1、1第六部分第六部分 自旋及全同粒子体系自旋及全同粒子体系一、学习要点一、学习要点1、电子具有自旋角动量、电子具有自旋角动量 在任一方向上的分在任一方向上的分量值为量值为 ，且，且电子具有自旋磁矩电子具有自旋磁矩自旋分量满足角动量对易关系自旋分量满足角动量对易关系轨道磁矩轨道磁矩22、在、在 表象中，根据表象中，根据 ，有，有称为称为Pauli矩阵的三个分量，并满足对易关系矩阵的三个分量，并满足对易关系以及反对易关系以及反对易关系和平方为和平方为1关系关系33、在、在 表象中，表象中，的本征值与本征态为的本征值与本征态为但但问题：如果在某一态中问题：如果在某一态中 取确定值取确定值 和和 是否取
2、确定值？为什么？是否取确定值？为什么？如何理解如何理解 和和 只能取只能取 两个值？两个值？测值只能测到此二值，别的值测不到。测值只能测到此二值，别的值测不到。4567而自旋而自旋 在任方向在任方向 上的分量上的分量 及其及其本征值、本征态为（见习题本征值、本征态为（见习题8.2）84、在引入自旋后，电子的波函数、在引入自旋后，电子的波函数 表现表现 为一列矩阵为一列矩阵-二分量波函数二分量波函数其归一化条件为其归一化条件为5、满足满足S-方程方程9或或如果如果 不含不含 ，则，则其中其中 满足定态方程满足定态方程或或问题：此处取什么表象？问题：此处取什么表象？10第二式具有如下形式第二式具有
3、如下形式如果如果则则其中其中 满足方程满足方程其中其中116、电子的总角动量、电子的总角动量故故与与 相互对易，它们具有共同的本征函数相互对易，它们具有共同的本征函数7、原子中电子具有轨道磁矩和自旋磁矩，故在均原子中电子具有轨道磁矩和自旋磁矩，故在均 匀磁场匀磁场 中的势能为中的势能为其中其中是产生原子光谱塞曼效应的原因。是产生原子光谱塞曼效应的原因。128、的自旋分量的自旋分量 表象中的矩阵为表象中的矩阵为希望能记住这个表达式，与希望能记住这个表达式，与2维的同等重要！维的同等重要！13其中其中 的本征值及对应的本征态矢为的本征值及对应的本征态矢为14对全同电子的自旋波函数来说，它本对全同电
4、子的自旋波函数来说，它本身既身既可以是可以是交换对称的，也可以是交换反对称的。取决于位交换对称的，也可以是交换反对称的。取决于位置空间波函数的对称性。置空间波函数的对称性。S=1，自旋三重态，自旋三重态S=0，自旋单态自旋单态9、两个、两个 的自旋的自旋 耦合成耦合成 ，总自旋，总自旋 的体系，的体系，的共同本征态为的共同本征态为 则有则有 1510、全同性原理：全同粒子体系的状态对交换其中、全同性原理：全同粒子体系的状态对交换其中 任一对粒子保持不变。任一对粒子保持不变。全同性原理对全同粒子体系波函数的要求：全同性原理对全同粒子体系波函数的要求：由由 个全同粒子组成的体系波函数记为个全同粒子
5、组成的体系波函数记为其中其中 表示第表示第 个粒子的全部坐标。引个粒子的全部坐标。引入交换算符入交换算符 ，它对，它对 的作用是的作用是16对对Bose子体系，波函数必须交换对称；对子体系，波函数必须交换对称；对Fermi子体系，波函数必须使之成为反对称。子体系，波函数必须使之成为反对称。根据全同性原理，全同粒子体系波函数根据全同性原理，全同粒子体系波函数 应该是应该是交换算符交换算符 的本征函数，本征值为的本征函数，本征值为 。实验表。实验表明：对于自旋明：对于自旋 的全同粒子（玻色子）体系，的全同粒子（玻色子）体系，；对于自旋；对于自旋 的全同粒子（费米子）的全同粒子（费米子）体系体系 。
