1、数学试卷(文科) 第 1 页（共 5 页） 绝密启用前 卷类型：A 2020 年茂名市高三级第二次综合测试 文科数学 2020.5 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 6 页，23 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2 选择题的作答： 每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题 卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4 选考题的作答： 先把所选题
2、目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑. 答案写 在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的) 1已知集合 U=1, 2, 3, 4, 5，A=2, 3, 5，B=2, 5，则( ) A. AB B. UB=1, 3, 4 C. AB=2, 5 D. AB =3 2若()i2i, ,Rx iyx y，则复数ixy 的虚部为( ) A.2 B.1 C.i D.1 3已知函数 f(x)在点(1, f(1)
3、处的切线方程为 x+2y2=0，则 f(1)+f (1) =( ) A 3 2 B1 C 1 2 D0 4函数( )= sin()(0,0,|) 2 f xAxA 的图象如图 所示，则( ) 3 f 的值为( ) A 1 2 B1 C2 D3 5下列命题错误的是( ) A“x2”是“x24x+40”的充要条件 B命题“若 1 4 m ，则方程 x2+xm0 有实根”的逆命题为真命题 C在ABC 中，若“AB”，则“sinAsinB” D若等比数列an公比为 q，则“q1”是“an为递增数列”的充要条件 6易 系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国 古代流传下来的两幅神秘图案， 蕴含了
4、深奥的宇宙星象之理， 被誉 为“宇宙魔方” ，是中华文化阴阳术数之源。河图的排列结构如图 所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与 九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若 从阳数和阴数中各取一数， 则其差的绝对值为 5 的概率为： ( ) A. 1 5 B. 6 25 C. 7 25 D. 8 25 x O y 2 6 2 3 2 第 4 题图 第 6 题图 数学试卷(文科) 第 2 页（共 5 页） 7“辗转相除法”是欧几里得原本中记录的一个 算法， 是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出 的， 因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循 环结构的
5、 “辗转相除法” 程序框图.当输入 m=2020， n=303 时，则输出的 m 是( ) A. 2 B. 6 C. 101 D. 202 8已知双曲线 2 2 2 2 1 y x ab (a0, b0)的离心率为 2， 其一条渐近线被圆(xm)2+y2=4(m0)截得的线段长 为 2，则实数 m 的值为( ) A3 B2 C2 D1 9 已知函数( )f x是定义在R上的偶函数， 当0x 时， 1 ( )2 2 x f x 则使不等式 9 (1) 4 f x成立的 x 取值范围是( ) A.(, 1) (3,) B.( 1,3) C.(0,2) D.(,0) (2,) 10函数 1+e (
6、)cos 1 e x x f xx 在5, 5的图形大致是( ) 11已知三棱锥PABC 中， 2 ,3,5,4, 3 APBPAPBACBC 且 平面 PAB平面 ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A16 B28 C24 D32 12已知函数 +1 ( )=e 1 xx f x x ，对于函数( )f x有下述四个结论：函数( )f x在其定义域 上为增函数；对于任意的0a ，都有( )1f a 成立；( )f x有且仅有两个零点； 若 y=ex在点 0 0 (,e ) x x 0 (1)x 处的切线也是 y=lnx 的切线，则 x0必是( )f x零点 其中所有正确的结论序号是
7、A B C D 二、填空题：二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置) 13已知向量( 4,2)a ，(1, 1)b ，若()bakb，则k . 14. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入 16 万元帮助当地贫困户 通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本 3 万元，从第二年起每 年投入运营成本比上一年增加 2 万元，该厂每年可以收入 20 万元，若该厂 n（nN*） 年后，年平均盈利额达到最大值，则 n 等于 . （盈利额=总收入总成本） 15在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 D
