1、高三数学模拟试题 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸 的指定位置上）的指定位置上） 1.已知集合3 , 2 , 1A,4 , 3 , 2B,则集合BA中元素的个数为_. 2.复数 i i z 1 1 ，则z_. 3.已知一组数据 4,6,5,8,6,7,那么该组数据的方差为_. 4.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为_. 5.xylg1的定义域为_. 6从长度分别为1 2 3 4、 、 、的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出
2、的 三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则 m n 等于_. 7若双曲线 2 2 2 10 x ym m 的一条渐近线方程为30xy，则m_. 8已知 n S是等差数列 n a的前n项和，若 123 4aaa， 6 10S ，则 3 a _. 9. 若关于x的不等式 2 10mxmx 的解集不是空集，则m的取值范围是_. 10. 已知等边三角形ABC的边长为8，D为BC边的中点，沿AD将ABC折成直二面角 B AD C，则三棱锥ADCB的外接球的表面积为_. 11. 若tan，tan是方程 2 670xx的两个根，则 _. 12.设 ba, 为正实数，则 ba b ba a 2 的最小值为_
3、. 13. 已知点A，B，C均位于同一单位圆O上，且 2 BA BCAB，若 3PB PC ，则 PAPBPC的取值范围为_ 14. 已知函数 ln ,1 1,1 2 x x f x x x ，若 1F xff xm有两个零点 12 ,x x，则 12 x x的取值 范围_. 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ） 15.(本题满分 14 分） 设函数 2 2coscos 2 3 f xxx （1）当0, 2 x 时，求 f x的值域； （2）已知ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 3 2 f
4、 BC， 2a，求ABC面积 的最大值. 16. (本题满分 14 分） 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PDBC，G为PA上一点 （1）求证：平面PCD平面ABCD； （2）若PC平面PCD，求证：G为PA的中点 17. (本题满分 14分） 如图，在宽为14 m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为 mr 的圆C的一段 劣弧路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10 m， 到灯柱所在直线的距离为2 m 设Q为灯罩轴线与路面的交 点，圆心C在线段PQ上 （1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上? （2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上， 求HQ的最大值
5、 18. (本题满分 16 分） 如图，椭圆 1 C： 22 22 1 xy ab （0ab）和圆 2 C： 222 xyb，已知圆 2 C将椭圆 1 C的长轴 三等分，椭圆 1 C右焦点到右准线的距离为 2 4 ，椭圆 1 C的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴 不重合的任意直线l与圆 2 C相交于点A、B （1）求椭圆 1 C的方程； （2）若直线EA、EB分别与椭圆 1 C相交于另一个交点为点 P、M. 求证：直线MP经过一定点； 试问： 是否存在以( ,0)m为圆心， 3 2 5 为半径的圆G， 使得直线PM和直线AB都与圆G相交？ 若存在，请求出实数m的范围；若不存在，请说明理由 1
6、9. (本题满分 16 分） 已知函数 32 1 1 3 f xxaxbx（a，bR）. （1）若0b，且 f x在0,内有且只有一个零点，求 a 的值； （2）若 2 0ab ，且 f x有三个不同零点，问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列？若 存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由； （3）若1a ，0b ，试讨论是否存在 0 11 0,1 22 x ，使得 0 1 2 f xf . 20. (本题满分 16 分） 设数列 n a（任意项都不为零）的前n项和为 n S，首项为1，对于任意n N，满足 1 2 nn n aa S . （1）数列 n a的通项公式； （2）是否存在
7、, ,k m nNkmn 使得, kmn a aa成等比数列，且 42 16, kmn a aa成等差数列？若存 在，试求kmn的值；若不存在，请说明理由； （3）设数列 b， 1 ,21, ,2 ,0 n n n a nkkN b qnk kNq ，若由 n b的前r项依次构成的数列是单调递 增数列，求正整数r的最大值. 高三数学模拟试题附加题 21A.已知矩阵 43 21 M ，向量 7 5 . （1）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量； （2）求 3 M. 21B已知曲线C的极坐标方程是 4cos.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半 轴，建立平面直角坐标系，直线l