6、17另外注意几个基本概念另外注意几个基本概念：自旋角动量算符自旋角动量算符自旋角动量量子数自旋角动量量子数自旋磁量子数自旋磁量子数自旋角动量平方算符自旋角动量平方算符本征值为常数本征值为常数自旋角动量分量算符自旋角动量分量算符本征值为本征值为量子数与本征值不是一回事！量子数与本征值不是一回事！18二、例题二、例题这部分内容综合性较强，但做的题目又较少，这部分内容综合性较强，但做的题目又较少，可能比较生疏。特别是当涉及到全同粒子体系可能比较生疏。特别是当涉及到全同粒子体系时更是这样。时更是这样。6.1 电子偶素（电子偶素（束缚态）类似于氢原子，只是束缚态）类似于氢原子，只是 用一个正电子代替质子
7、作为核。在非相对论用一个正电子代替质子作为核。在非相对论 近似下，其能量和波函数同氢原子类似。今设近似下，其能量和波函数同氢原子类似。今设 在电子偶素的基态（在电子偶素的基态（s 态）里，存在一种接触态）里，存在一种接触 型自旋交换作用型自旋交换作用 ，19 其中其中 与与 分别分别 是正负电子的自旋磁矩。利用一级微扰论计算是正负电子的自旋磁矩。利用一级微扰论计算 此基态中自旋单态与三重态之间的能量差，决此基态中自旋单态与三重态之间的能量差，决 定哪一能量最低。已知氢原子基态波函数定哪一能量最低。已知氢原子基态波函数分析：进行微扰论计算时，先看所讨论能级是分析：进行微扰论计算时，先看所讨论能级
8、是否简并。对氢原子基态，位置空间部分是非简否简并。对氢原子基态，位置空间部分是非简并的，但自旋空间部分，电子偶素有四个自旋并的，但自旋空间部分，电子偶素有四个自旋态，故是存在简并的。另外注意，没有外磁场态，故是存在简并的。另外注意，没有外磁场时，若不考虑旋时，若不考虑旋-轨耦合，自旋对轨耦合，自旋对 没有贡献。没有贡献。可以看作微扰。可以看作微扰。20解：由解：由所以所以其中其中 是电子偶素的总自旋，不考是电子偶素的总自旋，不考虑虑 时，基态能量时，基态能量 ，其中，其中 ，为电子质量，为电子质量，是四度简并的。是四度简并的。相应的四个波函数分别为相应的四个波函数分别为21微扰矩阵元微扰矩阵元
9、原因：四个自旋态都是原因：四个自旋态都是 的本征态，从而也是的本征态，从而也是 的本征态。这样简并微扰问题就可以用非的本征态。这样简并微扰问题就可以用非简并微扰方法来处理，且四个简并微扰方法来处理，且四个 是零级近似是零级近似波函数。对自旋三重态，一级修正能量都相同波函数。对自旋三重态，一级修正能量都相同对自旋单态对自旋单态但但故故22自旋三重态与自旋单态能量之差自旋三重态与自旋单态能量之差将将 代入上式得代入上式得显然，自旋三重态能量高于自旋单态能量。显然，自旋三重态能量高于自旋单态能量。236.3 均匀磁场中电子偶素的哈密顿量为均匀磁场中电子偶素的哈密顿量为其中其中 是实常数，是实常数，B
10、 是磁场强度，下标是磁场强度，下标1与与2分别代表电子与正电分别代表电子与正电子，子，是泡利矩阵。当是泡利矩阵。当分析：看哈密顿算符的形式，考虑电子偶素的自旋分析：看哈密顿算符的形式，考虑电子偶素的自旋24解解：（：（1）当磁场为）当磁场为0时，由题目所给条件时，由题目所给条件可知可知对电子偶素来说，对电子偶素来说，的共同自旋波函数为的共同自旋波函数为这当然是这当然是 的本征函数，其本征值分别对应为的本征函数，其本征值分别对应为25（2）当磁场不为）当磁场不为0时时令令已经知道，上述四个自旋波函数是已经知道，上述四个自旋波函数是 的本征的本征函数。函数。但是否但是否 的本征函数？需要验证一下。
