1、 绝密启用前 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2作答时，务必将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的请把答案填涂在答题卡上 ） 1设集合 2 1,0,1,2,3,|20ABx xx ，则AB （ ） A3 B2,3 C 1,3 D0,1,2 2复数z满足 1 i z i ，则在复平面内复数z对应的点位于（ ） A第一象限
2、 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量(1,1),(2,2)mn，若()()mnmn，则（ ） A4 B2 C3 D1 4为了得到函数sin 2 3 yx 的图像，只需把函数sin2yx的图像（ ） A向左平移 3 个长度单位 B向右平移 3 个长度单位 C向左平移 6 个长度单位 D向右平移 6 个长度单位 5命题“ 2 ,210xRxx ”的否定是（ ） A 2 ,210xRxx B 2 ,210xRxx C 2 ,210xRxx D 2 ,210xRxx 6麒麟是中国传统瑞兽古人认为，麒麟出没处，必有祥瑞有时用来比喻才能杰出、德才兼备的人如 图是客家麒麟图腾，为了测量图案中黑色
3、部分面积，用随机模拟的方法来估计现将图案剪成长5cm，宽 4cm的矩形，然后在图案中随机产生了 500 个点，恰有 248 个点落在黑色区域内，则黑色区域的面积的估 计值为（ ） 2 cm A 248 25 B 62 125 C 63 125 D 25 248 7已知三棱锥ABCD的四个顶点, ,A B C D都在球O的表面上，,BCCD AC平面BCD，且 2 2,2ACBCCD，则球O的表面积为（ ） A4 B8 C16 D2 2 8已知函数 1 ( )cos 1 x x e f xx e 的图象大致形状是（ ） A B C D 9设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左
4、、右焦点分别为 12 ,F F，过 1 F作倾斜角为 3 的直线与y轴和双 曲线的右支分别交于点AB、，若 1 1 () 2 OAOBOF，则该双曲线的离心率为（ ） A2 B5 C23 D3 10中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余 三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为 nNMODm，例如2113MOD现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等 于（ ） A39 B38 C37 D36 11 如图过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点,
5、,A B C， 若| 2|B CB F， 且| 3AF ，则p （ ） A2 B 3 2 C3 D6 12已知函数 2 1,0 ( ) 1 2 ,0 2 x ex f x xx x ，函数( )(1)g xk x，若方程( )( )f xg x恰有个实数解，则实数 k的取值范围为（ ） A15,0) B(0,15) C(0,35 D(0,35) 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ） 13设函数 2 ,(0) ( ) 21,(0) x x f x xx ，则( ( 1)f f _； 14已知不等式组 240, 30, 0 xy xy y
6、 构成平面区域则目标函数2Zxy的最小值_； 15在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, , ,4,4 2sina b ccaA，且C为锐角，则ABC面积 的最大值为_； 16已知下列命题： 函数 2 ( )lg1f xx在(,0上单调递减，在(0,)上单调递增； 若函数( )21 x f xa 在R上有两个零点，则a的取值范围是（0,1） ； 当1x时，函数 1 ( ) 1 f xx x 的最大值为 0； 函数( )sincosf xxx在 5 , 24 上单调递减； 上述命题正确的是_（填序号） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）
7、 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 等差数列 n a中，已知 1 1a ，且 125 ,a a a构成等比数列 （1）求通项 n a； （2）设 1 1 n nn b a a ，非常数列 n b的前n项和为 n T，求 n T 18 （本小题满分 12 分） 如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，60 ,ABEG为BE的中点 （1）求证：AG 平面ADF； （2）若3,1ABBC，求三棱锥A CDF的体积 19 （本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病 对应的相关症状时止的这一
8、阶段称为潜伏期一研究团队统计了某地区 100 名患者的相关信息，得到如下 表格： 潜伏期（单位：天） 0,2 (2,4 (4,6 (6,8 (8,10 (10,12 (12,14 人数 85 205 310 250 130 15 5 （1）求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过 6 天为标 准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联 表判断是否有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期6
9、天 潜伏期6天 总计 50 岁以上（含 50 岁） 100 50 岁以下 55 总计 200 附： 2 0 P Kk 0.05 0.025 0.010 0 k 3.841 5.024 6.635 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，短轴长为2 3 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左焦点为 1 F，过点 1 F的直线l与椭圆C交于,D E两点，则在x轴上是否存在一个定点M 使得直线,MD ME的斜率互为相反数？若存在，求出
