圆中的基本概念及定理.docx

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1、圆中的基本概念及定理圆中的基本概念及定理(导学案导学案) 知识过关知识过关 在小学的时候, 我们知道“一中同长”表示的是圆, 中心称为_, 固定的线段长称为_, 还知道半径为 r 的圆的周长为_,面积为_ 在七年级我们学习了圆的另外一种说法:平面上,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另 一个端点形成的图形叫做圆固定的端点 O 称为圆心,线段 OA 称为半径 一条弧一条弧 AB 和经过这条弧的两条半径和经过这条弧的两条半径 OA,OB 所组成的图形所组成的图形叫做扇形 顶点在圆心的角顶点在圆心的角叫做圆心角 1. 平面上到_的距离等于_的所有点组成的图形叫做圆,其中,_称 为圆心,_称为半径

2、;圆 O 记作_ 2. 圆中概念: 弧:_;弧包括_和_; 弦:_; 圆周角:_; 圆心角:_; 弦心距:_ 3. 圆的对称性: 圆是轴对称图形,其对称轴是_; 圆是中心对称图形,其对称中心为_ 4. 圆中基本定理: *(1)垂径定理:_ _; 推论:_ _; 总结:知二推三_, _,_, _,_ (2)四组量关系定理:在_中,如果 _ 、 _ 、 _ 、 _中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分 别相等 O B A O O O O (3)圆周角定理:_; 推论 1:_; 推论 2:_, _ 推论 3:_ (4)三点定圆定理:_ 三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的 _,三

3、角形叫做圆的_,外接圆的圆心是 _,叫做三角形的_ 精讲精练精讲精练 1. 如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB,垂足为 M,下列结论不一定成立的是( ) ACM=DM BCB =BD CACD=ADC DOM=MD 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图,O 的弦 AB 垂直平分半径 OC,若6AB ,则O 的半径为_ 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是 10 mm,测得钢珠顶端离零件表 面的距离为 8 mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为_mm 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图,圆拱桥桥拱的跨度 AB=12 m,桥拱高 CD=4 m,则拱桥

4、的直径为_ 5. 如图, 在O 中, 直径 CD 垂直于弦 AB, 垂足为 E, 连接 OB, CB 已知O 的半径为 2, AB=2 3, 则BCD=_ 第 5 题图 第 6 题图 D B C M O A B C A O BA 8mm AB C D R O A D B O E C A D C O B 圆中处理问题的思路圆中处理问题的思路 找圆心,连半径,转移边; 遇弦,作垂线,垂径定理配合 勾股定理建等式; 遇直径,找直角,由直角,找 直径; 由弧找角,由角看弧 6. 如图,O 的弦 CD 与直径 AB 相交,若BAD=50 ,则 ACD=_ 7. 一个圆形人工湖如图所示, 弦 AB 是湖上

5、的一座桥, 已知桥 AB 长 100 m, 测得圆周角ACB=45 , 则这个人工湖的直径 AD 为_ 第 7 题图 第 8 题图 8. 如图,E 为正方形 ABCD 的边 CD 的中点,经过 A,B,E 三点的O 与边 BC 交于点 F,P 为AB 上任意一点若正方形 ABCD 的边长为 4,则 sinP 的值为_ 9. 如图,AOB=100 ,点 C 在O 上,且点 C 不与 A,B 重合,则ACB 的度数为( ) A50 B80 或 50 C130 D50 或 130 10. 如图, 点 D 为边 AC 上一点, 点 O 为边 AB 上一点, AD=DO 以 O 为圆心, OD 长为半径

6、作半圆, 交 AC 于另一点 E,交 AB 于 F,G 两点,连接 EF若BAC=22 ,则EFG=_ 第 10 题图 第 11 题图 11. 如 图 , 已 知 四 边 形A B C D内 接 于 O , 如 果 它 的 一 个 外 角 DCE=64 ,那么BOD 的度数为_ 12. 如图,在 5 5 的正方形网格中,一条圆弧经过 A,B,C 三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是点 _ 13. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了, 其中四块碎片如图所示, 为配到与原来大小一样的圆形玻璃, 小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( ) A第块 B第块 C第块 D第块 AB O D C P F EO BC

7、DA A D F E C OG B EC O D B A CD A B O E B O A AB C PQR M 第 13 题图 第 14 题图 14. 如图,O 的两条弦 AB,CD 互相垂直,垂足为 E,且 AB=CD,已知 CE=1,ED=3,则O 的半 径是_ 15. 已知O的半径为 13 cm,弦 ABCD,AB=24 cm,CD=10 cm,则 AB,CD 之间的距离为 _ 【参考答案】【参考答案】 知识过关知识过关 圆心,半径,2r,r2 1. 定点,定长,定点,定长,O 2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,优弧,劣弧; 连接圆上任意两点的线段叫做弦; 顶点在圆上,并且两边都与圆

8、相交的角叫做圆周角; 顶点在圆心的角叫做圆心角; 圆心到弦的距离叫做弦心距 3. 任意一条过圆心的直线;圆心 4. (1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧; 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧; 过圆心的直线;垂直于弦;平分弦;平分优弧;平分劣弧 (2)同圆或等圆,两个圆心角,两条弧,两条弦,两个弦心距 (3)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半; 同弧或等弧所对的圆周角相等; 直径所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形对角互补 (4)不在同一条直线上的三个点确定一个圆,外接圆,内接三角形,三角形三边垂直平分线的 交点,外心 精讲精

