1、折折叠系列专题叠系列专题折叠中得轨迹与最值折叠中得轨迹与最值 一、知识板块一、知识板块 1 1、定点、定点+ +定长定长, ,点圆模型点圆模型 2 2、定点、定点+ +定长定长, ,线圆模型线圆模型 二、定点二、定点+ +定长定长, ,点圆模型点圆模型 【模型呈现】【模型呈现】 如图,点 A 为外O 一点,点 B 在圆上动点,当点 B 位于何处时 AB 可以 取最大值或最小值？请画出最大值和最小值时的点 B. 【归纳总结】【归纳总结】 易得,当 O.B.A 三点共线,且点 B 位于 OA 之间时,AB 最小;点 O 位于 AB 之间时,AB 最大. 【例题【例题 1 1】如图,在边长为 8 的
2、菱形 ABCD 中,A=60,M 是边 AD 的 中点,N 是 AB 上一点,将 AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到AMN, 连接 AB,则 AB 的取值范围_. 【变式【变式 1 1】如图,在矩形 ABCD 中,AD=2,AB=3,点 E 是 AD 边的中点, 点 F 是射线 AB 上的一动点,将AEF 沿 EF 所在的直线翻折得到 AEF,连接 AC,则 AC 的最小值为_. 【方法策略】【方法策略】如果翻折的折痕是过一定点的,就会出现隐形圆,一般我 们用点圆最值模型来求最值. 【变式【变式 2 2】如图,点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一个动点(不 与 B、D 重合),
3、连结 AP,过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 H,连结 DH, 若正方形的边长为 4,则线段 DH 长度的最小值是 . 【解析】【解析】要求线段 DH 长度的最小值,先要确定动点 H 的运动轨迹。 在点 P 的运动过程中,AHB=90,点 H 的运动轨迹是以 AB 为直径 的半圆,题目转化为圆外一点到圆上一点之间的最小距离的问题(如 图),连结点 D 和 AB 中点 O,与半圆 O 交于点 H,此时 DH 长度最小为 . 【得分锦囊】【得分锦囊】如果翻折的折痕是过一定点的,就会出现隐形圆,一般我 们用点圆最值模型来求最值. 【变式【变式 3 3】 如图,已知正方形 ABCD 的边长是 4
4、,点 E 是 AB 边上一动点, 连接CE,过点B作BGCE于点G点P是AB边上另一动点,则PD+PG 的最小值为_. 【解析】【解析】作 DC 关于 AB 的对称点 DC,以 BC 中的 O 为圆心作半圆 O,连 D0 分别交 AB 及半圆 O 于 P、G.将 PD+PG 转化为 DG 找到最 小值. 解答:取点 D 关于直线 AB 的对称点 D.以 BC 中点 O 为圆心,OB 为半 径画半圆. 连接 OD交 AB 于点 P,交半圆 O 于点 G,连 BG.连 CG 并延长交 AB 于 点 E. 由以上作图可知,BGEC 于 G PD+PG=PD+PG=DG 由两点之间线段最短可知,此时
5、PD+PG 最小, 三、定点三、定点+ +定长定长, ,线圆模型线圆模型 【模型呈现】【模型呈现】 如图,AB 为O 外一直线,点 P 在圆上动点,当点 P 位于何处时点 P 到 直线 AB 的距离 PQ 可以取最大值或最小值？ 【归纳总结】【归纳总结】 易得,当 O、 P、 Q(C)三点共线,且点 P 位于 OC(Q)之间时,PQ 最小;点 O 位于 PQ(C)之间时,PQ 最大.(垂线段最短原理). 【例题【例题 2 2】如图在 RtABC 中,C=90,AC=6,BC=8 点 F 在边 AC 上 并且 CF=2 点 E为边 BC 上的动点,将CEF 沿直线 EF翻折,点 C 落在 点 P
6、 处,则点 P 到边 AB 距离的最小值是_. 【变式【变式 1 1】如图,矩形 ABCD 中,AB=4,AD=3,M 是边 CD 上一点,将 ADM 沿直线 AM 对折,得到ANM.当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时,DF 的最大值为_. 【变式【变式 2 2】 (1)如图 1,A、B、C 为同一平面上的三个点，且 AB=5,AC=3 则 BC 的 最小值为_. (3)如图 3,在 RtABC 中,ABC=90,AB=6,BC=8,点 E 是 AB 边上一 点,且 AE=4,点 N 是 BC 边上任意一点,把BEN 沿 EN 翻折,点 B 的对 应点为点 G,连接 AG,CG,AGC
7、的面积是否存在最小值,若存在,求出 这个最小值及此时 BN 的长度,若不存在,请说明理由. 【分析】【分析】 第一问第一问: :由构成三角形的三边关系,易得 BCAB-AC=5-3=2, 第二问第二问: :AMN 沿 MN 折叠过程中 M 是定点,MA 是定长,故点 A在以 点 M 为圆心 MA 为半径的圆上运动,而点 C 是一定点这就转化为圆外 一点到圆上的最小值问题,即点圆模型.当 M、A、C 三点共线时取得 最小值 第三问第三问: :由 AE=4 得 BE=2(定长)， E(定点)，考虑到点 G 在以点 E 为圆心,2 为半径的圆周上运动,再利用 线圆模型得以解决. 【解答】【解答】 (
8、1)BCAB-AC=5-3=2 (2)如图 5,连接 MC,过点 M 作 MHCD 于点 H,M 是 CD 中点 MA=MD=2,AMN 沿 MN 折叠过程中 M 是定点,MA=2 是定长,故 点 A在以点 M 为圆心 2 为半径的圆上运动,MA+CAMC 故而 ACMC-MA=MC-2, 四四、真题赏析真题赏析 【2014 成都中考】如图，在边长为 2 的菱形ABCD中，A=60， M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在 直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是 _ 【分析】【分析】考虑AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，可得 MA=MA=1，所以A轨迹是以M点
9、为圆心，MA为半径的圆弧 连接CM，与圆的交点即为所求的A，此时AC的值最小 构造直角MHC，勾股定理求CM，再减去AM即可 【20162016 淮安中考】淮安中考】如图，在 RtABC中，C=90，AC=6，BC=8， 点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将CEF沿 直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 _ 【分析】【分析】考虑到将FCE沿EF翻折得到FPE，可得P点轨迹是以 F点为圆心，FC为半径的圆弧 过F点作FHAB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距 离最小由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH 【20182018 相城区一模】相城区一
10、模】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分 别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，AEQ沿EQ翻折形成 FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_ 【分析】【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于 BC对称点D，连接PD，PF+PD化为PF+PD 连接ED，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股 定理先求ED,再减去EF即可 五、五、方法总结方法总结 经过以上 2 个类型问题分析,我们不难得到解决这类问题思维模式。 具体如下: 1.折叠类问题中,如果折痕过某一定点,这是往往用辅助圆来解决问 题,一般试题考查的是点圆最值问题. 2.折叠后图形不明确,应明确分析出可能出现情形,一次分析验证,可 借助纸片模拟分析.