11、的本征函数？需要验证一下。同理同理故故26但但同理可得同理可得这样这样故态故态 是是 属属于本征值于本征值0的本征函数的本征函数同理可得同理可得但可以通过但可以通过 的的线线性组合性组合构构成成 的本征态的本征态即可以令即可以令从而从而 是是 属属于本征值于本征值 的本征函数的本征函数相应的本征函数记为相应的本征函数记为所以所以 不是不是 从而也不是从而也不是 的本征态。的本征态。27并满足方程并满足方程其中其中同理可证同理可证将上述微扰矩阵元代入系数所满足的方程，有将上述微扰矩阵元代入系数所满足的方程，有28由此方程可解得由此方程可解得 的另两组本征值与本征态矢的另两组本征值与本征态矢296
12、.4 一束极化的一束极化的s波（波（l=0）中子通过一个不均匀的）中子通过一个不均匀的 磁场后分裂成强度不同的两束，其中自旋反平行磁场后分裂成强度不同的两束，其中自旋反平行 磁场的一束与自旋平行于磁场的一束的强度之比磁场的一束与自旋平行于磁场的一束的强度之比 为为3：1。求入射中子自旋方向与磁场方向夹角的。求入射中子自旋方向与磁场方向夹角的 大小。大小。zn提示：无轨道磁矩。电子、质子、中子等的自旋提示：无轨道磁矩。电子、质子、中子等的自旋皆为皆为1/2。需要。需要搞清楚搞清楚初初末末状态。状态。30离离开磁场后处在自旋开磁场后处在自旋Sn本征态的本征态的叠叠加态中加态中初状态：设入射中子自旋
13、极化方向为初状态：设入射中子自旋极化方向为z轴正向轴正向题目所给条件等题目所给条件等价价于说：中子通过磁场后处在于说：中子通过磁场后处在 本征值为本征值为 的几率为多少。这是的几率为多少。这是我我们们熟悉熟悉问题问题解：设磁场方向解：设磁场方向n同同z轴之间的夹角为轴之间的夹角为末末状态：状态：磁场磁场n方向，由于受到自旋磁矩的作用方向，由于受到自旋磁矩的作用 已知已知 的本征值为的本征值为 的态矢为的态矢为31由题意知由题意知入射中子自旋态为入射中子自旋态为 ，即初态，则有，即初态，则有容易求得容易求得从而求得从而求得它们也是分别隶它们也是分别隶属属于能量本征值为于能量本征值为 的本征态矢的
14、本征态矢从而可以写出任意时刻的波函数为从而可以写出任意时刻的波函数为32B 6.5 有一定域电子（作为近似模型可以不考虑轨道有一定域电子（作为近似模型可以不考虑轨道 运动）受到均匀磁场运动）受到均匀磁场 的作用，磁场指向的作用，磁场指向 轴轴 正方向，相互作用势正方向，相互作用势 ，设，设 时电子自时电子自 旋方向朝上，即旋方向朝上，即 ，求，求 时自旋时自旋 的平的平 均值。均值。t=0 分析：分析：求求 的平均值实际上是求各分量的平均值，因而的平均值实际上是求各分量的平均值，因而需求需求 时的波函数。关键是求时的波函数。关键是求 时的波函数。时的波函数。而而 时，时，故关键是求故关键是求
15、的本征态。而这的本征态。而这是容易做到的。由于不考虑外场时是自由粒子体是容易做到的。由于不考虑外场时是自由粒子体系，故不研究平动部分。系，故不研究平动部分。33解：解：习题中已经做过：在习题中已经做过：在 表象下，表象下，的本征值的本征值与本征态分别为（应记住！）与本征态分别为（应记住！）故在故在 表象下，表象下，的本征值与本征态分别为的本征值与本征态分别为34则任意则任意 时刻的态矢可在时刻的态矢可在 表象下按表象下按 的本的本征态展开为征态展开为由初始条件确定由初始条件确定35或或36可直接由下式给出可直接由下式给出即即而而（因是按（因是按 的本征态展开）的本征态展开）37可直接由下式给出
