1、九江市九江市 20202020 年第年第三三次高考模拟统一考试次高考模拟统一考试 数数 学学 试试 题题（理科理科） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第卷（选择题 60 分） 一、选择题：本大题
2、共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.复数 1i 2i z 的虚部为(D) A. 3 i 5 B. 3 5 C. 3 i 5 D. 3 5 解: 1 i( 1 i)(2i)1 3i = 2i(2i)(2i)5 z ，z的虚部为 3 5 ，故选 D. 2.若集合 2 |log (1)2Axx， 2 |280Bx xx，则AB(C) A. |5x x B. | 24xx C. | 25xx D. |14xx 解: |15Axx， | 24Bxx ， | 25ABxx ，故选 C. 3.若数列 n a为等比数列，则“ 24 ,aa是方
3、程 2 310xx 的两根”是“ 3 1a ”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:若 24 ,aa是方程 2 310xx 的两根，则 24 1a a ， 2 3 1a， 3 1a ；反之，满足 24 1a a 的一元 二次方程有无数个，故选 A. 4.抛物线 2 yax上一点 1 1 (, ) 4 8 P 到其准线的距离为(B) A. 3 4 B. 1 4 C. 1 8 D. 3 8 解:易知2a ，抛物线 2 2yx，即 2 1 2 xy，准线 1 : 8 l y ,则点P到l的距离为 1 4 ，故选 B. 5.若, a b为正实数，
4、直线2(23)20xay与直线210bxy 互相垂直，则ab的最大值为(B) A. 3 2 B. 9 8 C. 9 4 D. 3 2 4 解:依题意得22(23)0ba，即322 2abab， 9 8 ab ，当且仅当 3 4 a ， 3 2 b 时，等号成 立，故选 B. 6.下图是九江市 2019 年 4 月至 2020 年 3 月每月最低气温与最高气温（）的折线统计图： 已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数0.83r ，则下列结论错误的是(D) A.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关 B.月温差（月最高气温-月最低气温）的最大值出现在 10 月 C.9-12
5、 月的月温差相对于 5-8 月，波动性更大 D.每月最高气温与最低气温的平均值在前 6 个月逐月增加 解:每月最高气温与最低气温的平均值在前 5 个月逐月增加，第 6 个月开始减少，故选 D. 7.2019 年 11 月 26 日，联合国教科文组织宣布 3 月 14 日为“国际数学日” （昵称:day） ，2020 年 3 月 14 日是第一个“国际数学日”.圆周率是圆 的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数.有 许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式1 111 13574 ，即为正奇数倒数 正负交错相加等.小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T值与非常 近似，则、中分别填入
6、的可以是(D) A. 11 ( 1)iS i ，2ii B. 1 1 ( 1) 21 i S i ，1ii C. 11 ( 1)iSS i ，2ii D. 1 1 ( 1) 21 i SS i ，1ii 解：依题意中输出的 11111 44() 13572021 TS，故选 D. 8.在一个不透明的盒子中装有 4 个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字 1,2,3,4.现每次有放 回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止.小明用随机模拟的方法估计恰好在第 4 次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每 1 组中有 4 个数字，分别表示每次摸球的结果，经随 机模拟产生
7、了以下 21 组随机数： 1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312 2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234 由此可以估计恰好在第 4 次停止摸球的概率为（A） A. 2 7 B. 1 3 C. 8 21 D. 5 21 32 32 35 37 38 37 36 27 21 15 25 26 9 14 18 21 22 17 5 3 00 -2 4 -5 5 15 25 35 45 4月5月6月7月8月9月 10月 11月 12月 1月2月3月 气温/ 月份 最高气温最