8、D1 的中点，则平面 A1EC 截该正方体所得截面面积为： . A O y 5 5 C O y 5 5 x x B O y 5 5 x D O y 5 5 x 否否 结束结束 输出输出m 是是 r0? r=1 开始开始 输入输入 m, n 求求m除以除以n的余数的余数r m=n n=r 第 7 题图 B C A B1 C1 A1 D D1 E F 第 15 题图 数学试卷(文科) 第 3 页（共 5 页） 16过点 1 1, 2 P作圆 22 1xy的切线l，已知 A，B 分别为切点，直线 AB 恰好经过椭圆 的右焦点和下顶点，则直线 AB 方程为 ；椭圆的标准方程 是 . （第一空 2 分，
9、第二空 3 分） 三、三、解答题：解答题：(共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第22、23 题为选考题，考生根据要求作答) (一一)必考题：共必考题：共 60 分分 17(12分) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2BC，34bc (1)求cosC； (2)若3c ，求ABC的面积 18(12分) 某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量， 质量 指标越大表明质量越好， 为了提高产品质量， 我国医疗科研专家攻坚克难， 新研发出 A、 B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机
10、抽取数量相同的样本，测量这些产品的 质量指标值，规定指标值小于 85 时为废品，指标值在85,115)为一等品，大于 115 为特 等品. 现把测量数据整理如下, 其中 B 配方废品有 6 件. A 配方的频数分布表 质量指标值分组 75,85) 85,95) 95,105) 105,115) 115,125) 频数 8 a 36 24 8 (1)求 a, b 的值； (2)试确定 A 配方和 B 配方哪一种好？ (说明：在统计方法中，同一组数据常用 该组区间的中点值作为代表) 组距组距 频率频率 B 配方的频频率分布直方图 75 85 95 105 115 125 质量指标值质量指标值 O
11、0.008 0.006 b 0.022 0.038 第 18 题图 数学试卷(文科) 第 4 页（共 5 页） 19(12分) 如图 1，在ABCD 中，AD=4，AB=22，DAB=45 ，E 为边 AD 的中点，以 BE 为折痕将ABE 折起，使点 A 到达 P 的位置, 得到图 2 几何体 PEBCD. (1)证明：PDBE ； (2)当 BC平面 PEB 时，求三棱锥 CPBD 的体积. 20(12分) 已知抛物线 C: y2=2px (p0)与直线 l: x+y+1=0 相切于点 A， 点 B 与 A 关于 x 轴对称. (1)求抛物线 C 的方程，及点 B 的坐标； (2)设 M、
12、N 是 x 轴上两个不同的动点，且满足BMN=BNM，直线 BM、BN 与抛物 线 C 的另一个交点分别为 P、Q，试判断直线 PQ 与直线 l 的位置关系，并说明理由. 如果相交，求出的交点的坐标. E B C A D 第 19 题图 1 P E B C D 第 19 题图 2 数学试卷(文科) 第 5 页（共 5 页） 21(12分) 设函数 2 ( )(+ )exf xxm. (1)讨论( )f x的单调性； (2)若( )2e1( ) x g xnxf x ，当 m=1，且0x 时，( )0g x ，求n的取值范围. (二二)选考题：共选考题：共 10 分分 请考生在第22、23 两题
13、中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22选修 44：坐标系与参数方程 (10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C: 2cos , 3sin , x y (为参数)，以原点 O 为极 点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程cos() 4 a ， 点M(2, 4 ) 在直线 l 上，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点. (1)求曲线 C 的普通方程及直线 l 的参数方程； (2)求OAB 的面积. 23选修 4-5：不等式选讲(10 分) 已知函数 f(x)=|x+1|x2|. (1)若
14、f(x)1，求 x 的取值范围； (2)若 f(x)最大值为 M，且 a+b+c=M，求证：a2+b2+c23. 数学试卷(文科) 第 6 页（共 5 页） 绝密启用前 卷类型：A 2020 年茂名市高三级第二次综合测试 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B B D B D A C C A A B C 提示：提示： 1. B【解析】【解析】U=1, 2, 3, 4, 5，B=2, 5，UB=1, 3, 4. 故选 B. 2. B【解析】【解析】(i)i