16、可直接由下式给出（因是按（因是按 的本征态展开）的本征态展开）即即386.7 自旋自旋 ，并具有自旋磁矩，并具有自旋磁矩 的粒子处于的粒子处于 沿沿x方向的均匀磁场方向的均匀磁场 B 中。已知中。已知 t=0 时，粒子时，粒子 的的 ，求在以后任意，求在以后任意t时刻发现粒子具有时刻发现粒子具有 的几率。的几率。分析：分析：思路思路非常非常清晰，清晰，与与6.56.5题很类似。题很类似。根据自旋哈密顿，写出其本征态，并由此写出根据自旋哈密顿，写出其本征态，并由此写出任意时刻的波函数，并用任意时刻的波函数，并用 的本征态来展开。的本征态来展开。解：自旋哈密顿量是解：自旋哈密顿量是在在 表象下，其
17、本征值和本征态为表象下，其本征值和本征态为39则任意时刻的态矢为则任意时刻的态矢为利用初始条件利用初始条件可以求出展开系数可以求出展开系数从而任意时刻的态矢为从而任意时刻的态矢为下下面面看在此态下看在此态下 取取 的几率是多少。的几率是多少。如何求？如何求？40已知在已知在 表象下表象下 的本征值与本征态矢为的本征值与本征态矢为令令则则同理可得同理可得因此任意时刻因此任意时刻 取取 的几率是的几率是二二者者之和为之和为1416.9 自旋投影算符自旋投影算符 为为Pauli矩阵，矩阵，为单为单 位方向矢量，位方向矢量，(1)对电子自旋朝上态对电子自旋朝上态 ，求，求 的可能的可能 值与相应几率；
18、值与相应几率；(2)对对 的本征值为的本征值为1的本征态，求的本征态，求 的可能的可能 值及相应的几率。值及相应的几率。分析：此二问关键是分析：此二问关键是搞清楚搞清楚在什么态下测什么值在什么态下测什么值 并要知道所测量并要知道所测量力力学量算符在学量算符在 表象下表象下 的本征函数。的本征函数。解：（解：（1）在）在 下测下测 的值的值已知在已知在 表象下表象下 的本征值与本征态矢为的本征值与本征态矢为42则在则在 态下测态下测 的几率分别为的几率分别为（2）在）在 的本征态的本征态 下，下，测测 的可能值，需要写出的可能值，需要写出 表象下表象下 的本征态来的本征态来剩剩下的问题就非常简单
19、了。下的问题就非常简单了。436.10 测量一个电子（处于自由空间）自旋测量一个电子（处于自由空间）自旋 分量，分量，结果为结果为 。（1）紧接着测量自旋）紧接着测量自旋 分量，得到的可能值分量，得到的可能值 与相应的几率是多少？与相应的几率是多少？（2）如果测量的自旋方向同）如果测量的自旋方向同 轴成轴成 角，得角，得 到的可能值与相应的几率是多少？期望到的可能值与相应的几率是多少？期望 值是多少？值是多少？分析：分析：测量测量 时有确定值，说明是时有确定值，说明是 表象，在此表象表象，在此表象下测下测 就好办了；第二问实际上是在就好办了；第二问实际上是在 表象下表象下测量测量 ，有了习题，
20、有了习题8.2的结论，问题也迎刃而解的结论，问题也迎刃而解zS44解：解：（1）在）在 表象下表象下 的本征值与本征态为的本征值与本征态为当电子处在当电子处在 的的 态时，测量态时，测量 得到得到的可能值与相应的几率为的可能值与相应的几率为（利用展开式利用展开式 ）45（2）令）令 是同是同 轴成轴成 角的方向上的单位矢量角的方向上的单位矢量 （方位角（方位角 ），已知），已知 的本征值的本征值 与本征态为与本征态为当电子处在当电子处在 的的 态时，测量态时，测量 得到得到的可能值与相应的几率为的可能值与相应的几率为466.13 一束速度为一束速度为 自旋自旋 在在 轴方向极化轴方向极化 的中