8、低气温 开始 是 否 结束 输出T 0,1Si 1010i 4TS C A B S 解:在 21 组随机数中，代表“恰好在第 4 次停止摸球”的随机数是 1234,1224,3124,1224,4312,2234 ,共 6 组，则恰好在第 4 次停止摸球的概率为 62 217 P ，故选 A. 9.函数( )esin1 x f xxx的图像大致是(B) 解:函数( )f x为偶函数，当0x 时，( )esincos1 sincos x fxxxxxxxx (1 cos )(1 sin )0xxx，( )f x在(0,)上单调递增，又由指数函数增长趋势，故选 B. 10.设双曲线 22 22 :
9、1 xy C ab (0,0ab)的左右焦点分别为 12 ,F F，过点 2 F的 直线分别交双曲线左、右两支于点,P Q，点M为线段PQ的中点，若 1 ,P Q F都 在以M为圆心的圆上，且 1 0PQ MF ，则双曲线C的离心率为(C) A.2 B.2 2 C.3 D.2 3 解：以PQ为直径的圆经过点 1 F，则 1 2 PFQ，又 1 0PQ MF ，可知 1 PQMF，则 11 PFQF， 故 1 PFQ为等腰直角三角形.设 11 PFQFt，则2PQt，由双曲线定义可知， 2 2PFta ， 2 2QFta ，可得4PQa，则24ta，即2 2ta，则 2 (2 22)PFa.在
10、12 Rt MF F中， 1 1 2 2 MFPQa， 22 2 2MFPFPMa，由勾股定理可知 12 2 32F Fac，则双曲线C 的离心率为3 c e a ，故选 C. 11.如图所示，三棱锥SABC中，ABC与SBC都是边长为1的正三角形，二面角ABCS的大小 为 2 3 ，若, , ,S A B C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（A） A. 7 3 B.13 3 C. 4 3 D.3 解：取线段BC的中点D，连接,AD SD，可知,ADBC SDBC，故ADS为二面角ABCS的 x y O F1 F2 P M Q B O y x A O x y D x O y C y x
11、O F E C A B S D O 一个平面角，则 2 3 ADS.易知BC 平面ADS，分别取线段,AD SD的三等分点,E F（中心） ，在 平面ADS内，过点,E F分别作直线垂直于,AD SD，两条直线的交点即球心O， 连接OA，则球O半径|ROA.易知 1 2 BD ， 3 2 AD ， 13 36 DEAD， 23 33 AEAD，连接OD，在Rt ODE中， 3 ODE， 1 3 2 OEDE， 则 222 7 12 OAOEAE，故球O的表面积为 2 7 4 3 R ，故选 A. 12.已知函数 2 32 241,0 ( ) 33,0 xxx f x xxx ，若不等式 ( )
12、 0 f xm x (Zm)恰有两个整数解，则m的个 数为（B） A.6 B.7 C.8 D.9 解：( )f x的图像如图所示.依题意得，当0x 时，( )f xm；当0x 时， ( )f xm.当6, 5, 4, 3, 2,0,2m 时，不等式 ( ) 0 f xm x 恰有两个 整数解，故选 B. 第卷（非选择题 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22-23 题为选考题， 学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量(2,1)a ，( 1, )bx ，若a b 与ab 共
13、线，则实数x的值为 1 2 . 解:依题意得ab /，21x， 1 2 x . 14.若二项式 3 ()nx x 的展开式中各项系数和为 256，则展开式中的常数项为 54 . 解:令1x ，有4256 n ，4n ，则二项式 4 3 ()x x 的展开式中常数项为 22 43 54C. 15.设等差数列 n a满足: 1 3a ，公差(0,10)d ，其前n项和为 n S.若数列1 n S 也是等差数列，则 10 1 n n S a 的最小值为 3 . 解：由题意可知 213 2111SSS ，即2 72103dd，解得2d 或18d （舍去） ， 21 n an， 2 2 n Snn， 数
14、列1 n S 是等差数列， 符合题意. 22 10210(1)9 1222(1) n n Snnn ann 3 1 2 3 1 -1 -2 -3 -1 -7 x y 199 (1)(1)3 211 nn nn ，当且仅当2n时， min 2 ()3 1 n n S a . 16.在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点,M N分别是棱 1111 ,BC C D的中点，过,A M N三点作正方 体的截面，将截面多边形向平面 11 ADD A作投影，则投影图形的面积为 7 12 . 解：直线MN分别与直线 1111 ,AD AB交于,E F两点，连接,AE AF，分别与棱 11
