1、淮阴区淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练三届高三第二学期期初模拟训练三 数学文数学文科科 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卡 相应的位置上） 1设集合 ( 1,3A ，2,3,4B 则AB的子集个数为_. 2双曲线 x2-2y2=1 的渐近线方程为_ 3函数 2 ( )cos2f xxx，若 (2 )(1)fafa，则实数a的值为_. 4若等差数列 n a和等比数列 n b满足 11 1ab， 44 8ab，则 33 ab_ 5若命题“ 0 xR，使得 2 0 1kx成立”是假命题，则实数 k 的取值范围是_ 6函数log ( 1)2
2、 a yx的图像必过定点_. 7设A，F分别为椭圆 22 22 :1 xy C ab 0ab的右顶点和右焦点， 1 B， 2 B为椭圆C 短轴的两个端点，若点F恰为 12 AB B的重心，则椭圆C的离心率的值为_. 8已知圆柱的底面半径为 1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 9设ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C， sin() sinsin acAC bcAC ，则角A 为_. 10已知向量, ,a b c满足 0abc 且a与b的夹角的正切为 1 2 ，b与c的夹角的正切 为 1 3 ，| 2b ，则a c 的值为_. 11定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最
3、小值称为曲线 C 到直线 l 的距离已知曲线 C1：yx 2a 到直线 l：yx 的距离等于 C2：x 2(y4) 2 2 到直线 l：yx 的距离， 则实数 a_ 12已知实数a，b满足0b，| |1ab ，则 12019 2019| a ab 的最小值为_. 13已知数列 n a满足 1 3a ，且对任意的 * ,m nN，都有 n m n m a a a ，若数列 n b满足 2 3 log ()1 nn ba，则数列 2 1 nn b b 的前n项和 n T的取值范围是_. 14已知定义域为R的函数 2 log (1),1 ( )1,1 2,1 xx f xx x 若关于x的方程 2(
4、 ) ( )0fxbf xc有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解 123 , 1,)x x x ，则 123 f xxxbc_. 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足sin 3sinBC， |5ABAC， 5 2 AB AC. （1）求 22 bc的值； （2）求sin()AB的值. 16.如图，在四棱锥SABCD中，已知SASB，四边形ABCD是平行四边形，且平面 SAB平面ABCD，点M，N分别是SC，AB的中点. （1）求证：/MN平面
5、SAD； （2）求证：SNAC. 17如图，三个校区分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，点 Q 是弧 AB 的中点，现欲在线段 OQ 上找一处开挖工作坑 P（不与点 O，Q 重合） ，为小区铺设三条地下电缆管线 PO， PA，PB，已知 OA2 千米，AOB 3，记APQrad，地下电缆管线的总长度为 y 千米。 （1）将 y 表示成 的函数，并写出 的范围； （2）请确定工作坑 P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小。 18.如图，椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab 的离心率是 3 2 ，左右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 1 0, 2 P 的动直线l与椭圆相交于A，B两