10、定点M的坐标；若不存在，也请说明理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( ) x e f x x ， （1）求函数( )f x的单调区间， （2）若0x ，证明：( ) ln(1) x f x x （二）选考题：共 10 分请考生在第 2223 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分 22选修 4-4：极坐标与参数方程（本题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin4cos0 （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （
11、2）若直线l与曲线C相交于,A B两点求|AB 23选修 4-5：不等式选讲（本题满分 10 分） 已知函数( ) |23|1|f xxx （1）求不等式( )5f x 的解集； （2）若不等式( ) |2|f xxa在0,1上恒成立，求实数a的取值范围 绝密启用前 铜仁市 2020 年高三第二次模拟考试试卷 文科数学参考答案 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的请把答案填涂在答题卡上 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B D C A C A
12、C B B D 1答案：C，解析： |2Bx x或0x 2答案：A，解析： (1)111 1(1)(1)222 iiii zi iii ，故选 A 3答案：B，解析：(23) ( 1)3 ( 1)03 4答案：D，解析：sin 2sin 2 36 yxx ，因此，将函数sin2yx的图象向右平移 6 个 单位长度可得到函数sin 2 3 yx 的图象，故选：D 5答案：C 6答案：A，解析：依题意，矩形面积 2 5 420Scm ，设黑色部分的面积为S，根据几何概型的知识， 得 248 500 S S ，故答案选 A 7答案：C，解析：由题意可知,CA CB CD两两垂直，所以补形为长方形，三
13、棱锥与长方体共球， 2222 (2 )(2 2)2216R，求的外接球的表面积 2 416SR，选 C 8答案：A，解析： 1 ()cos ,()( ) 1 x x e gxxgxg x e ，即知 1 ( )cos 1 x x e g xx e 是R上奇函数， 又当0, 2 x 时，有( )0g x ，结合选项，只有 A 符合题意 9答案：C，解析：如图， 1 1 (), 2 OAOBOFA为 1 BF的中点， 1 Rt AFO中， 1 60 3 AFO ， 所以3AOc，因O是 12 FF中点，所以AO是 12 FF B中位线，所以 2 2 3BFc且 212 BFFF，在 12 Rt F
14、F B中， 2112 90 ,30BF FFBF ，所以 112 22 24BFFFcc ， 由双曲线定义知： 12 242 3aBFBFcc， 所以 1 23 23 c a 故选 C 10答案：B，解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： 被 3 除余 2，被 5 除余 3，由已知中四个答案中的数据可得，故输出的n为 38，故选：B 11答案：B，解析：过, A B分别作准线的垂线，垂足为,N M， | 2| 2,30BCBFBMMCB| 3,26AFAN ACAN，所以F为AC的中点， 13 22 pAN，故答案选 B 12 答案： D， 解析： 依
15、题意， 画出 2 1,0 ( ) 1 2 ,0 2 x ex f x xx x 的图象， 如图 直线( )(1)g xk x过定点 （1,0） ， 由图象可知，函数( )g x的图象与 2 1 ( )2 ,0 2 f xxx x的图象相切时，函数( ), ( )f x g x的图象恰有两个 交点下面利用导数法求该切线的斜率设切点为 00 ,P x y，由( )2,0fxxx，得 2 00 00 0 1 2 2 2 1 xx kfxx x ，化简得 2 00 240xx，解得 0 15x 或 0 15x （舍去） ，要 使方程( )( )f xg x恰有三个实数解，则函数( ), ( )f x
16、g x的图象恰有三个交点，结合图象可知 035k ，所以实数k的取值范围为(0,35)，故选 D 第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ） 13答案：0，解析：因为 1 ( 1) 2 f ，所以 11 ( ( 1)210 22 f ff 14答案：2，解析：由图知2Zxy在( 2,0)处取得最小值2 15答案：44 2，解析：因为4c ，又4 2 sinsin ca CA 所以 2 sin 2 C ，又C为锐角，可得 4 C 因为 2222 162cos2(22)ababCababab，所以 16 8(22) 22 ab ， 当且仅当8(
17、22)ab时等号成立，即 12 sin44 2 24 ABC SabCab， 即当8(22)ab时，ABC面积的最大值为44 2故答案为44 2 16答案： 解析：根据复合函数同增异减的性质，可知函数 2 ( )lg1f xx在(,0上单调递减，在(0,)上 单调递增，故正确； 令( )21 x g x ，则函数( )g x的图象与直线ya有两个交点，根据函数( )g x的图象可知01a， 故正确； 当1x时，10x， 所以 1111 ( )11112 (1)11 1111 f xxxxx xxxx （当且仅当 1 1 1 x x 即0x 时取等号） ，所以函数 1 ( ) 1 f xx x
18、的最大值为1，故不正确 ( )sincos2sin 4 f xxxx ，当 5 , 24 x 时， 33 , 442 x ，此时( )f x单调递减， 故正确； 综上，命题正确的序号为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 解答： （1） 22 152 14(1)0a aaddd 或2d 所以：21 n an或1 n a 6 分 （2） 1 11111 (21)(21)2 2121 n nn b a annnn 8 分 123 nn Tbbbb 111111 1 23352121nn