8、的参数方程是: 2 2 2 2 xmt yt （t是参数）. 1若直线l与曲线C相交于A、B两点，且14AB ，试求实数m值. 2设,M x y为曲线C上任意一点，求x y 的取值范围. 21C已知 a2，xR.求证：|x1a|xa|3. 22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G， G在AD上，且 1 4,2 3 PGAGGD BGGC GBGC，E是BC的中点 （1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值； （2）若F点是棱PC上一点，且DFGC，求 PF FC 的值 23棋盘上标有第0、1、2、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏
9、， 若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时， 游戏结束.设棋子位于第n站的概率为 n P. （1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望； （2）证明： 11 1 198 2 nnnn PPPPn ； （3）求 99 P、 100 P的值. 参考答案 1.4； 2.1; 3.略 4.7; 5.10, 0； 6. 4 1 ；7. 3；8. 9 14 ； 9. 0m 或 4m ； 10.80；11. 4 k；12.222；13.7 , 5；14),(e. 15. 解： （1）因为 2 2coscos 2 3 f
10、 xxx 所以 ( )cos2cos 21 3 f xxx cos2cos2 cossin2 sin1 33 xxx 13 cos2sin21cos 21 223 xxx 即 cos 21 3 f xx ， 0, 2 x ， 4 2, 333 x ， 1 cos 21, 32 x 所以 ( )f x的值域为 3 0, 2 ； （2）由 3 ()cos 2()1 32 f BCBC ，得 1 cos 2 32 A ， 又(0, )A， 3 A ， 在ABC中，由余弦定理，得 222 2cos 3 abcbc ， 把2a，代入得： 22 42bcbcbcbcbc，当且仅当bc时取等号， ABC的面
11、积 133 sin43 2344 Sbcbc ， 则ABC面积的最大值为3 16. （1）底面ABCD为矩形， BCCD， 又PDBC， ,CD PDPCD平面，PDCDD， BC平面PCD， 又BCABCD 平面， 平面ABCD平面PCD； （2）连接AC，交BD于O，连接GO， /PC平面BDG， 平面PCA平面BDGGO， /PCGO， PGCO GAOA ， 底面ABCD为矩形， O是AC的中点，即COOA ， PGGA， G为PA的中点. 17. （1）以 O 为原点，以 OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A（0，8） ，P（2，10） ，Q （7，0） ， 直线 PQ
12、 的方程为 2x+y140设 C（a，b） ，则 222 222 (2)(10) (8) abr abr ， 两式相减得：a+b100，又 2a+b140，解得 a4，b6， 22 4(68)2 5r 当2 5r 时，点 Q 恰好在路面中线上 （2）由（1）知 a+b100， 当 a2 时，灯罩轴线所在直线方程为 x2，此时 HQ0 当 a2 时，灯罩轴线所在方程为：y10 2 a a （x2） ， 令 y0 可得 x12 20 a ，即 Q（12 20 a ，0） ， H 在线段 OQ 上，12 20 a a，解得 2a10 |HQ|12 20 a a12（ 20 a +a）122 2012
13、4 5， 当且仅当 20 a a 即 a2 5时取等号|HQ|的最大值为（124 5）m 【点睛】 本题考查了直线方程，直线与圆的位置关系，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题 18. ）依题意， 1 22 3 ba，则3ab， 22 2 2cabb ，又 22 2 4 ab c cc ，1b，则3a ， 椭圆方程为 2 2 1 9 x y （2）由题意知直线,PE ME的斜率存在且不为 0，设直线PE的斜率为k，则PE：1ykx， 由 2 2 1, 1, 9 ykx x y 得 2 2 2 18 , 91 91, 91 k x k k y k 或 0, 1, x y 2 22 1891
14、 (,) 91 91 kk P kk ， 用 1 k 去代k，得 2 22 189 (,) 99 kk M kk ， 方法 1： 22 2 22 22 919 1 919 1818 10 919 PM kk k kk k kk k kk ， PM： 22 22 9118 () 9109 kkk yx kkk ，即 2 14 105 k yx k ， 直线PM经过定点 4 (0,) 5 T 方法 2： 作直线l关于y轴的对称直线 l，此时得到的点P、M关于y轴对称， 则PM与P M相 交于y轴，可知定点在y轴上， 当1k 时， 9 4 ( ,) 5 5 P， 9 4 (,) 5 5 M ，此时直