6、点，当直线l过 1 F时， 2 F AB的周长为8. （1）求椭圆C的方程； （2）当 2PBAP 时，求直线l方程； （3）已知点0,2Q，直线QA，QB的斜率分别为 1 k， 2 k.问是否存在实数，使得 12 0kk恒成立？ 19设函数 ( )lnf xx ，( ) b g xaxc x （, ,a b cR）. （1）当0c =时，若函数 ( )f x与( )g x的图象在 1x 处有相同的切线，求 , a b的值； （2） 当3ba时， 若对任意 0 (1,)x 和任意(0,3)a， 总存在不相等的正实数 12 ,x x， 使得 120 ( )()()g xg xf x，求c的最小值
7、； （3）当1a 时，设函数( )yf x与( )yg x的图象交于 11 (,),A x y 2212 (,)()B xyxx两 点求证： 1 221 21 x xxbx xx. 20已知数列 n a的首项 1 aa，其前n和为 n S，且满足 2 1 3(1) nn SSn * nN. （1）用a表示 2 a的值； （2）求数列 n a的通项公式； （3）当 3 2 a 时，证明：对任意*nN，都有 2222 23212 11111 12 nn aaaa . 淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练三 数 学 二、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写
8、在答题卡相应的位置 上） 1设集合( 1,3A ， 2,3,4B 则AB的子集个数为_. 【答案】4 2双曲线 x2-2y2=1 的渐近线方程为_ 【答案】 = 2 2 3函数 2 ( )cos2f xxx，若 (2 )(1)fafa，则实数a的值为_. 【答案】1或 1 3 4若等差数列 n a和等比数列 n b满足 11 1ab， 44 8ab，则 33 ab_ 【答案】 29 3 5若命题“ 0 xR，使得 2 0 1kx成立”是假命题，则实数 k 的取值范围是_ 【答案】(,1 6函数log ( 1)2 a yx的图像必过定点_. 【答案】0,2 7设A，F分别为椭圆 22 22 :1
9、 xy C ab 0ab的右顶点和右焦点， 1 B， 2 B为椭圆C 短轴的两个端点，若点F恰为 12 AB B的重心，则椭圆C的离心率的值为_. 【答案】 1 3 8已知圆柱的底面半径为 1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 【答案】6. 9设ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C， sin() sinsin acAC bcAC ，则角A 为_. 【答案】 3 10已知向量, ,a b c满足 0abc 且a与b的夹角的正切为 1 2 ，b与c的夹角的正切 为 1 3 ，| 2b ，则a c 的值为_. 【答案】 4 5 11 定义： 曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最
10、小值称为曲线 C 到直线 l 的距离 已知曲线 C1： yx 2a 到直线 l：yx 的距离等于 C2：x 2(y4) 2 2 到直线 l：yx 的距离，则实数 a _ 【答案】 9 4 12已知实数a，b满足0b，| |1ab ，则 12019 2019| a ab 的最小值为_. 【答案】2021 13已知数列 n a满足 1 3a ，且对任意的 * ,m nN，都有 n m n m a a a ，若数列 n b满足 2 3 log ()1 nn ba，则数列 2 1 nn b b 的前n项和 n T的取值范围是_. 【答案】 12 ,) 21 15 14 已 知 定 义 域 为R的 函
11、数 2 l o g(1 ) ,1 ()1 ,1 2 ,1 xx f xx x 若 关 于x的 方 程 2( )()0fxb fxc有 无 数 个 不 同 的 实 数 解 ， 但 只 有 三 个 不 同 的 实 数 解 123 ,1,)xxx ，则 123 f xxxbc_. 【答案】 2 log 5 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足sin 3sinBC， |5ABAC， 5 2 AB AC. （1）求 22 bc的值； （2）求sin()AB的值.
