1、圆中的基本概念及定理圆中的基本概念及定理（导学案导学案） 知识过关知识过关 在小学的时候， 我们知道“一中同长”表示的是圆， 中心称为_， 固定的线段长称为_， 还知道半径为 r 的圆的周长为_，面积为_ 在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另 一个端点形成的图形叫做圆固定的端点 O 称为圆心，线段 OA 称为半径 一条弧一条弧 AB 和经过这条弧的两条半径和经过这条弧的两条半径 OA，OB 所组成的图形所组成的图形叫做扇形 顶点在圆心的角顶点在圆心的角叫做圆心角 1. 平面上到_的距离等于_的所有点组成的图形叫做圆，其中，_称 为圆心，_称为半径
2、；圆 O 记作_ 2. 圆中概念： 弧：_；弧包括_和_； 弦：_； 圆周角：_； 圆心角：_； 弦心距：_ 3. 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是_； 圆是中心对称图形，其对称中心为_ 4. 圆中基本定理： *（1）垂径定理：_ _； 推论：_ _； 总结：知二推三_， _，_， _，_ （2）四组量关系定理：在_中，如果 _ 、 _ 、 _ 、 _中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分 别相等 O B A O O O O （3）圆周角定理：_； 推论 1：_； 推论 2：_， _ 推论 3：_ （4）三点定圆定理：_ 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 _，三
3、角形叫做圆的_，外接圆的圆心是 _，叫做三角形的_ 精讲精练精讲精练 1. 如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 M，下列结论不一定成立的是（ ） ACM=DM BCB =BD CACD=ADC DOM=MD 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若6AB ，则O 的半径为_ 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表 面的距离为 8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为_mm 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB=12 m，桥拱高 CD=4 m，则拱桥
4、的直径为_ 5. 如图， 在O 中， 直径 CD 垂直于弦 AB， 垂足为 E， 连接 OB， CB 已知O 的半径为 2， AB=2 3， 则BCD=_ 第 5 题图 第 6 题图 D B C M O A B C A O BA 8mm AB C D R O A D B O E C A D C O B 圆中处理问题的思路圆中处理问题的思路 找圆心，连半径，转移边； 遇弦，作垂线，垂径定理配合 勾股定理建等式； 遇直径，找直角，由直角，找 直径； 由弧找角，由角看弧 6. 如图，O 的弦 CD 与直径 AB 相交，若BAD=50 ，则 ACD=_ 7. 一个圆形人工湖如图所示， 弦 AB 是湖上
5、的一座桥， 已知桥 AB 长 100 m， 测得圆周角ACB=45 ， 则这个人工湖的直径 AD 为_ 第 7 题图 第 8 题图 8. 如图，E 为正方形 ABCD 的边 CD 的中点，经过 A，B，E 三点的O 与边 BC 交于点 F，P 为AB 上任意一点若正方形 ABCD 的边长为 4，则 sinP 的值为_ 9. 如图，AOB=100 ，点 C 在O 上，且点 C 不与 A，B 重合，则ACB 的度数为（ ） A50 B80 或 50 C130 D50 或 130 10. 如图， 点 D 为边 AC 上一点， 点 O 为边 AB 上一点， AD=DO 以 O 为圆心， OD 长为半径
6、作半圆， 交 AC 于另一点 E，交 AB 于 F，G 两点，连接 EF若BAC=22 ，则EFG=_ 第 10 题图 第 11 题图 11. 如 图 ， 已 知 四 边 形A B C D内 接 于 O ， 如 果 它 的 一 个 外 角 DCE=64 ，那么BOD 的度数为_ 12. 如图，在 5 5 的正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是点 _ 13. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了， 其中四块碎片如图所示， 为配到与原来大小一样的圆形玻璃， 小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A第块 B第块 C第块 D第块 AB O D C P F EO BC
7、DA A D F E C OG B EC O D B A CD A B O E B O A AB C PQR M 第 13 题图 第 14 题图 14. 如图，O 的两条弦 AB，CD 互相垂直，垂足为 E，且 AB=CD，已知 CE=1，ED=3，则O 的半 径是_ 15. 已知O的半径为 13 cm，弦 ABCD，AB=24 cm，CD=10 cm，则 AB，CD 之间的距离为 _ 【参考答案】【参考答案】 知识过关知识过关 圆心，半径，2r，r2 1. 定点，定长，定点，定长，O 2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，优弧，劣弧； 连接圆上任意两点的线段叫做弦； 顶点在圆上，并且两边都与圆
8、相交的角叫做圆周角； 顶点在圆心的角叫做圆心角； 圆心到弦的距离叫做弦心距 3. 任意一条过圆心的直线；圆心 4. （1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； 过圆心的直线；垂直于弦；平分弦；平分优弧；平分劣弧 （2）同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距 （3）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 同弧或等弧所对的圆周角相等； 直径所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形对角互补 （4）不在同一条直线上的三个点确定一个圆，外接圆，内接三角形，三角形三边垂直平分线的 交点，外心 精讲精
