1、书书书 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? ?绝密? 启用前 ? 考试时间? ? ? ? ?年?月? ?日? ? ? ? ? ? ? ? ? 南宁市? ? ? ?届高中毕业班第二次适应性测试 数?学?理工类? ? 考试时间? ? ? ?分钟?试卷满分? ? ? ?分? 注意事项? ?答卷前? 考生务必将自己的姓名? 准考证号填写在答题卡上? ? 回答选择题时? 选出每小题答案后? 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑?如需改 动? 用橡皮擦干净后? 再选涂其它答案标号?回答非选择题时? 将答案写在答题卡上?写在本试 卷上无效? ?考试结束后? 将本试卷和答题卡一并交回? 一? 选择题
2、? 本题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选项中? 只有一项是符 合题目要求的? ?已知集合? ? ? 则? ? ?设复数?满足? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的展开式中? ? 的系数为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?某学校为了解高三年级学生在线学习情况? 统计了? ? ? ?年?月? ?日? ?日? 共? ?天? 他们在 线学习人数及其增长比例数据? 并制成如图所示的条形图与折线图的组合图? 根据组合图判断? 下列结论正确的是 ?前?天在线学习人数的方差大于后?天在线学习人数的方差 ? 前?天在
3、线学习人数的增长比例的极差大于后?天的在线学习人数的增长比例的极差 ? 这? ?天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大 ? 这? ?天学生在线学习人数在逐日增加 ? 已知各项不为?的等差数列? ? 的前?项和为? ? 若 ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若函数? ? ? ? 且 ? 的值域为? ? 则函数? ? ? ?的图象大致是 ? 已知椭圆? ? ? ? ? ? 的左? 右焦点分别为? 过点?的动直线?交椭圆于?两 点? 若? ? ?的周长为? ? 则 ? ? ?槡? ? ? ?槡? ? 某同学在课外阅读中国古代数学名著? 孙子算经? 时? 为解决? 物不知 数? 问题?
4、设计了如图所示的程序框图? 执行此程序框图? 则输出的? 的值为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如图? 在正方体? ? ? ?中?分别为? ?的中 点? 则下列说法错误 ? 的是 ?平面? ? ? ? 直线?与平面? ? ? ? 所成角为? ? ? ?异面直线?与?所成角为? ? ? ? ?已知双曲线? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的右焦点为? ? 以 ? ?为原点? 为直径的圆与双曲线 ?的两条渐近线分别交于点?异于点?若? ? ? ? ? ? 则双曲线?的离心率为 ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?已知函数? ? ? ? ? 的图象经过点 ? ? ?
5、? ? ? 一条对称轴方程为? ? 则函数 ? 的周期可以是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 已知函数? ? ? ? ? ? ? 当?时? 函数? ? ?的零点个数为 ? ? ? ? ? 二? 填空题? 本题共?小题? 每小题?分? 共? ?分? ? ? 已知向量? 槡? ? 向量?槡? ? ? 则?与?的夹角大小为? 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? ? ? 某部门从已参与报名的甲? 乙? 丙? 丁四人中选派?人去参加志愿者服务? 结果出来前? 甲? 乙? 丙? 丁四人对选派人选做了如下预测? 甲说? 丙或
6、丁被选上? 乙说? 甲和丁均未被选上? 丙说? 丁被选上? 丁说? 丙被选上? 若这四人中有且只有?人说的话正确? 则被选派参加志愿者服务的是? ? ? 已知数列? ? 中? 且对于任意正整数?都有? 则数列? 的通项公式是 ? ? ? 如图? 正方形? ? ? ?中? ?分别是? ? ?的中点? 沿? ? ? ?把 这个正方形折成一个四面体? 使?三点重合? 重合后的点记为? 若四面体? ? ?内切球的表面积为? ? 则正方形 ? ? ? ?的边长为 ? 三? 解答题? 共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤?第? ? ?题为必考题? 每个 试题考生都必须作答?第? ? ?题为
7、选考题? 考生依据要求作答? ? 一? 必考题? 共? ?分? ? ? 本小题满分? ?分? 如图? 在平面四边形? ? ? ?中? ? ? ? ? ? ? ?的平分线 与? ?交于点? ? 且 ? ?槡? ? ? ? ? 求 ? ? ?及? ? ? ? ? 若 ? ? ? ? 求四边形? ? ? ?周长的最大值? ? ? 本小题满分? ?分? 红铃虫? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 是棉花的主要害虫之一? 其产卵数与温度有关? 现收集到 一只红铃虫的产卵数? 个? 和温度? ? 的 ?组观测数据? 制成图?所示的散点图? 现用两种模型?