15、,DD BB交于,G H两点，连 接,GN MH，得到截面五边形AGNMH，向平面 11 ADD A作投影，得到五边形 111 AH M DG.由点,M N分 别是棱 1111 ,BC C D的中点，可知 11 1 2 D ED N，由 1 D EGDAG，可得 1 2 2 3 DGDG，同理 1 2 2 3 BHB H，则 111 2 2 3 AHA H， 1111 1 2 AMD M，则 111111 7 1 12 AH M D GA H MADG SSS . 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在ABC中，
16、三内角, ,A B C满足 2 1sinsinsin 2 C AB. ()判断ABC的形状； ()若点D在线段AC上，且2CDDA， 2 tan 5 ABD，求tanA的值. 解:() 2 1sinsinsin 2 C AB， 22 sinsin1sincos 22 CC AB 1 分 2sin sin1 cosABC 2 分 ()CAB，2sinsin1 cos() 1 cos()ABABAB 3 分 2sin sin1 cos cossin sinABABAB ，即cos cossin sin1ABAB4 分 cos() 1A B5 分 ( ,)AB ，0AB，AB，ABC为等腰三角形6
17、分 ()设DAx，2CDx， ABD， C B D A B A H G E F N M D1 C1 B1 A1 D C D1(N) M1 H1 G A1 D A 在ADB中，由正弦定理得 sinsin BDAD A ，即 sinsin BDx A 7 分 在CDB中，由正弦定理得 sinsin() BDCD CB ，即 2 sin2sin() BDx AA ，即 4 cos sinsin() BDxA AA 9 分 4 cos sinsin() xxA A ，sin()4cos sinAA10 分 sin coscos sin4cos sinAAA，sin cos5cos sinAA，tan5
18、tanA11 分 2 tan 5 ，tan2A12 分 18.(本小题满分 12 分) 已知正ABC边长为 3， 点,M N分别是,AB AC边上的点，1ANBM， 如图 1 所示.将AMN沿MN 折起到PMN的位置，使线段PC长为5， 连接PB，如图 2 所示. ()求证:平面PMN 平面BCNM； ()若点D在线段BC上，且2BDDC， 求二面角MPD C的余弦值. 解:()依题意得， 在AMN中，2AM ， 1AN ， 3 A ， 由余弦定理得 222 2122 1 cos3 3 MN ，即3MN 1 分 222 MNANAM，ANMN，即PNMN2 分 在图 2PNC中，1PN ，2N
19、C ，5PC ， 222 PCPNNC，PNNC3 分 又MNNCN，,MN NC 平面BCNM，PN平面BCNM4 分 又PN 平面PMN，平面PMN 平面BCNM5 分 ()由()知，以N为坐标原点，,NM NC NP所在直线分别为, ,x y z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Nxyz， 则(0,0,1)P，( 3,0,0)M， 3 3 (,0) 22 D，(0,2,0)C， ( 3,0, 1)PM ， 3 3 (,0) 22 MD ，(0,2, 1)PC ， 3 1 (,0) 22 DC 6 分 设平面MPD的一个法向量为 111 ( ,)mx y z ，则 mPM mMD ， 11
20、 11 30 33 0 22 xz xy ， 令 1=1 y，得( 3,1,3)m 8 分 B P M C N z x y D B P M 图 2 C N 图 1 A B N M C 设平面PDC的一个法向量为 222 (,)nxyz ，则 nPC nDC ， 22 22 20 31 0 22 yz xy ， 令 2=1 x，得(1,3,2 3)n .10 分 8 32 39 cos, 134 13 m n m n m n 11 分 二面角MPD C为钝角，故二面角MPD C的余弦值为 2 39 13 12 分 19.(本小题满分 12 分) 如图所示， 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆
