角形的模型构建类型2与相似三角形有关的探究例4 2020合肥包河区一模如图(1),在ABC中,AB=AC,BC=6,BE为中线,点D为BC边上一点,BD=2CD,DFBE于点F,EHBC于点H.(1)CH的长为;(2)求BFBE的值;(3)如图(2),连接FC,求证:EFC=ABC.23类型2与相似三角形有关的探究类型2与相似三角形有关的探究类型2与相似三角形有关的探究1.已知一个中点或多个中点时,一般需要构造中位线来解决问题.如图(1
8、),ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,则DE为ABC的中位线,可得到DEBC,DE=BC,ADEABC.如图(2),ABC中,点D是AB的中点,取AC的中点E,连接DE(或过点D作DEBC交AC于点E),则DE为ABC的中位线.高分技法高分技法类型2与相似三角形有关的探究2.等腰三角形遇“中点”,要想到“三线合一”,通常需要连接底边中点和顶角顶点.如图(3),在ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,连接AD,得到ADBC.3.遇到证明题,发现正向推导没有思路时,可采用“逆推”思想解题.如例4第(2)问,无法直接求得BFBE的值,可观察BE,BF所在的三角形,结合DFBE,E
9、HBC得到DFBEHB(反A共角型相似),再结合相似三角形对应边成比例求解即可.高分技法高分技法类型3与全等、相似三角形有关的探究例5 2020安徽如图(1),已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD,EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.(1)求证:BDEC;(2)若AB=1,求AE的长;(3)如图(2),连接AG,求证:EG-DG=AG.2类型3与全等、相似三角形有关的探究类型3与全等、相似三角形有关的探究类型3与全等、相似三角形有关的探究类型3与全等、相似三角形有关的探究类型3与全等、相似三角形有关的探究1.直接求证三角形全等或相似.2.求角度:一般利用线段间数量关系或特殊三角形求出相应角度,再进行等量代换.3.求比例关系:结合平行线性质、相似三角形进行等量代换,一般通过相似三角形的对应边成比例,把待求的两边比值转化为已知两边的比值,此类问题经常需要借助中点来构造中位线.4.涉及三角函数值:若这个角在直角三角形中,可直接借助三角函数定义求解,若不在直角三角形中,可以考虑采用找全等、相似三角形的方法,确定与该角相等的另一个角的三角函数值来进行求解.高分技法高分技法几何压轴题中的几种设问方式