15、1i2i,2,1xxyxy ，所以ixy的虚部1y ，故选 B . 3. D【解析】【解析】切点(1, f(1)在切线 x+2y2=0 上，1+2f(1)2=0，得 f(1)= 1 2 ，又切线斜率 1 (1), 2 k f (1)(1)0.f f 故选 D. 4. B【解析】【解析】根据图象可得2A ， 2 2362 T ，即T， 根据 2 | | T ，0,得 2 2 , 2sin(2)yx, 又又( )f x的的图象过点(,2) 6 ，22sin(2) 6 , 即即22,Z 62 kk ， 2 6 k ，Zk，又因，又因| 2 ， 6 ， ( )2sin(2) 6 f xx ， 5 (
16、)2sin(2)2sin1 3366 f ，故选 B. 5.D.【解析】【解析】由 x24x+40(x2)2=0 x2=0 x2，A 正确； 命题“若 1 4 m, 则方程 x2+xm0 有实根”的逆命题为命题“若方程 x2+xm0 有 实根，则 1 4 m”，方程 x2+xm0 有实根=1+4m0 1 4 m，B 正确； 在ABC 中，若 ABabsinAsinB(根据正弦定理) C 正确；故选 D. (事实上等比数列an公比为 q， 则“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件) 6. A.【解析】【解析】阳数为：1, 3, 5, 7, 9；阴数为：2, 4, 6, 8, 10，从
17、阳数和阴数中各取一数 的所有组合共有：5 525 个，满足差的绝对值为 5 的有：(1, 6), (3, 8), (5, 10), (7, 2)， (9, 4)共 5 个, 则 51 525 p , 故选 A. 7. C【解析】【解析】输入 m=2020，n=303，又 r=1. r=10，2020303=6 202， r=202，m=303，n=202； r=2020，303202=1 101 r=101，m=202，n=101； r=1010，202101=2 0. r=0，m=101，n=0； r=0，则 r0 否，输出 m=101，故选 C. x O y 2 6 2 3 2 第 4 题
18、图 数学试卷(文科) 第 7 页（共 5 页） 8.C.【解析】【解析】依题意: 22 22 123. ccbb aa aa 双曲线渐近线方程为3 .yx 不妨取渐近线 l1：30xy，则圆心(m,0) (m0)到 l1的距离 |3| 3 22 m m d . 由勾股定理得 222 32 ()( )2 22 m ，解得2m，m0，m=2，故选 C 9. A.【解析】【解析】 9 (2)= 4 f，由 9 (1) 4 f x得，(1)(2)f xf.又( )f x为偶函数， (|1|)(2)f xf, 易知( )f x在(0,)上为单调递减，|1|2x 12x 或12x ，即3x或1x，故选 A
19、. 10. A【解析】易知【解析】易知 f(x)= f(x)，即函数 f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除 D， f(x)在 y 轴右侧第一个零点为 2 x . 当0 2 x 时，1+e0,1 e0,cos0 xx x，f(x)0 排除 B， 当 x (0)0 时，则1+e2,1 e0,cos1 xx x, 且1 e0 x y.故选 A. (当0 2 x 时， 1+e2cos ( )cos =cos 1 e1 e x xxx f xxx . 22 2(e cose sinsin )2(e sinsin ) ( )=+sin+sin0 (1 e )(1 e ) xxx xx xxxxx fx
20、xx ,排除 C) 11. B【解析】【解析】在PAB中，由余弦定理得3AB ，又 222 ACABBC， ABC为直角三角形，CBAB ，又平面 PAB平面 ABC 且交于 AB， CB平面 PAB，几何体的外接球的球心到平面 PAB 的距离为1=2 2 BC， 设PAB的外接圆半径为r,则 3 22 3, 2 sin 3 r 3.r 设几何体的外接球半径为 R，则 222 2( 3)7R ， 所求外接球的表面积 2 428 ,SR 故选 B. 12.解析：解析：依题意( )f x定义域为(, 1)(1, +)，且 2 2 ( )=e (1) x fx x ， ( )f x在区间(, 1)和
21、(1, +)上是增函数，错错； 当0a时，则 2 e0 1 a a ，因此 +12 ( )=e= 1e1 11 aaa f a aa 成立，对对； ( )f x在区间(, 1)上单调递增，且 2 2 111 ( 2)=e=0, (0)=20. e33 ff ( 2)(0)0ff，即( )f x在区间(, 1)上有且仅有 1 个零点. ( )f x在区间(1, +)上单调递增，且 55 2 44 5 ( )=e9330 4 f， 2 (2)=e30f 5 ( )(2)0 4 ff，(也可以利用当1x 时，( )f x ， 2 (2)=e30f) 得( )f x在区间(1, +)上有且仅有 1 个