21、性粒子，沿的中性粒子，沿 轴方向通过宽轴方向通过宽 的均匀磁场区，磁场的均匀磁场区，磁场 的方向为正的方向为正 轴轴 方向。已知粒子具有自旋磁矩方向。已知粒子具有自旋磁矩 为常数。为常数。（1）求出粒子通过磁场区后其中）求出粒子通过磁场区后其中 的粒子数之比；的粒子数之比；（2）如希望通过磁场后的粒子全部都是自旋）如希望通过磁场后的粒子全部都是自旋 磁场强度应取什么值？磁场强度应取什么值？分析：分析：思路思路很很清楚清楚，关键是求自旋哈密顿的本征态，关键是求自旋哈密顿的本征态 从而得到任意时刻的波函数，而通过磁场从而得到任意时刻的波函数，而通过磁场 所用的时间可由题目所给条件容易求出。所用的时
22、间可由题目所给条件容易求出。47解：解：（1 1）自旋哈密顿为自旋哈密顿为故在故在 表象下表象下 的本征态矢和本征值为的本征态矢和本征值为则任意时刻的态矢为则任意时刻的态矢为利用初始条件利用初始条件可由求出可由求出从而任意时刻的波函数可以写为从而任意时刻的波函数可以写为48粒子处于自旋向下和向上的几率之比粒子处于自旋向下和向上的几率之比已知已知 ,则粒子通过磁场区后的几率之比为则粒子通过磁场区后的几率之比为（2 2）若要求通过磁场后，粒子的自旋全部向下，若要求通过磁场后，粒子的自旋全部向下，则要求则要求此时此时则则496.17 氢原子基态能量氢原子基态能量 。其中。其中 为为Bohr半径，半径
23、，为折合质量，近似等于为折合质量，近似等于 。(1)写出电子偶素的基态能量和写出电子偶素的基态能量和Bohr半径；半径；(2)由于电子有自旋，电子偶素基态的简并度是由于电子有自旋，电子偶素基态的简并度是 多少？多少？(3)电子偶素的基态会发生衰变，湮灭为光子。电子偶素的基态会发生衰变，湮灭为光子。这个过程中释放的能量和角动量是多少？证这个过程中释放的能量和角动量是多少？证 明终态至少有明终态至少有2个光子。个光子。提示：电子偶素衰变前的总能量为基态能量提示：电子偶素衰变前的总能量为基态能量 加质量所包含的能量加质量所包含的能量50解：（解：（1）电子偶素是氢原子体系中的质子）电子偶素是氢原子体
24、系中的质子被被一个一个 正电子所代替。正电子所代替。其基态能量同氢原子的基态能量，只是其基态能量同氢原子的基态能量，只是约约化化质量发生变化。质量发生变化。其中其中（2）这是一个）这是一个双双费米子非全同粒子体系，费米子非全同粒子体系，尽尽管管不考虑自旋时能级不简并，但考虑自旋后不考虑自旋时能级不简并，但考虑自旋后由于（由于（）共同本征态的存在使得能级简并）共同本征态的存在使得能级简并简并度是简并度是4四个简并态是四个简并态是51（3）电子偶素的基态发生衰变，湮灭为光子。）电子偶素的基态发生衰变，湮灭为光子。此过程能量、角动量要此过程能量、角动量要守恒守恒。释放前的可释放前的可资资用能（用能（
25、静静能能+动能）动能）这个能量全部变为光能。这个能量全部变为光能。释放前的角动量释放前的角动量注意：轨道角动量为注意：轨道角动量为0若释放前处于自旋三重态，则若释放前处于自旋三重态，则若释放前处于自旋单态，则若释放前处于自旋单态，则由于在释放前后体系的动量由于在释放前后体系的动量守恒守恒，故释放后体，故释放后体系的动量系的动量仍仍为为0。故终态至少有两个相反方向。故终态至少有两个相反方向的光子产生。的光子产生。526.20 自旋为自旋为1的带电粒子（电荷为的带电粒子（电荷为 ，质量为，质量为 ）受到磁场受到磁场 的作用，其哈密顿量为的作用，其哈密顿量为 如果如果 时，粒子的自旋指向时，粒子的自