12、 【解析】 （1）因为5ABAC， 所以 22 25bcAB AC ， 又 5 2 AB AC，所以 22 10bc . （2）因为sin3sinBC，由正弦定理，得3bc， 又 22 10bc，所以3b，1c. 由（1） 5 5 2 cos 36 AB AC A bc ， 2 11 sin1 cos 6 AA， 222 5 cos5 26 bca Aa bc 由余弦定理知 222 3 cos 22 5 acb B ac . 从而 2 11 sin1 cos 2 5 BB（也可由正弦定理求sinB） 所以 2 55 sin()sincoscossin 15 ABABAB 16如图，在四棱锥SA
13、BCD中，已知SASB，四边形ABCD是平行四边形，且平面 SAB平面ABCD，点M，N分别是SC，AB的中点. （1）求证：/MN平面SAD； （2）求证：SNAC. 【解析】 （1）取SD的中点E，连EM,EA M是中点，/ /EMCD，且 1 2 EMCD 底面ABCD是矩形，N为AB中点 /ANCD，且 1 2 ANCD，/ /,EMAN EMAN 四边形EMNA是平行四边形 /MNAE MN 平面SAD，AE 平面SAD， 所以/MN平面SAD. （2）SASB，N是AB中点 SNAB 平面SAB平面ABCD， 平面SAB平面ABCDAB，SN 平面SAB SN平面ABCD AC 平
14、面ABCD SNAC 17如图，三个校区分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，点 Q 是弧 AB 的中点，现欲在线段 OQ 上找一处开挖工作坑 P（不与点 O，Q 重合） ，为小区铺设三条地下电缆管线 PO，PA， PB，已知 OA2 千米，AOB 3，记APQrad，地下电缆管线的总长度为 y 千米。 （1）将 y 表示成 的函数，并写出 的范围； （2）请确定工作坑 P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小。 【解析】 （1）因为 Q 为弧 AB 的中点，由对称性，知 PAPB，AOPBOP 6， 又APO ，OAP 6， 由正弦定理，得： sin 6 = sin() = sin( 6)，又
15、OA2， 所以，PA 1 sin，OP 2sin( 6) sin ， 所以，yPA+PB+OP2PA+OP 2+2sin( 6) sin 3sincos+2 sin ， APQAOP，所以， 6，OAQOQA 1 2( 6) = 5 12， 所以， ( 6 , 7 12)； （2）令() = 3sincos+2 sin ， ( 6 , 7 12) () = 12cos sin2 = 0，得： = 3， ()在 ( 6 , 3)上递减，在( 3 , 7 12)上递增 所以，当 = 3，即 OP 23 3 时，()有唯一的极小值， 即是最小值：()min23， 答：当工作坑 P 与 O 的距离为2
16、3 3 时，地下电缆管线的总长度最小。 18如图，椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab 的离心率是 3 2 ，左右焦点分别为 1 F， 2 F，过 点 1 0, 2 P 的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l过 1 F时， 2 F AB的周长为8. （1）求椭圆C的方程； （2）当 2PBAP 时，求直线l方程； （3）已知点0,2Q，直线QA，QB的斜率分别为 1 k， 2 k.问是否存在实数，使得 12 0kk恒成立？ 【解析】 （1）由椭圆定义知 2 F AB的周长为4a， 所以48a，所以2a 又离心率 3 2 c a ，所以3c ，所以1b 所以椭圆C的方程为 2
17、2 1 4 x y. （2）当lx轴， 2PBAP 所以可设 1 : 2 l ykx， 11 ,A x y， 22 ,B x y 则 2 2 1 2 1 4 ykx x y ，消去y得 22 14430kxkx 所以 12 2 12 2 4 14 3 14 k xx k x x k (*) 因为 2PBAP ， 所以 21 02xx ，即 21 2xx 代入(*)化简得 1 2 2 1 2 4 14 3 2 14 k x k x k 所以 2 22 314 2 4114 k kk 解得 15 10 k 所以直线l方程为： 151 102 yx ， （3）当/ /ABx轴可知 12 0kk，此时
18、存在 1使得 12 0kk成立， 下面证明当1时 12 0kk恒成立 121212 12 12 121212 113 222 22 222 00 kxkxkx xxx yy kk xxxxx x 因为 1212 22 33343 22640 2142 142 k kx xxxkkk kk 所以 12 0kk恒成立 即存在1，使得 12 0kk恒成立. 19设函数 ( )lnf xx ，( ) b g xaxc x （, ,a b cR）. （1）当0c =时，若函数 ( )f x与( )g x的图象在 1x 处有相同的切线，求 , a b的值； （2） 当3ba时， 若对任意 0 (1,)x