22、零点. 因此,( )f x有且仅有两个零点；对对 y=ex在点 0 0 (,e ) x x 0 (1)x 处的切线方程 l 为 00 0 e =e () xx yxx. 又 l 也是 y=lnx 的切线，设其切点为 11 ( ,ln)A xx，则 l 的斜率 1 1 k x ， 从而直线 l 的斜率 0 1 1 =exk x ， 0 1=e x x ，即切点为 0 0 (e,) x Ax ，又点A在 l 上. 000 00 e =e (e) xxx xx 0 0 0 +1 e0 1 x x x 0 (1)x ，即 x0必是( )f x零点对对. . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5
23、分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 133 14. 4 15. 2 6 16. 2xy2=0(2 分); 2 2 1 54 y x (3 分). B C A P 数学试卷(文科) 第 8 页（共 5 页） 提示：提示： 13.【答案】【答案】3【解析】【解析】 ()bakb，()0bakb，即 2 |0b ak b， 由已知得426,b a |2b ，6203.kk 14. 【答案】【答案】 4 【解析】【解析】 设每年的营运成本为数列 n a， 依题意该数列为等差数列， 且 1=3, =2. ad 所以 n 年后总营运成本 2 S2 n nn，因此，年平均盈利额为： 2 20(2
24、 ) 16 1616 1821810, nnn nn nnn 当且仅当4n时等号成立. 15.【答案】2 6【解析】【解析】如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 平面 A1D1DA平面 B1C1CB， 平面 A1EC 与平面 B1C1CB 的交线必过 C 且平行于 A1E， 故平面 A1EC 经过 B1B 的中点 F，连接 A1F，得截面 A1ECF， 易知截面 A1ECF 是边长为5的菱形，其对角线 EF=BD=22， A1C=2 3，截面面积 S= 1 2 A1CEF= 1 2 222 3=2 6. 16.【答案】【答案】2xy2=0， 2 2 1 54 y x . 【解析】【解析
25、】当过点 1 (1,) 2 的直线l斜率不存在时, 直线方程为：x=1, 切点的坐标1 0( , )A; 当直线l斜率存在时, 设l方程为 1 = (1) 2 y k x, 根据直线与圆相切, 圆心(0,0)到切线的距 离等于半径 1, 可以得到切线斜率 3 4 k , 即l： 35 = 44 yx.直线l方程与圆方程的联立可以得 切点的坐标 34 55 ( ,)B；根据 A、B 两点坐标可以得到直线 AB 方程为 2xy2=0,（或利用过 圆 222 +=xyr外一点 00 (,)x y作作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为 2 00 x xy yr） 依题意，AB 与 x 轴的交点1 0
26、( , )即为椭圆右焦点，得1c，与 y 轴的交点02( ,)即为椭圆下 顶点坐标，所以2b，根据公式得 222 5abc，因此，椭圆方程为： 2 2 1 54 y x . 三、三、解答题：共解答题：共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答，第个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. (一一)必考必考题题：共：共 60 分分 17. 解：解：(1)依题意，由正弦定理得：3sin4sinBC 1 分 2BC，3sin2
27、4sinCC， 2 分 3sincos2sinCCC， 3 分 (0, )C，sin0C ， 4 分 2 cos 3 C 5 分 (2)解法一解法一：由题意得：3,4cb. 6 分 (0, )C， 2 5 sin1 cos 3 CC， 7 分 4 5 sinsin22sincos 9 BCCC， 8 分 221 coscos2cossin 9 BCCC， 9 分 sinsin()sin()sincoscossinABCBCBCBC. 10 分 4 557 521 . 939327 11 分 7 514 511 sin4 3 22279 ABC SbcA . 12 分 B C A B1 C1 A
28、1 D D1 E F 数学试卷(文科) 第 9 页（共 5 页） 解法二解法二：由题意及(1)得：3,4cb. 2 cos 3 C 6 分 (0, )C， 2 5 sin1 cos 3 CC， 7 分 由余弦定理 222 =+2coscababC得： 22 9=+168 3 aa， 8 分 即 2 31621=0aa， 解得 7 =3= 3 aa或. 9 分 若=3a，又3,c 则 A=C，又 B=2C，得ABC 为直角三角形，而三边为 =3,4,3abc的三角形不构成直角三角形，矛盾. 7 = 3 a. 11 分 514 5711 sin4 22339 ABC SabC . 12 分 18.