8、? ? ? ? ?分别进行拟合? 由此得到相应的回归方程并进行残差 分析? 进一步得到图?所示的残差图? 根据收集到的数据? 计算得到如下值? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 表中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?根据残差图? 比较模型?的拟合效果? 应选择哪个模型?并说明理由? ? ?根据? 中所选择的模型? 求出?关于?的回归方程? 系数精确到? ? ? ? ? 并求温
9、度为? ? 时? 产卵数?的预报值? ? 参考数据? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 附? 对于一组数据? ? ? ? ? ? ? ? 其回归直线? ? ?的斜率和截距的最小 二乘估计分别为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 如图? 在四棱锥? ? ? ?中? 四边形? ? ? ?是等腰梯形? ? ? ? ? ? ? ? 三角形? ? ?是等边三角 形? 平面? ? ?平面? ? ? ?分别为? ?的中点? ? ? 求证? 平面? ? ?
10、平面? ? ? ? ? ? 若 ? ? 求直线? ?与平面? ? ?所成角的正弦值? ? ? 本小题满分? ?分? 已知函数? ? ? 其中?是自然对数的底数? ? ? ? 若 ? 证明? ? ? ? 若 ? 时? 都有? ? 求实数?的取值范围? ? ? 本小题满分? ?分? 已知抛物线? ? ? 过点? 且互相垂直的两条动直线?与抛物线?分别交于? ?和? ? ? 求四边形?面积的取值范围? ? ? 记线段? ?和?的中点分别为? 求证? 直线? ?恒过定点? ? 二? 选考题? 共? ?分?请考生在第? ? ?题中任选一题作答? 如果多做? 则按所做的第一题计分? ? ? 本小题满分?
11、?分? 选修? 坐标系与参数方程 在直角坐标系? ? ?中? 已知曲线? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为参数? ? 曲线? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为参数? ? 且? ? ? ? ? ? 点 ?为曲线?与?的公共点? ? ? 求动点?的轨迹方程? ? ? 在以原点?为极点?轴的非负半轴为极轴的极坐标系中? 直线?的极坐标方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? 求动点?到直线?的距离的取值范围? ? ? 本小题满分? ?分? 选修? 不等式选讲 已知?都为正实数? 且? 证明? ? ?槡?槡?槡?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12、 ? ? ? ? ? ? ? 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? 书书书 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 南宁市? ? ? ?届高中毕业班第二次适应性测试 数学?理工类?参考答案 评分说明? ? 本解答给出了一种或几种解法供参考? 如果考生的解法与本解答不同? 可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则? ? 对计算题? 当考生的解答在某一步出现错误时? 如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度? 可视影响的程度决定后继部分的给分? 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半? 如果 后继部分的解答有较严重的错误? 就不再给分? ? 解答右端所注分数? 表示
13、考生正确做到这一步应得的累加分数? ? 只给整数分?选择题和填空题不给中间分? 一? 选择题? ? ?分? ? 命题意图? 本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识? 考查运 算求解能力? 解析? 选择?由已知得? ? 所以? ? 命题意图? 本小题主要考查复数的除法? 乘法运算? 共轭复数的概念等基础知识? 考查运算求解 能力? 解析? 选择? 因为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? 命题意图? 本小题主要考查二项式定理? 展开式指定项的系数等基础知识? 考查运算求解能力? 应用意识? 解析? 选择 ?