26、旋指向 轴方向，求粒子轴方向，求粒子 自旋平均值的时间演化。自旋平均值的时间演化。提示：提示：思路思路非常明确。非常明确。给出哈密顿的本征值和本征态给出哈密顿的本征值和本征态写出加上外场后任意时刻的波函数写出加上外场后任意时刻的波函数利用初始条件决定展开系数利用初始条件决定展开系数给出自旋三个分量在任意态中的平均值给出自旋三个分量在任意态中的平均值53解：选解：选择择自旋自旋 表象，此时表象，此时能能够够求出它们的本征值及相应的态矢为求出它们的本征值及相应的态矢为由于由于故其本征值和本征函数可由故其本征值和本征函数可由 的本征值及的本征值及本征函数给出本征函数给出54故任意时刻的波函数为故任意
27、时刻的波函数为利用初始条件给出组合系数利用初始条件给出组合系数同理可得同理可得55代入任意时刻波函数表达式，有代入任意时刻波函数表达式，有由此可求出自旋在任意态中的平均值由此可求出自旋在任意态中的平均值同理可得同理可得566.23 体系由两个自旋体系由两个自旋 的非全同粒子组成，粒子的非全同粒子组成，粒子 之间的相互作用为之间的相互作用为 ，其中，其中 为常数。为常数。设设 时粒子时粒子1的自旋指向的自旋指向 轴正向，粒子轴正向，粒子2的的 自旋指向自旋指向 z 轴负向。轴负向。(1)在任意在任意 时刻测量粒子时刻测量粒子1的自旋处于的自旋处于 轴正向轴正向 的几率是多少？的几率是多少？(2)
28、在任意在任意 时刻粒子时刻粒子1与与2的自旋均处于的自旋均处于 轴正向轴正向 几率是多少？几率是多少？参看下题参看下题57 6.23 体系由两个自旋为体系由两个自旋为1/21/2的非全同粒子组成，粒子间的非全同粒子组成，粒子间的相互作用为的相互作用为 ，其中，其中 为常数。设为常数。设t=0t=0时，时，系统的状态为系统的状态为 。试求。试求（1 1）任意）任意t t时刻系统的状态时刻系统的状态 ；（2 2）任意）任意t t时刻测量系统的自旋态为时刻测量系统的自旋态为 的几率；的几率；（3 3）何时两个粒子的自旋实现反转？）何时两个粒子的自旋实现反转？解：（解：（1 1）系统的哈密顿量）系统的
29、哈密顿量取取 的共同本征态的共同本征态即有即有58 其中其中由于由于 所以所以（2 2）任意）任意t t时刻测量系统的自旋态为时刻测量系统的自旋态为 的几率的几率59另外可以看出，另外可以看出，中不存在中不存在 这两个这两个态，即任意时刻测得的几率均为零。态，即任意时刻测得的几率均为零。由此可得由此可得 （3 3）从）从 可以看出，由于体系初态是可以看出，由于体系初态是 要实现两个粒子的自旋反转，则须要实现两个粒子的自旋反转，则须606.25 两个自旋两个自旋 的粒子在的粒子在 表象的态为表象的态为 其中其中 代表粒子代表粒子 自旋向上的几率，自旋向上的几率，代表粒子代表粒子 自旋向下的几率。
30、自旋向下的几率。(1)求求 的本征值与本征态，的本征值与本征态，是常数；是常数；(2)设设 时，体系的态为时，体系的态为 ，求任意，求任意 时刻发现体系处于时刻发现体系处于 态的几率。态的几率。分析：理解记分析：理解记号号 的意的意义义61实际上实际上我我们所们所熟悉熟悉的的 本征态记为本征态记为这这些些本征态是否本征态是否还还是哈密顿算符是哈密顿算符的本征态？这是的本征态？这是我我们们首首先要解决的问题。先要解决的问题。解：（解：（1 1）求哈密顿算符）求哈密顿算符 的本征值和本征态的本征值和本征态首首先看上述四个态是否哈密顿算符的本征态先看上述四个态是否哈密顿算符的本征态利用利用容易求出容