29、解：(1)依题意，A、B 配方样本容量相同，设为 n，又 B 配方废品有 6 件. 由 B 配方的频频率分布直方图，得废品的频率为 6 0.006 10 n ， 1 分 解得 n=100. 2 分 a=100(8+36+24+8)=24. 3 分 由(0.006+b+0.038+0.022+0.008)10=1 4 分 解得 b=0.026.因此 a, b 的值分别为 24, 0.026； 5 分 (2)由(1)及 A 配方的频数分布表得，A 配方质量指标值的样本平均数为 80 890 24 100 36 110 24 120 8 = 100 A x 200 8200 24 100 36 =1
30、00. 100 7 分 质量指标值的样本方差为 21 =100 A s(20)28+(10)224+036+10224+2028=112. 8 分 由 B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为 B x=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100. 9 分 质量指标值的样本方差为 5 22 1 () Bii i sxxp =(20)20.06+(10)20.26+00.38+1020.22+2020.08=104. 10 分 综上 AB xx， 2 A s 2 B s， 11 分 即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但 A 配方质量
31、指标值不够稳定， 所以选择 B 配方比较好. 12 分 (2)当 BC平面 PEB 时，求三棱锥 CPBD 的体积. 19. 证明： （1）依题意，在ABE 中（图 1） ，AE=2， AB=22，EAB=45 ，由余弦定理得 EB2=AB2+AE22AB AEcos45 =8+42222 2 2 =4， 2 分 AB2= AE2+EB2， 3 分 即在ABCD 中，EBAD. 4 分 以 BE 为折痕将ABE 折起，由翻折不变性得，在几何体 PEBCD 中， EBPE，EBED. 又 EDPE=E，BE平面 PED， 5 分 又 BE平面 PEB，PDBE； 6 分 E B C A D 第
32、19 题图 1 P E B C D 第 19 题图 2 数学试卷(文科) 第 10 页（共 5 页） (2)BC平面 PEB，PE平面 PEB， BCPE. 7 分 由(1)得 EBPE，同理可得 PE平面 BCE， 8 分 即 PE平面 BCD，PE 就是三棱锥 PCBD 的高. 9 分 又DCB=DAB=45 ，BC=AD=4，CD=AB=22，PE=AE=2， SCBD= 1 2 BCCDsin45 = 1 2 422 2 2 =4. 10 分 VCPBD=VPCBD=1 3 SBCDPE=1 3 42=8 3 . 因此，三棱锥 CPBD 的体积为8 3 . 12 分 （写出 VCPBD
33、=VPCBD得 1 分，结果正确并作答得 1 分） 20.解：解： (1)联立 2 2, 10, ypx xy 1 分 消去 x 得 y2+2py+2p=0， 2 分 直线与抛物线相切，=4p28p=0， 又 p0，解得 p=2，抛物线 C 的方程为 y2=4x 3 分 由 y2+4y+4=0，得 y=2，切点为 A(1, 2)， 点 B 与 A 关于 x 轴对称，点 B 的坐标 B(1, 2). 4 分 (2)直线 PQl. 5 分 理由如下： 依题意直线 BM 的斜率不为 0, 设 M(t, 0)(t1), 直线 BM 的方程为 x=my+t, 6 分 由(1)B(1, 2)，1=2m+t，直线 BM 的方程为 x=12t y+t， 7 分 代入 y2=4x解得 y=2(舍)或 y=2t，P(t 2,2t). 8 分 BMN=BNM， M、N 关于 AB 对称，得 N(2t, 0) . 9 分 同理得 BN 的方程为 x= 1 2 t y+2t，代入 y2=4x得 Q(t 2)2, 2t4). 10 分 22 4444 1 4 4(2) PQ tt k ttt ， 11 分 直线 l 的斜率为1，因此 PQl.
