1、1 2023 年北京市丰台区高三一模数学试卷 本试卷共 9 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。1.已知集合11Axx=，02Bxx=，则AB=A.11xx B.01xx C.02xx D.12xx 2.若,a b cR，ab，则A.11abB.22ab C.acbc D.acbc3.已知圆222(2)(3)xyr+=(0)r 与y轴相切，则r=A.2B.3C.2 D
2、.3 4.已知()f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时，2()logf xx=，则(2)f=A.1 B.0C.1 D.2 5.在平面直角坐标系xOy中，若角以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为32，则的一个可能取值为 A.60 B.30 C.45 D.60 6.在ABC中，若2cossinsinABC=，则该三角形的形状一定是A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 2 7.设无穷等差数列 na的前n项和为nS，则“对任意*nN，都有0na”是“数列nS为递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要
3、条件 8.已知抛物线2:2(0)C ypx p=的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为2 2，过点A向抛物线C的准线作垂线，垂足为B.若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为 A.1 B.2 C.2 D.2 2 9.已知函数()f x的定义域为R，存在常数t(0)t，使得对任意xR，都有()()f xtf x+=.当0,)xt，()|2tf xx=.若()f x在区间(3,4)上单调递减，则t的最小值为 A.3 B.83 C.2 D.85 10.如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，2AC=，1BC=，12AA=，点D在棱AC上，点E在棱1BB上，给出下
4、列三个结论：三棱锥EABD的体积的最大值为23；1ADDB+的最小值为25+；点D到直线1C E的距离的最小值为2 55.其中所有正确结论的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 3 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.若复数i1ia+()aR是纯虚数，则a=_.12.已知正方形ABCD的边长为2，则AB AC=_.13.从2,1,1,2,3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A，“两数均为负数”为事件B，则()P B A=_.14.设函数3,(),ax xaf xxx xa=，若()f x存在最小值，则a的一个取值
5、为_.15.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图 仍不能解决这个问题.古希腊数学家Pappus（约300350前 后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于,A B两点；取线段 AB的三等分点,O D；以B为焦点，,A D为顶点作双曲线W.双曲线W与弧AB的交点记为E，连接CE，则13BCEACB=.双曲线W的离心率为_；若2ACB=，|3 2AC=，CE交AB于点P，则|OP=_.4 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题 13 分）已知函数()2sin()f xx=+(0,0)的
6、部分图像如图所示.（）求()f x的解析式；（）若函数()()sing xf xx=，求()g x在区间0,4上的最大值和最小值.5 17.（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，60BAD=，PBPD=，点E是棱PA的中点，连接,OE OP.（）求证：/OE平面PCD；（）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为155，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长.条件：平面PBD平面ABCD；条件：PBAC.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.6 18.（本小题 14 分）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的
7、客观指标，TPI 越大代表拥堵程度越高.某平台计算 TPI 的公式为：TPI=实际行程时间畅通行程时间，并按 TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI 1,1.5)1.5,2)2,4)不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路 TPI 的统计数据如下图：（）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路 TPI 比 2022年同日 TPI 高的天数记为X，求X的分布列及数学期望()
8、E X；（）把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路 TPI 依次记为127,a aa，将2022年同期 TPI 依次记为127,b bb，记iiicab=(1,2,7)i=，7117iicc=，请直接写出|icc取得最大值时i的值.7 19.（本小题 15 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的一个顶点为(0,1)A，焦距为2.（）求椭圆E的方程；（）过点(2,0)P的直线与椭圆E交于,B C两点，过点,B C分别作直线:l xt=的垂线（点,B C在直线l的两侧），垂足分别为,M N，记,BMPMNPCNP的面积分别为123,S S S.试问：
9、是否存在常数t，使得1231,2SS S总成等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.8 20.（本小题 15 分）已知函数()exaf xx=+(0)a.（）求函数()f x的极值；（）若函数()f x有两个不相等的零点12,x x，（）求a的取值范围；（）证明：122lnxxa+.9 21.（本小题 14 分）已知集合1,2,3,2nSn=*(,4)nnN，对于集合nS的非空子集A，若nS中存在三个互不相同的元素,a b c，使得,ab bc ca+均属于A，则称集合A是集合nS的“期待子集”.（）试判断集合13,4,5A=，23,5,7A=是否为集合4S的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）（）如果一个集合中含有三个元素,x y z，同时满足xyz；xyz+；xyz+为偶数.那么称该集合具有性质P.对于集合nS的非空子集A，证明：集合A是集合nS的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P；（）若nS(4)n 的任意含有m个元素的子集都是集合nS的“期待子集”，求m的最小值.