31、易求出62同理可得同理可得说明说明 仍仍是是 的本征态，的本征态，属属于本征值于本征值0.0.但可以验证，但可以验证，不是不是 的本征态。的本征态。的另外两个本征态可以由的另外两个本征态可以由 线线性组合性组合构构成成并满足本征值为并满足本征值为E E的本征值方程的本征值方程关键是求组合系数。这是关键是求组合系数。这是我我们所们所熟悉熟悉的过程。的过程。利用利用其中其中63同理可得同理可得代入代入可得可得解之可得解之可得前前面面给出的两个解给出的两个解这样就可以写出任意时刻的态矢这样就可以写出任意时刻的态矢64（2 2）任意时刻的态矢为）任意时刻的态矢为利用初始条件定展开系数利用初始条件定展开
32、系数当当t=0t=0时体系处于态时体系处于态可求得展开系数可求得展开系数故故所以任意所以任意t t时刻体系处在时刻体系处在 的的几率是几率是656.27 一个两能级体系，哈密顿量为一个两能级体系，哈密顿量为 ，能级间隔，能级间隔 大小为大小为 。现在此系统受到微扰。现在此系统受到微扰 的作用，的作用，在在 表象中表象中 的表示为的表示为 ，其中其中 与与 是是Pauli矩阵，矩阵，为实数。请算出系为实数。请算出系 统受微扰后能级的间隔。统受微扰后能级的间隔。分析：分析：首首先确定这里取的是什么表象。先确定这里取的是什么表象。然后看用微扰来处理时，用的是什么微扰。然后看用微扰来处理时，用的是什么
33、微扰。正是微扰的作用，正是微扰的作用，让让能级间能级间距距发生了变化。发生了变化。解：是解：是 表象。表象。的本征态为的本征态为 能量本征值能量本征值之差为之差为利用非简并微扰求能量的一级近似利用非简并微扰求能量的一级近似66显然能量的一级近似没法显然能量的一级近似没法予予以修正。需要以修正。需要借助借助于二级近似于二级近似其中其中67假定假定则则此时两能级间此时两能级间距距为为6.29 试求在磁场强度为试求在磁场强度为 的外磁场中，电子由自的外磁场中，电子由自 旋引起的能量本征值和本征函数，旋引起的能量本征值和本征函数，式中式中 是常数，是常数，与与 分别是分别是 与与 方向方向 的单位矢量
34、。假定自旋的单位矢量。假定自旋轨道耦合项很小，轨道耦合项很小，可以忽略。可以忽略。分析：关键是写出自旋哈密顿算符来。分析：关键是写出自旋哈密顿算符来。当然是在当然是在 表象下写出比较方表象下写出比较方便便。68解：解：电子的哈密顿量为电子的哈密顿量为设定态方程为设定态方程为在在 表象下的态矢量为表象下的态矢量为则有则有解此方程得解此方程得其中其中696.30 在在 表象求表象求 的矩阵表示及它们的本征的矩阵表示及它们的本征 态矢。再在态矢。再在 表象回答同样的问题表象回答同样的问题分析：分析：思路思路很关键。很关键。我我们已经知道在们已经知道在 表象下表象下 的矩阵表示。的矩阵表示。求解此矩阵
35、的本征矢量，然后按求解此矩阵的本征矢量，然后按照照本征值的本征值的次序次序对其进行对其进行排排列就得从列就得从 表象到表象到 表象的变换矩表象的变换矩阵阵然后利用此变换矩阵将然后利用此变换矩阵将 从从 表象变换到表象变换到 表表象象解：解：在在 表象下表象下 的矩阵表示为的矩阵表示为其本征值和本征态矢为其本征值和本征态矢为从从 表象到表象到 表象的变换矩阵表象的变换矩阵70已知在已知在 表象下表象下 的矩阵表示为的矩阵表示为利用上述变换矩阵可以将其变为利用上述变换矩阵可以将其变为 表象中的表示表象中的表示同理可得同理可得当然在自当然在自身身表象下，表象下，的表示矩阵为的表示矩阵为 表象下的求解方法同上（略）表象下的求解方法同上（略）