9、练精讲精练 1. D 2. 2 3. 8 4. 13 m 5. 30 6. 40 7. 100 2cm 8. 3 5 9. D 10. 33 11. 128 12. Q 13. B 14. 5 15. 7 cm 或 17 cm 圆中的基本概念及定理圆中的基本概念及定理（当堂过关当堂过关） 1. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB ） ，点 O 是这段弧的圆心，C 是AB上一点，OC AB，垂足为 D，若 AB=300 m，CD=50 m，则这段弯路的半径是_m 2. 如图，O 是ABC 的外接圆，CD 是直径，若B=40 ，则ACD=_ 3. 如图， O 的直径 AB 与弦 CD 相
10、交于点 E， 若 AE=5， BE=1， CD=4 2， 则AED=_ 【参考答案】【参考答案】 1. 250 2. 50 3. 30 圆中的基本概念及定理圆中的基本概念及定理（习题）（习题） 巩固练习巩固练习 1. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径 OB 为 10，截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 为 6，则水面宽 AB 的长为（ ） A16 B10 C8 D6 B D C O A O B D C A E A C D B O E O D C BA 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，AB 是O 的弦，ODAB 于点 D，交O 于点 E，则下列说法不一定正确的是（ ） A
11、AD=BD BACB=AOE CAE =BE DOD=DE 3. 如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，ABCD，若BOC=70 ，则A 的度数为（ ） A70 B35 C30 D20 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，O 是ABC 的外接圆，BAC=60 ，若O 的半径 OC 为 2，则弦 BC 的长为（ ） A1 B3 C2 D2 3 5. 如图，若 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD=58 ，则BCD=（ ） A116 B32 C58 D64 6. 如 图 ， A B是 半 圆O的 直 径 ， C ， D是AB 上 的 两 点 ， 若 ADC=120 ，则BAC=_ 第
12、6 题图 第 7 题图 7. 如图，已知O 是ABC 的外接圆，且C=70 ，则OAB= _ 8. 如图，点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心，AOC=108 ，若点 D 在 AB 的延长线上，且 BD=BC， 则D=_ C AB O A O D B C O CB A O D C B A O D B C A O C BA y x O D C BA 第 8 题图 第 9 题图 9. 如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴的正半轴于点 C，D 为第一象限内O 上的一点，若DAB=20 ，则OCD=_ 10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB=16 m
13、，半径 OA=10 m，则中间柱 CD 的高度为_m 第 10 题图 第 11 题图 11. 如图， “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题： “今有圆材，埋在壁中，不 知大小， 以锯锯之， 深一寸， 锯道长一尺， 问径几何 ” 用几何语言可表述为： CD 为O 的直径， 弦 ABCD 于点 E，若 CE=1 寸，AB=10 寸，则直径 CD 的长为_ 12. 如图，若ABC 的顶点都在P 上，则点 P 的坐标是_ 第 12 题图 第 13 题图 13. 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图所示（网格中每个小正方形的边长均为 1）的一块碎片 到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜
14、面，则这个镜面的半径是_ 14. 如图，点 A，B，C，D 在O 上，点 O 在D 的内部，若四边形 OABC 为平行四边形，则 OAD+OCD=_ 第 14 题图 第 15 题图 15. 如图，PAC=30 ，在射线 AC 上顺次截取 AD=3 cm， DB=10 cm，以 DB 为直径作O，交射线 AP 于 E，F 两点，则线段 EF 的长是_cm O D C B A C D B O A D O E B C A y x O C B A O D C B A P F E CBOD A 思考小结思考小结 1. 圆中处理问题的思路圆中处理问题的思路 找圆心，连半径，转移边； 遇弦，作垂线，垂径定理
15、配合勾股定理建等式； 遇直径，找直角，由直角，找直径； 由弧找角，由角看弧 2. 中考数学中涉及“一半”的相关内容中考数学中涉及“一半”的相关内容 直角三角形斜边中线等于斜边的一半； 30所对的直角边等于斜边的一半； 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； 圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半 3. 阅读材料回答问题 如图， 在锐角ABC 中， BC=a， CA=b， AB=c， ABC 的外接圆半径为 R， 则2 s i ns i ns i n abc R ABC 证明：连接CO 并延长，交O 于点D，连接DB，则D=A CD 为直径， DBC=90 在 RtBDC 中，si
16、n 2 BCa D DCR sin 2 a A R ，即2 sin a R A 同理可证2 sinsin bc R BC 2 sinsinsin abc R ABC 阅读前面的命题及证明，完成下面的两个小题 前面的阅读材料中略去了 “2 sin b R B ” 和 “2 s i n c R C ” 的证明过程， 画出图形并证明2 sin b R B c b a O D CB A 直接用前面阅读材料中的结论解题 已知，在锐角ABC 中，32BCCA，A=60，求ABC 的外接圆半径 R 及C 的度数 【参考答案】【参考答案】 巩固练习巩固练习 1. A 2. D 3. B 4. D 5. B 6. 30 7. 20 8. 27 9. 65 10. 4 11. 26 寸 12. (-2，-1) 13. 5 14. 60 15. 6 思考小结思考小结 3. 证明略 175RC， A BC O a b c B A C