14、由? ? ? ? 知?时? 展开式中? ? 的系数为? ? ? ? ? ? 命题意图? 本小题考查统计图表等基础知识? 考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用 意识? 解析? 选择 ? 根据统计图表可知? ?项错误?项正确? ? 命题意图? 本小题主要考查等差数列通项公式和前?项和公式等基础知识? 考查运算求解等数 学能力? 解析? 选择? 由题? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? ? 命题意图? 本小题主要考查含绝对值的指数函数和对数函数的图象及其性质等基础知识? 考查 逻辑推理能力? 应用意识? 解析? 选择?由函数? ?
15、 ? ? ? 且 ? ? 的值域为? ? 得? ? ? ? ? 则 ? ?时? ? ? ? ? ? ? ?单调递减? 排除 ? ? ? 命题意图? 本小题主要考查椭圆的定义及其性质? 直线与椭圆的位置关系等基础知识? 考查运 算求解? 考查数形结合等数学思想? 解析? 选? 根据椭圆的定义? ? ?的周长为? 所以? ?命题意图? 本小题主要考查程序框图的应用等基础知识? 考查阅读理解能力? 运算求解能力? 数 据处理能力? 应用意识? 解析? 选择? 输入? ? 得 ? 不满足 ? ? ? ? ? 输入? 得? ? 不满足 ? ? ? ? ? 输入 ? ? 得 ? ? 不满足 ? ? ? ?
16、 ? 输入? 得? ? 满足 ? ? ? ? ? 即输出?的值为? ? ?命题意图? 本小题主要考查直线与平面平行? 垂直的判定与性质? 直 线与平面所成角? 异面直线所成角等基础知识? 考查空间想象能力? 论证推理能力? 解析? 选择?如图? 连结? ? ? 由 ?分别为? ?的中点 知? 选项?均正确? 而?为异面直线?与 ?所成角? 应为? ? ? ? ? ? 命题意图? 本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识? 考查运算求解? 推理论证能力和创新 意识? 考查数形结合等数学思想? 解析? 选择?因为? ?为直径? 点?在圆上? 所以?又? ? ? ? 由圆的对称 性? 有? ? ? ?
17、 所以? ? ? ? ? 由渐近线斜率? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? 所以离心率为 ? ? ? ? ?槡 ? ? 槡? ? ? ? ? ? 命题意图? 本小题主要考查三角函数的图象和性质? 正弦型函数? ? ? ? ? ? 图象和性 质等基本知识? 考查推理论证等数学能力? 化归与转化等数学思想? 解析? 选择? 由? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? 当 ? ?时? ? ? ? ? 命题意图? 本小题主要考查分段函数的图象? 函数的零点等基础知识? 考查逻辑推理能力? 分 类讨论思想? 数形结合思想? 方程思想? 应用与创新意识? 数学? 理工类? 试题答案
18、第?页? 共?页? 解析? 选择? 在平面直角坐标系中作出函数? ? 的图象如 图所示?令? ? ? 得? ? 则?或? ? ?当?时? 显然存在?个零点? ? ? ? ? 当 ? ? 时? 存在?个零点? 故函数? ?的零点个数为? 二? 填空题? ? ?分? ? ?命题意图? 本小题主要考查平面向量的数量积? 两个向量的夹角等基础知识? 考查运算求解 能力? 解析? 填? ? ? ? ? 或? ? ?由? ? ? ? ? 槡? ?槡? ? ? 槡? ? 槡 ? ? ? 槡? ?槡 ? ? 槡? ? ? ?槡 ? ? ? 所以夹角为? ? ? ? ? ? ? 命题意图? 本小题主要考查学生逻
19、辑推理等基础知识? 考查逻辑推理等能力? 解答? 填丁?若甲被选上? 甲? 乙? 丙? 丁错误? 不满足条件? 乙被选上? 甲? 丙? 丁错误? 乙正确? 不 满足条件? 丙被选上? 甲? 乙? 丁正确? 丙错误? 不满足条件? 丁被选上? 甲? 丙正确? 乙? 丁错误? 满足条件? ? ?命题意图? 本小题主要考查数列以及前?项和等基本知识? 考查化归与转化等数学思想以及 推理论证? 运算求解等数学能力? 解析? 填? ? ? 数列? ? 中? 令? ? 得 ? 则? 是首项和公比均为?的等比数列? 则? ? ? ? ? 命题意图? 本小题主要考查直线与平面垂直的判定? 球体表面积公式? 几