19、 11 1 22121 n nn 12 分 18 （本小题满分 12 分） 解答： （1）证明：矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，ADAB， 矩形ABCD菱形,ABEFABAD平面ABEF， AG平面,ABEFADAG， 菱形ABEF中，60 ,ABEG为BE的中点，,AGBEAGAF， ,ADAFAAG平面ADF 6 分 （2）由,ADBC AFBE知，面BCE面,ADF C到面ADF的距离等于G到面ADF的距离， 所以，三棱锥A CDF的体积等于三棱锥GADF的体积， 矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，3,1,60ABBCABE 则 3 1,3, 2 ADBCAFA
20、BAG， 所以，又由（1）可知AD 平面ABEF， ,ADAFAG平面ADF， 所以 111 332 A CDFG ADFDAF VVSAGAFADAG 1133 3 1 3224 12 分 19 （本题满分 12 分） 解答： （1）根据统计数据，计算平均数为： 1 (1 853 2055 3107 2509 130 11 15 13 5)5.4 1000 x 天 6 分 （2）根据题意，补充完整的列联表如下： 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 50 岁以上（含 50 岁） 65 35 100 50 岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 则 2 2 (65 4555 35)20
21、025 2.083 120 80 100 10012 K ， 经查表，得 2 2.0833.841K ，所以没有 95%的把握认为潜伏期与年龄有关 12 分 20 （本题满分 12 分） 解答： （1）据题意，得 222 22 3 1 2 b c a cab 解得 22 4,3ab， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy 6 分 （2）据题设知点 1( 1,0) F ，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(1)yk x 由 22 (1) 1 43 yk x xy ，得 2222 4384120kxk xk 设 1122 ,E x yD x y，则 22 1212 22 8412 ,
22、4343 kk xxx x kk 设( ,0)M m，则直线,MD ME的斜率分别满足 21 21 , MDME yy kk xmxm 又因为直线,MD ME的斜率互为相反数， 所以 211212 12 1212 0 MEMD x yx ym yyyy kk xmxmxmxm ， 所以 211212 0x yx ym yy，所以 211212 11110x k xx k xm k xk x ， 所以 121212 220kx xk xxm k xxk ， 所以 222 222 41288 220 434343 kkk kkm kk kkk ，所以(4)0k m 若(4)0k m对任意kR恒成立
23、，则4m， 当直线l的斜率k不存在时，若4m，则点( 4,0)M 满足直线,MD ME的斜率互为相反数 综上，在x轴上存在一个定点( 4,0)M ，使得直线,MD ME的斜率互为相反数 12 分 21 （本题满分 12 分） 解答： （1） 2 11 ( ),( ) xxx exee f xfx xx 令( )1(0),( ) xxx g xxeexg xxe， 当(0,)x时，( )0g x，当(,0)x 时，( )0g x， ( )g x在(0,)是增函数，在(,0)是减函数，又(0)0g，当0x 时，( )(0)0g xg， ( )0fx恒成立 ( )f x的单调增区间(0,)，单调减区
24、间(,0) 5 分 （2） 111 ( ) lnln1 1 xxx x x eee f x xee 1 0,( ) ln(1) x xe xf x xx 等价于 1 ln(1)ln1 1 x x xe xe 7 分 令( ) ln(1) x g x x ，所证不等式等价于证明( )1 x g xg e 因为0x 时， 2 ln(1) 1 ( ) ln (1) x x x g x x ， 令 22 11 ( )ln(1)(0),( )0 11(1)(1) xxxx h xxxh x xxxx 所以( )h x在(0,)单调增，又因为(0)0h，所以0x 时，( )0g x， 所以0x 时，( )
25、g x在(0,)单调增， 因为0x 时，1 x ex ，所以 ( )1 x g xg e，即，( ) ln(1) x f x x 12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分 22选修 4-4：极坐标与参数方程（本小题满分 10 分） 解答： （1）由题意，将 1 2 xt yt （t为参数）中的参数t消去，可得22yx 即直线l的普通方程为22yx， 由 2 sin4cos0，可得 22 sin4 cos， 又由cos ,sinxy，代入可得 2 4yx， 所以曲线C的直角坐标方程为 2 4yx 5 分 （2）令 5 5 t
26、t ，则有 5 1, 5 2 5 , 5 xt yt （ t 为参数） 将其代入方程 2 4yx中，得 2 44 5 40 55 tt，其中 2 4 54 4( 4)0 55 设点,A B对应的参数分别为 12 ,tt，则 1212 5,5ttt t ， 所以 2 121212 |45205ABttttt t 10 分 23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 解答： （1）( )5|23|1| 5f xxx 当1x时，3 215xx ，即2 35x，解得1x； 当 3 1 2 x 时，3 215xx ，即45x，解得 3 1 2 x ； 当 3 2 x 时，2315xx ，即325x ，解得 37 23 x 综上，不等式( )5f x 的解集为 7 | 1 3 xx 5 分 （2）对0,1,( ) |2|xf xxa 恒成立， 即|23|1| |2|xxxa在0,1x恒成立， 即4|2|xxa， 424xxax ， 4, 43 ax ax 在0,1x恒成立， 4, 4,1 1, a a a 10 分