21、22 22 :1 xy E ab (0ab )的离心率为 6 3 ，A为椭圆E上 位于第一象限上的点，B为椭圆E的上顶点，直线AB与x轴相交于点C， ABAO，BOC的面积为6. ()求椭圆E的标准方程； ()设直线l过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于,M N两点 (,M N在直线OA的同侧)，若CAMOAN ，求直线l的方程. 解:() 6 3 c e a ， 6 2 ac， 22 2 2 bacc1 分 由ABAO，可知 31 (,) 22 Aab为BC的中点2 分 1 36 2 BOC Sab ，即4 3ab 3 分 62 4 3 22 cc，即2 2c ，2 3a ，2b 4 分 椭圆
22、E的标准方程为 22 1 124 xy 5 分 ()由()知(3,1)A，右焦点为(2 2,0)，ABAO，ABOAOB，AOCACO ， 又CAMOAN ，直线,AM AN的斜率互为相反数6 分 设直线:1(3)AM yk x ，联立方程组得 22 1 124 1(3) xy yk x ，消去y整理得 222 (13)6 (13 )271890kxkk xkk7 分 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，则 2 1 2 27189 3 13 kk x k ， 2 1 2 963 13 kk x k ，同理可得 2 2 2 963 13 kk x k ， 2 12 2 186
23、13 k xx k ， 21 2 12 13 k xx k 9 分 y B x C O A M N 2 2 212121 212121 2 186 6 (31)(31)()6 13 1 12 13 MN k kk yykxkkxkk xxk k k k xxxxxx k 11 分 直线l的方程为02 2yx，即2 20xy12 分 20.(本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( )(ln1)f xax x (Ra)存在极小值点 0 x，且 0 ()0f x. ()求a的取值范围； ()设,0m n ，且mn，求证： ( )( )11f mf n mnmnmn . 解:() 22 11 ( )
24、 aax fx xxx (0x )1 分 当0a时，( )0fx恒成立，( )f x在0,内单调递减，不符题意2 分 当0a 时， 1 ( )00fxx a ，( )f x在 1 (0,) a 内单调递减， 1 ( )0fxx a ，( )f x在 1 (,) a 内单调递增3 分 0 1 x a ，由 1 ( )ln0faa a ，解得1a ，故a的取值范围是(1,)4 分 () 11 ( ln)( ln) ( )( )1111(lnln)1 ()() aman f mf nanm mn mnmnmnmnmnmnnmnm 5 分 不妨设0nm，1a ， ( )( )11lnln1 () f
25、mf nnm mnmnmnnmnm 1 (lnln) nm nm nmnm 1 1 (ln) 1 n n m n nmm m 7 分 又0nm，1 n m ，构造函数 1 ( )ln 1 x xx x (1x )， 则 2 22 121 ( )0 (1)(1) x x xxx x 9 分 ( )x在(1,)内单调递增，( )(1)0x10 分 即 1 ln0 1 x x x ，即 1 ln0 1 n n m n m m 11 分 ( )( )11f mf n mnmnmn 12 分 21.(本小题满分 12 分) 为筛查在人群中传染的某种病毒，现有两种检测方法： (1)抗体检测法：每个个体独立
26、检测，每一次检测成本为 80 元，每个个体收取检测费为 100 元. (2)核酸检测法：先合并个体，其操作方法是：当个体不超过 10 个时，把所有个体合并在一起进行检测. 当个体超过 10 个时，每 10 个个体为一组进行检测.若该组检测结果为阴性(正常)，则只需检测一次；若 该组检测结果为阳性(不正常)，则需再对每个个体按核酸检测法重新独立检测，共需检测1k 次(k为该 组个体数，110k，N*k).每一次检测成本为 160 元. 假设在接受检测的个体中，每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立，且每个个体是阳性结果的概率 均为p(01p) ()现有 100 个个体采取抗体检测法，求其中恰有
27、一个检测出为阳性的概率； ()因大多数人群筛查出现阳性的概率很低，且政府就核酸检测法给予检测机构一定的补贴，故检测机构 推出组团选择核酸检测优惠政策如下：无论是检测一次还是1k 次，每组所有个体共收费 700 元（少于 10 个个体的组收费金额不变）.已知某企业现有员工 107 人，准备进行全员检测，拟准备 9000 元检测费， 由于时间和设备条件的限制，采用核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数，请设计 一个合理的的检测安排方案； ()设 1 24 1 ep ，现有n(N*n且210n)个个体，若出于成本考虑，仅采用一种检测方法，试 问检测机构应采用哪种检测方法？(ln31.