15、线PM经过y轴上的点 4 (0, ) 5 T， 2 2 2 2 914 1 915 , 18 10 91 PT k k k k k k k 2 2 2 2 94 1 95 , 18 10 9 MT k k k k k k k PTMT kk，P、M、T三点共线，即直线PM经过点T， 综上所述，直线PM经过定点 4 (0,) 5 T 由 22 1, 1, ykx xy 得 2 2 2 2 , 1 1, 1 k x k k y k 或 0, 1, x y 2 22 21 (,) 11 kk A kk ， 则直线AB： 2 1 2 k yx k ， 设 2 1 10 k t k ，则tR，直线PM：
16、 4 5 ytx，直线AB：5ytx， 假设存在圆心为( ,0)m，半径为 3 2 5 的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交， 则 2 2 53 2,( ) 5 125 4 35 2,( ) 5 1 tm i t mt ii t 由（i）得 22 1818 25 () 2525 tm 对tR恒成立，则 2 18 25 m ， 由（ii）得， 22 1882 ()0 25525 mtmt对tR恒成立， 当 2 18 25 m 时，不合题意；当 2 18 25 m 时， 22 8182 ()4()()0 52525 mm ，得 2 2 25 m ，即 22 55 m， 存在圆心为( ,0)m
17、，半径为 3 2 5 的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取 值集合为 22 (,) 55 解法二：圆 22 18 :() 25 Gxmy，由上知PM过定点 4 (0,) 5 ，故 22 418 ( ) 525 m ；又直线AB过 原点，故 22 18 :0 25 G m ，从而得 22 (,) 55 m 考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程 19. （1）若0b，则 32 1 1 3 f xxax， 2 2fxxax， 若0a，则在0,，则 0fx ，则 f x在0,上单调递增， 又 010f ，故 f x在0,上无零点，舍； 若0a ，令 2 20fxxax，
18、得 0fx， 1 0x ， 2 2xa ， 在0, 2a上， 0fx ， f x在上单调递减， 在0, 2a上， 0fx ， f x在上单调递增， 故 333 84 2411 33 fxfaaaa 极小值 ， 若 3 4 10 3 a ，则20fa， f x在0,上无零点，舍； 若 3 4 10 3 a ，则20fa， f x在0,上恰有一零点，此时 1 3 3 4 a ； 若 3 4 10 3 a ，则20fa， 010f ， 2 3310faaaa ， 则 f x在0, 2a和2 , 3aa上有各有一个零点，舍； 故 a 的值为 1 3 3 4 . （2）因为 2 0ab ，则 322 1
19、 1 3 f xxaxa x，若 f x有三个不同零点，且成等差数列， 可设 322232 11 33 33 f xxmdxmxmdxmxmdxmmd， 故ma，则0fa，故 333 1 10 3 aaa ， 3 5 1 3 a ， 3 3 5 a . 此时， 3 3 5 m ， 2 6da ，故存在三个不同的零点. 故符合题意的 a 的值为 1 3 3 5 . （3）若1a ，0b ， 32 1 1 3 f xxxbx， 32 32 0000 111 111 11 233 222 f xfxxbxb 32 322 000000 111111 4147 12 3222122 xxb xxxxb
20、 若存在 0 11 0,1 22 x ，使得 0 1 2 f xf ， 必须 2 00 4147 120xxb在 11 0,1 22 上有解. 0b ， 2 1416 7 124 21 480bb 方程的两根为： 142 21 48721 48 84 bb ， 0 0x Q， 0 x 只能是 721 48 4 b ， 依题意 721 48 01 4 b ，即721 4811b，4921 48121b 即 257 1212 b ， 又由 721 481 42 b ，得 5 4 b ，故欲使满足题意的 0 x存在，则 5 4 b ， 当 25557 , 124412 b 时，存在唯一的 0 11
21、0,1 22 x 满足 0 1 2 f xf ， 当 2575 ,0 12124 b 时，不存在 0 11 0,1 22 x 使 0 1 2 f xf . 【点睛】 本题考查了函数的零点问题，解方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20. （1）数列 n a是非零数列，0 n a. 当1n 时， 12 11 2 a a aS， 2 2a； 当2n且n N时， 11 1 22 nnnn nnn a aaa aSS ， 11 2 nn aa ， 21n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 2n a是首项为2，公差为2的等差数列， 211 2121 n aann ， 22 212 n aa