19、和任意(0,3)a， 总存在不相等的正实数 12 ,x x， 使得 120 ( )()()g xg xf x，求c的最小值； （3）当1a 时，设函数( )yf x与( )yg x的图象交于 11 (,),A x y 2212 (,)()B xyxx两 点求证： 1 221 21 x xxbx xx. 【解析】 （1）由 lnf xx，得 10f，又 1 fx x ，所以 11 f ，. 当0c 时， b g xax x ，所以 2 b gxa x ，所以 1gab. 因为函数 f x与 g x的图象在1x 处有相同的切线， 所以 11 11 fg fg ，即 1 0 ab ab ，解得 1
20、2 1 2 a b . （2）当 0 1x 时，则 0 0f x，又3ba ，设 0 tf x， 则题意可转化为方程 3 (0) a axct t x 在0,上有相异两实根 12 ,x x 即关于x的方程 2 30(0)axct xat在0,上有相异两实根 12 ,x x 所以 2 12 12 03 430 0 3 0 a ctaa ct xx a a x x a ，得 2 03 43 0 a ctaa ct ， 所以23caat对0,0,3ta恒成立 因为03a，所以（当且仅当 3 2 a 时取等号） ， 又0t ，所以的取值范围是,3，所以3c 故c的最小值为3. （3）当1a 时，因为函
21、数 f x与 g x的图象交于,A B两点， 所以 11 1 22 2 b lnxxc x b lnxxc x ，两式相减，得 21 1 2 21 lnln 1 xx bx x xx . 要证明 1 221 21 x xxbx xx，即证 21 1 221 21 21 21 lnln 1 xx x xxx xx xx xx ， 即证 21 2211 lnln11xx xxxx ，即证 122 211 1ln1 xxx xxx . 令 2 1 x t x ，则1t ，此时即证 1 1ln1tt t 令 1 ln1tt t ， 所以 22 111 0 t t ttt ， 所以当1t 时， 函数 t
22、单调递增 又 10，所以 1 ln10tt t ，即 1 1lnt t 成立； 再令 ln1m ttt ， 所以 11 10 t m t tt ， 所以当1t 时， 函数 m t单调递减， 又 10m，所以 ln10m ttt ，即ln1tt 也成立 综上所述， 实数 12 ,x x满足 1 221 21 x xxbx xx. 20已知数列 n a的首项 1 aa，其前n和为 n S，且满足 2 1 3(1) nn SSn * nN. （1）用a表示 2 a的值； （2）求数列 n a的通项公式； （3）当 3 2 a 时，证明：对任意*nN，都有 2222 23212 11111 12 nn
23、 aaaa . 【解析】 （1）由条件1n 得 121 12aaa， 2 122aa. （2）由条件 2 1 3(1) nn SSn 得， 2 1 3 nn SSn 2n 两式相减得 1 63 nn aan 2n， 故 21 69 nn aan ， 两式再相减得 2 6 nn aa 2n， 246 ,a a a构成以 2 a为首项，公差为6的等差数列； 357 ,a a a构成以 3 a为首项，公差为6的等差数列； 由（1）得 2 662 n ana ； 由条件2n得 12312 27aaaaa，得 3 32aa ， 从而 21 632 n ana ， ,1 3(62 )( 1) ,2 n n
24、 an a nan 解法 2： 设 1 (1) nn ax nyaxny ，即 1 22 nn aaxnyx 则 263 230 xx yxy 有 1 3(1)3 nn anan 2n 时， 2 2 36 ( 1)n n ana ，即 2 3(62 ) ( 1)n n ana 2 ,1 3(62 )( 1),2 n n an a nan （3）证明：当 3 2 a 时，且2n，由（2）可知3( 1)n n an 当1n 时， 22 2 111 912a 当2n时， 21 6(1) n an ， 2 3(21) n an 2222 23212 1111 nn aaaa 222222 2423521 111111 nn aaaaaa 222222 11111111 935(21)3612(1)nn 222222 11111111 935(21)3612(1)nn 1111111 1 361 22 3(1)361 2(2)(1)n nnn 111111111111 111 3622313622321nnnn 1111 12 361361nn 11111 12361112nn .