20、何体切割等基础知 识? 考查空间想象能力? 论证推理能力? 运算求解能力及创新意识? 考查化归与转化等数学 思想? 解析? 填?依题意? 折叠后的四面体如图?设正方形边长为? 内切球半径为? ? 则 ? ? ? ? ? 记四面体内切球球心为? 如图? ? 有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? 又? ? ? ? ? 即 ? ? 所以? 三? 解答题? 共? ?分? ? ?命题意图? 本小题主要考查正弦定理? 余弦定理等基
21、本知识? 考查化归与转化等数学思想以及 推理论证? 运算求解等数学能力? 解析? ? ? ? 在 ? ? ?中? 由正弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ?槡 ? ? ? 又? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? 于是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? 在? ? ?中? 根据余弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 槡? ?分 ? ? ? 令 ? ? 在? ? ?中? 根据余弦定理得?
22、槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? 所以? 槡? ? 当且仅当?槡? ?时? ? 成立? 所以四边形? ? ? ?周长的最大值为 槡? ? ?分 ? ? 命题意图? 本小题主要考查回归方程? 统计案例等基本知识? 考查统计基本思想以及抽象概 括? 数据处理等能力和应用意识? 解析? ? ? 应该选择模型? ?分 由于模型?残差点比较均匀地落在水平的带状区域中? 且带状区域的宽度比模型?带状宽度 窄? 所以模型?的拟合精度更高? 回归方程的预报精度相应就会越高? 故选模型?比较合适? ?分 ?
23、 ? ? 令 ? ? ?与温度?可以用线性回归方程来拟合? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则?关于?的线性回归方程为? ? ? ? ? ? ? ? ?分 于是有? ? ? ? ? ? ? ? 所以产卵数?关于温度?的回归方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 当? ? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 个? ? 所以? 在气温在? ?时? 一个红
24、铃虫的产卵数的预报值为? ? ?个? ? ?分 ? ? 命题意图? 本小题主要考查平面与平面垂直的判定? 平面与平面垂直的性质? 直线与平面所成 角? 空间向量处理立体几何问题等基础知识? 考查空间想象能力? 运算求解能力? 推理论证能 力和创新意识? 考查化归与转化等数学思想? 解析? ? ? 因为平面? ? ?平面? ? ? ? 平面? ? ?平面? ? ? ? ? ? ?平面? ? ? ? ? 所以? ?平面? ? ? ?分 又因为? ?平面? ? ? ? 所以? ? ? ?分 连接? ? ? 因为 ?分别为? ?的中点? 所以? ? ? 因为? ? ? 所以? ? ? ? 又因为? ?
25、 ? ? ? ? 所以? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? 即 ? ? ?分 又因为? ? ? 所以? ? ? ?分 又? ? ? 所以? ?平面? ? ? ?分 又因为? ?平面? ? ? 所以平面? ? ?平面? ? ? ?分 ? ? ? 过 ?作? ? ? 则 ? ? ?两两垂直? 故可如图建立空间直角坐标系? ?分 在? ? ?中? 易求得? ? 槡? ? ? ? 则? ? 槡? ?槡? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? 故 ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 槡? ? ?
