1、第2章 一元二次方程 综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1【教材P29习题T5】下列方程是关于x的一元二次方程的是()A3x25y40 B2x10 C2x33x270 D5x(x3)92【2022青海】已知关于x的方程x2mx30的一个根为x1，则实数m的值为()A4 B4 C3 D33用配方法解方程x24x10，配方后的方程是()A(x2)23 B(x2)23 C(x2)25 D(x2)254一元二次方程x22x0的两根分别为x1和x2，则x1x2的值为()A2 B1 C2 D05【2023怀化三中模拟】解下列方程：3x2270；2x23x10；x25x20；2(3x1)23x1.
2、较简便的方法是()A依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法B依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法C用直接开平方法，用公式法，用因式分解法D用直接开平方法，用公式法，用因式分解法6若菱形两条对角线的长度是x26x80的两根，则该菱形的边长为()A B4 C25 D57【2023常德五中模拟】定义新运算a*b；对于任意实数a，b均满足a*b(ab)(ab)1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3(43)(43)1716，若x*kx(k为实数) 是关于x的方程，则它的根的情况是()A有一个实数根 B有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根 D没有实数根8若关于x的一
3、元二次方程x22xkb10有两个不相等的实数根，则一次函数ykxb的大致图象可能是()9【新情境】2022年年底第二十二届世界杯在卡塔尔成功举办，世界杯期间某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了66场比赛设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是()Ax(x1)66 Bx(x1)66Cx(x1)66 Dx(x1)6610若整数a使得关于x的一元二次方程(a2)x22axa10有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为()A3 B4 C5 D6二、填空题(每题3分，共24分)11【2023浦北中学月考】把方程3x25x2化为一般形
4、式为_12关于x的一元二次方程(x3)(x2)0的根是_13【教材P45习题T4】【2022长沙】关于x的一元二次方程x22xt0有两个不相等的实数根，则实数t的值为_14已知t23t10，则t_15已知关于x的一元二次方程x2(2m3)xm20有两个实数根，且满足x1x2m2，则m的值是_16用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形，设矩形的长为x cm，则列方程为_17【教材P57复习题T14】已知a，b，c是ABC的三边长，若方程(ac)x22bxac0有两个相等的实数根，则ABC是_三角形18有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为4.把十位上的数字与个位上
5、的数字调换位置后，所得的两位数乘原来的两位数得403，则原来的两位数是_三、解答题(19，23，24题每题12分，其余每题10分，共66分)19【教材P56复习题T3】解方程：(1)3x214x；(2)(x4)25(x4)20【2022南充】已知关于x的一元二次方程x23xk20有实数根(1)求实数k的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x11)(x21)1，求k的值21已知关于x的一元二次方程x2(2m1)xm20.(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1x23x1x21，求m的值22【2023永州一中模拟】已知关
6、于x的方程(a1)x24x12a0，x3是方程的一个根(1)求a的值及方程的另一个根；(2)一个三角形的三边长都是此方程的根，求这个三角形的周长23重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用(简称“堂食”小面)，也可购买搭配佐料的袋装生面(简称“生食”小面)已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元(1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元；(2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面4 500份，“生食”小面2 500份为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂
7、食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 a%.统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%.求a的值24【2023衡阳二中模拟】如图，在ABC中，B90，AB6厘米，BC8厘米点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动(到达点B即停止运动)，点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动(到达点C即停止运动)(1)如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，经过几秒时，PBQ的面积等于ABC面积的三分之一？(2)如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒后，P，Q相距6厘米？
8、答案一、1D2B【点拨】将x1代入方程，解出m的值即可3A【点拨】x24x10，移项得x24x1，配方得x24x414，即(x2)23.4C5C【点思路】通过观察一元二次方程的形式来判断解方程的方法6A【点拨】解方程x26x80，得x12，x24.如图，四边形ABCD为菱形，ACBD，AC4，BD2.四边形ABCD是菱形，AOD90，AOCO2，BODO1，由勾股定理得AD，即菱形的边长为，故选A. 7B【点拨】根据新运算法则可得x*k(xk)(xk)1x2k21，则x*kx即为x2k21x，整理得x2xk210，则a1，b1，ck21，可得(1)241(k21)4k250，方程有两个不相等的
9、实数根，故选B.8B【点拨】由一元二次方程有两个不相等的实数根得0，可得kb0，据此可得答案9D10C【点思路】通过一元二次方程有实数根，并且二次项系数不为零，再解不等式组，即可判断符合条件的整数a的个数为5.二、113x25x2012x13，x2213t0，t0.x，x1，x2.(2)(x4)25(x4)，(x4)25(x4)0，(x4)(x45)0，(x4)(x1)0，x40或x10，x14，x21.20解：(1)一元二次方程x23xk20有实数根，0，即324(k2)0，解得k.(2)方程的两个实数根分别为x1，x2，x1x23，x1x2k2.(x11)(x21)1，x1x2x1x211
10、，k2311，解得k3.21(1)证明：(2m1)241(m2)4m24m14m84m290，无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根(2)解：由根与系数的关系，得x1x2(2m1)，x1x2m2.由x1x23x1x21，得(2m1)3(m2)1.解得m8.22解：(1)将x3代入方程(a1)x24x12a0，得9(a1)1212a0.解得a2.将a2代入原方程，得x24x30，因式分解得(x1)(x3)0，x11，x23.方程的另一个根是x1.(2)三角形的三边长都是这个方程的根，当三边长都为1时，周长为3；当三边长都为3时，周长为9；当两边长为3，一边长为1时，周长为7；当两边长为1，一
11、边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形综上，三角形的周长为3或9或7.23解：(1)设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别为x元，y元根据题意，得解这个方程组，得答：每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别为7元，5元(2)“堂食”小面和“生食”小面4月的总销售额为4 50072 500544 000(元)根据题意得52 500(1a%)52 50044 000a%.设a%m，原方程可化为5(1m)2 50052 50044 000m.化简，得25m22m0.解这个方程，得m10.08，m20(舍去)所以a8.答：a的值为8.24解：(1)设t秒时，PBQ的面积等于ABC面积的三分之一，根据题意得2t(6t)68，解得t2或t4.由题意得0t4，则t2，t4均符合题意答：2秒或4秒时，PBQ的面积等于ABC面积的三分之一(2)设x秒时，P，Q相距6厘米，根据题意易得(6x)2(2x)236，解得x0或x.x0，x均符合题意答：0秒或秒时，P，Q相距6厘米9