9、练精讲精练 1. D 2. 2 3. 8 4. 13 m 5. 30 6. 40 7. 100 2cm 8. 3 5 9. D 10. 33 11. 128 12. Q 13. B 14. 5 15. 7 cm 或 17 cm 圆中的基本概念及定理圆中的基本概念及定理(当堂过关当堂过关) 1. 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB ) ,点 O 是这段弧的圆心,C 是AB上一点,OC AB,垂足为 D,若 AB=300 m,CD=50 m,则这段弯路的半径是_m 2. 如图,O 是ABC 的外接圆,CD 是直径,若B=40 ,则ACD=_ 3. 如图, O 的直径 AB 与弦 CD 相

10、交于点 E, 若 AE=5, BE=1, CD=4 2, 则AED=_ 【参考答案】【参考答案】 1. 250 2. 50 3. 30 圆中的基本概念及定理圆中的基本概念及定理(习题)(习题) 巩固练习巩固练习 1. 一条排水管的截面如图所示,已知排水管的截面圆半径 OB 为 10,截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 为 6,则水面宽 AB 的长为( ) A16 B10 C8 D6 B D C O A O B D C A E A C D B O E O D C BA 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图,AB 是O 的弦,ODAB 于点 D,交O 于点 E,则下列说法不一定正确的是( ) A

11、AD=BD BACB=AOE CAE =BE DOD=DE 3. 如图,AB 为O 的直径,CD 为弦,ABCD,若BOC=70 ,则A 的度数为( ) A70 B35 C30 D20 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图,O 是ABC 的外接圆,BAC=60 ,若O 的半径 OC 为 2,则弦 BC 的长为( ) A1 B3 C2 D2 3 5. 如图,若 AB 是O 的直径,CD 是O 的弦,ABD=58 ,则BCD=( ) A116 B32 C58 D64 6. 如 图 , A B是 半 圆O的 直 径 , C , D是AB 上 的 两 点 , 若 ADC=120 ,则BAC=_ 第

12、6 题图 第 7 题图 7. 如图,已知O 是ABC 的外接圆,且C=70 ,则OAB= _ 8. 如图,点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心,AOC=108 ,若点 D 在 AB 的延长线上,且 BD=BC, 则D=_ C AB O A O D B C O CB A O D C B A O D B C A O C BA y x O D C BA 第 8 题图 第 9 题图 9. 如图,以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴的正半轴于点 C,D 为第一象限内O 上的一点,若DAB=20 ,则OCD=_ 10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知 AB=16 m

13、,半径 OA=10 m,则中间柱 CD 的高度为_m 第 10 题图 第 11 题图 11. 如图, “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题: “今有圆材,埋在壁中,不 知大小, 以锯锯之, 深一寸, 锯道长一尺, 问径几何 ” 用几何语言可表述为: CD 为O 的直径, 弦 ABCD 于点 E,若 CE=1 寸,AB=10 寸,则直径 CD 的长为_ 12. 如图,若ABC 的顶点都在P 上,则点 P 的坐标是_ 第 12 题图 第 13 题图 13. 小英家的圆形镜子被打碎了,她拿了如图所示(网格中每个小正方形的边长均为 1)的一块碎片 到玻璃店,配制成形状、大小与原来一致的镜

14、面,则这个镜面的半径是_ 14. 如图,点 A,B,C,D 在O 上,点 O 在D 的内部,若四边形 OABC 为平行四边形,则 OAD+OCD=_ 第 14 题图 第 15 题图 15. 如图,PAC=30 ,在射线 AC 上顺次截取 AD=3 cm, DB=10 cm,以 DB 为直径作O,交射线 AP 于 E,F 两点,则线段 EF 的长是_cm O D C B A C D B O A D O E B C A y x O C B A O D C B A P F E CBOD A 思考小结思考小结 1. 圆中处理问题的思路圆中处理问题的思路 找圆心,连半径,转移边; 遇弦,作垂线,垂径定理

15、配合勾股定理建等式; 遇直径,找直角,由直角,找直径; 由弧找角,由角看弧 2. 中考数学中涉及“一半”的相关内容中考数学中涉及“一半”的相关内容 直角三角形斜边中线等于斜边的一半; 30所对的直角边等于斜边的一半; 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半; 圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半 3. 阅读材料回答问题 如图, 在锐角ABC 中, BC=a, CA=b, AB=c, ABC 的外接圆半径为 R, 则2 s i ns i ns i n abc R ABC 证明:连接CO 并延长,交O 于点D,连接DB,则D=A CD 为直径, DBC=90 在 RtBDC 中,si

16、n 2 BCa D DCR sin 2 a A R ,即2 sin a R A 同理可证2 sinsin bc R BC 2 sinsinsin abc R ABC 阅读前面的命题及证明,完成下面的两个小题 前面的阅读材料中略去了 “2 sin b R B ” 和 “2 s i n c R C ” 的证明过程, 画出图形并证明2 sin b R B c b a O D CB A 直接用前面阅读材料中的结论解题 已知,在锐角ABC 中,32BCCA,A=60,求ABC 的外接圆半径 R 及C 的度数 【参考答案】【参考答案】 巩固练习巩固练习 1. A 2. D 3. B 4. D 5. B 6. 30 7. 20 8. 27 9. 65 10. 4 11. 26 寸 12. (-2,-1) 13. 5 14. 60 15. 6 思考小结思考小结 3. 证明略 175RC, A BC O a b c B A C

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