26、 ? ? ? ?槡?槡? ? ?分 设平面? ? ?的法向量为? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可取? ? ?分 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? 槡?槡? ? ? 槡? ? ? ? ? 故? ?与平面? ? ?所成角的正弦值为 槡? ? ? ? ? ? ?分 ? ? 命题意图? 本小题主要考查指数函数? 导数及其性质? 不等式恒成立问题等基础知识? 考查运 算求解能力? 推理论证能力? 分类讨论思想? 化归与转化思想? 应用与创新意识? 解析? ? ? 由题
27、意? ?时? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? 当 ?时? ? ? ? ?分 当? 时? ? ? ? ? 单调递减? 当? 时? ? ? ? ? 单调递增? 所以? ? 在 ?时取得极小值? 也是最小值? 所以? ?分 ? ? ? 令 ? ? ? ? ? 由? 时? 都有? ? 所以?在? 上恒成立? ?分 由 ? ? ? ? ? ? ? 令 ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ?在? ? 上恒成立? 所以 ? ? ? ? 在? 上单调递增? 又 ? ? ? ? 所以当?时? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? 在? 上单调递增? 所以? ? 即 ? ? 满足题意?分 当?时
28、? 因为 ? ? ? ? 在? 上单调递增? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 存在? ? 使得当? 时? ? ? ? ? 在? 上单调递减? 所以当? 时? ? 这与?在? 上恒成立矛盾? 综上所述? ? 即实数?的取值范围? ? ?分 ? ?命题意图? 本小题主要考查抛物线及其性质? 直线与抛物线的位置关系等基础知识? 考查运算 求解? 推理论证能力和创新意识? 考查化归与转化? 数形结合等数学思想? 解析? ? ? 由题意可知两直线?的斜率一定存在? 且不等于? 设? ? ? ? ? ? 则? ? ? 联立直线? ?与抛物线的方程? 有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
29、 ? ? ? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 其中? ? 由韦达定理? 有 ? ? ? ? ? ?分 由上可得? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? 同理? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? 则四边形?面积? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? 令? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡? ? ?分 所以? 当且仅当? ? 即 ?时?取得最小值? ? 且当?时? 故四边形?面积的范围是? ? ?分 ? ? 由? ? 有 ? ? 所以? ?的中点?的坐标为? ? ? 同理点?的坐标
30、为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 于是? 直线? ?的斜率为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 则直线? ?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以直线? ?恒过定点? ? ?分 选考题? ? ?分? ? ? 命题意图? 本小题主要考查直线的参数方程? 极坐标方程? 圆的方程及轨迹方程的求法? 不同 方程形式的互化等基础知识? 考查运算求解? 推理论证能力和创新意识? 考查化归与转化? 数 形结合等数学思想? 解析? ? ? 设点?的坐标为? 因为点?为曲线?与?的公共点? 所以点?同时满足曲线?与?的方程? 曲线
31、?消去参数可得? ? ? ? ? ? ? 曲线?消去参数可得? ? ? ? ? 由? ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ? ? 所以点?的轨迹方程为? ? ? ? ? ?分 ? ? 由已知? 直线?的极坐标方程? ? ? ? ? ? ? ? 根据? ? ? ? ? ? ?可化为直角坐标方程? ? 因为?的轨迹为圆? ? ? ? 去掉两点? ? ? ? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 圆心?到直线?的距离为? ? 槡? 槡? ? 所以点?到直线?的距离的取值范围为?槡? ?槡? ? ? ?分 ? ?命题意图? 本小题主要考查基本不等式? 不等式的证明方法? 含绝对值的不等式等基本知识? 考查学生化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力? 证明? ? ? ?槡?槡?槡? ? ? ? ? ?槡 ? ? ?槡 ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? 当且仅当? ?取? ? ? 所以? 槡?槡?槡?槡? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当? ?取? ? ? ? ?分