22、nn， n an nN . （2）设存在, ,k m nNkmn ，满足题意， , kmn a aa成等比数列， 2 mkn； 42 16, kmn a aa成等差数列， 42 216mkn， 消去m可得： 222 216k nkn， 2 2 16 21 k n k ， kmn，3n ， 2 16 8 21 k k ，解得： 13 0 2 k ， kN Q，1k ，4n ，2m，7kmn . （3）若 n b是单调递增数列，则n为偶数时， 1 11 n nqn 恒成立， 两边取自然对数化简可得： ln1ln1 ln 11 nn q nn ，显然1q ， 设 ln x fx x ，则 2 1 l
23、n x fx x ， 当0,xe 时， 0fx ；当,xe时， 0fx ， f x在0,e上单调递增，在, e 上单调递减， f x在x e处取得极大值， 当 4n 时， ln1 1 n n 是递减数列，又 ln1ln3 13 ， ln3 3 是 ln1 1 n n 的最大值， ln3 ln 3 q； 设 ln2 1 x g xx x ，则 22 2 ln21ln2 22 0 x xx xx gx xx ， ln1 1 n n 是递减数列，当6n时， ln7ln3 53 ，当8n 时， ln9ln3 73 ， 当2 6n时，存在 1 3 3q ，使得 1 11 n nqn 恒成立； 当8n 时
24、， 1 1 n qn 不成立， 至多前8项是递增数列，即正整数r的最大值是8. 【点睛】 本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比 数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够 将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难题. 21A.（1）矩阵M的特征多项式为 ( )(1)(2)f ， 令( )0f，可求得特征值为 1 1， 2 2， 设 1 1对应的一个特征向量为 x y ， 则由 1 M ，得 330xy ，可令1x ，则1y ， 所以矩阵M的一个特征值 1 1
25、对应的一个特征向量为 1 1 ， 同理可得矩阵M的一个特征值 2 2对应的一个特征向量为 3 2 （2） 713 2 512 所以 33 1349 22 1233 M 【点睛】 本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平 21B 解： 1曲线C的极坐标方程是 4cos 化为直角坐标方程为： 22 40xyx， 直线l的 直角坐标方程为：y xm . 圆心到直线l的距离（弦心距） 2 2 142 2 22 d , 圆心2,0到直线y xm 的距离为 ： 202 22 m , 21m 1m或3m. 2曲线C的方程可化为 2 2 24xy，其参数方程为
26、： 22cos 2sin x y （为参数） ,M x y为曲线C上任意一点， 22sin2 4 xy xy 的取值范围是22 2,22 2 . 【点睛】 本题考查参数方程与极坐标的应用，属于中档题. 22试题解析： （1）以G点为原点，、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系，则(2,0,0)B， (0,2,0), (0,0,4)CP ，故 1,1,0 ,1,1,0 ,(0,2, 4),EGEPC ， GE与PC所成角的余弦值为 10 10 （2）解：设(0, , )Fy z，则， ， 即 33 ( , ) (0,2,0)230 22 yzy， 3 2 y ， 又，即 3 (0,4)(0
27、,2, 4) 2 z， 1z ，故 3 (0,1) 2 F， ， 3 5 2 3 5 2 PF FC 考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用. 23.（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6. 3 11 3 28 P X ， 3 1 3 13 4 28 P XC ， 3 2 3 13 5 28 P XC ， 3 11 6 28 P X . 所以，随机变量X的分布列如下表所示： X 3 4 5 6 P 1 8 3 8 3 8 1 8 所以，随机变量X的数学期望为 13319 3456 88882 EX ； （2）根据题意，棋子要到第1n站，由两种情况，由第n站跳1站得到，
28、其概率为 1 2 n P ，也可 以由第1n站跳2站得到，其概率为 1 1 2 n P ，所以， 11 11 22 nnn PPP . 等式两边同时减去 n P得 111 111 198 222 nnnnnn PPPPPPn ； （3）由（2）可得 0 1P ， 1 1 2 P ， 210 113 224 PPP. 由（2）可知，数列 1nn PP 是首项为 21 1 4 PP，公比为 1 2 的等比数列， 11 1 111 422 nn nn PP ， 2399 99121329998 1111 2222 PPPPPPPP LL 98 100 11 1 42 121 1 1232 1 2 ， 又 99 9998 99 11 = 22 PP ，则 98 99 21 1 32 P ， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有 10098 99 111 1 232 PP . 【点睛】 本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通 项，综合性较强，属于难题.