28、099，ln41.386，ln51.609，ln61.792) 解:() 19999 100 (1)100 (1)PCpppp2 分 ()设安排x个个体采用抗体检测法，y组个体采用核酸检测法，则 由条件知: 10107 1007009000 xy xy yx ，Nx,y3 分 总检测费用为100700zxy4 分 画出可行域如图： 由 10107xy yx ，解得 107 107 () 1111 A,，则在可行域内临近A点的整点有(10,10),(17,9)， 此时 min 8000z5 分 即安排 17 人采取抗体检测法，90 人采用核酸检测法，或者安排 10 人采取抗体检测法，97 人采用
29、核酸检 测法，可使所有员工参加检测，且费用最低6 分 ()设采用抗体检测法，检测机构成本期望为EX；采用核酸检测法，检测机构成本期望为EY，由已知 可得80EXn7 分 790xy 10107xy yx 10 10 20 30 40 50 x 5 y O 15 A 设采用核酸检测法检测次数，则的取值只有1和1n，且 (1)(1)nPp，(1)1(1)nPnp ， ( )(1)(1)1(1) +1(1) nnn Epnpnnp， 160 +1(1) n EYnnp9 分 设EXEY，则160 +1(1) 80 n nnpn，即 11 (1) 2 n p n ， 1 24 1 ep ， 24 11
30、 e 2 n n ， 11 ln() 242 n n ，即 11 ln()+0 224 n n 10 分 设 11 ( )ln()+ 224 x f x x (210x)，则 12 ( ) 24(2) fx x x ， 由( )0fx得26x，( )0fx得610x，( )f x在2,6)上单调递减，在(6,10上单调递增. 又 1121 (2)ln()0 222412 f， 11351 (3)ln()ln1.609 1.7920.1250.0580 322468 f ， 111035 (10)ln()ln1.099 1.6090.4170.0930 10224512 f ， 当3,N*nn时
31、，EXEY11 分 故当2n 时，采用抗体检测法；当310,N*nn时，采用核酸检测法12 分 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 11 () 2 1 xt t yt t (t为参数)，以原点O为极点，x轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系. ()写出曲线C的普通方程和极坐标方程； (),M N为曲线C上两点，若OMON，求MN的最小值. 解:()由 11 () 2 1 xt t yt t ，得 22 2 22 2 1 (2 )2 1 2 xt t yt
32、 t 1 分 两式相减得 22 44xy，即曲线C的普通方程为 2 2 1 4 y x 3 分 由cosx，siny，得 222 4cossin4， 2 22 4 4cossin 故曲线C的极坐标方程为 2 2 4 5cos1 5 分 ()设,M N所对应的极径分别为 12 , ，则 2 1 2 4 5cos1 ， 2 2 2 4 5sin1 6 分 22 12 2222 4412 5cos15sin1(5cos1)(5sin1) 7 分 依题意得 2 2 5cos10 5sin10 ，即 2 14 cos 55 ， 2222 (5cos1)(5sin1)2 (5cos1)(5sin1)，即
33、22 32 (5cos1)(5sin1)， 22 9 0(5cos1)(5sin1) 4 ，当且仅当 22 5cos15sin1 ，即 2 tan1时，取等号 9 分 22 12 16 3 ，即 22 12 min 4 3 3 MN10 分 23.(本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 定义区间 12 (,)x x( 21 xx)的长度为 21 xx， 已知不等式| |1| 1xmxx (Rm)的解集区间长度 为 1. ()求m的值； ()若,Ra b，0ab ，abm，求 22 ba ab 的最小值及此时, a b的值. 解:()由| |1| 1xmxx ，得1 | |1| 0xxm
34、x ，10x 1 分 当10x 时，即1x 时，| 1xm2 分 1 11 x mxm 3 分 又原不等式的解集区间长度为 1. 原不等式的解集为(1,1)m，其中02m4 分 1 11m ，即1m5 分 ()由()可知1ab，又0ab ，,0a b6 分 法一: 223322222 ()()()31 3 baabab aabbaabbabab abababababab 7 分 1 2a bab ， 1 4 ab 8 分 22 1 ba ab ，即 22 min ()1 ba ab 9 分 当且仅当 1 ab ab ，即 1 2 ab时取等号10 分 法二 : 22 22 bb aab aa ， 22 22 aa bba bb 7 分 22 ()()22 ba abba ab 8 分 22 1 ba ab ab ，即 22 min ()1 ba ab 9 分 当且仅当 1 ab ab ，即 1 2 ab时取等号10 分 命题人：刘凯 审稿人：龙中华、王锋、孙善惠、易华、李高飞、江民杰、陈劲、林健航
