1、高三数学（文科）参考答案 第 1页（共 5 页）2023 年河南省五市高三第二次联考数学（文科）参考答案年河南省五市高三第二次联考数学（文科）参考答案一、选择题：1-6A D B D C B7-12B B D C D B二、填空题：13141015 2160,1三、解答题17.解：（1）因为当1n 时，11,a 当2n 时，有11341,nnSa又341,nnSa两式相减得1344,nnnaaa则有14,nnaa4 分所以数列na是以 1 为首项、4 为公比的等比数列.所以数列 na的通项为14.nna5 分（2）由（1）知数列 na的前n项和41,3nnS111441(2)3(1)(42)(
2、42)3 42nnnnnnnnabaS1)42n8 分所以1201121411111()()(342424242424 114().3 3429nnnnTbbb1)42n所以数列 nb的前n项和4.9nT 12 分18.解（1）由题意得160 170 175 185+190170 174 175 180+186176,=17755xy，2 分515222151560455 176 177156045 1557602850.51554505 176155450 1548805705iiiiix yxybxx ，1770.5 17689aybx，所以回归直线方程为0.589yx，4 分令0.589
3、0 xx得178x，即178x 时，儿子比父亲高；令0.5890 xx得178x，即178x 时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.6 分（2）由0.589yx可得12345=0.5 160+89169,174,176.5,181.5,184yyyyy，9高三数学（文科）参考答案 第 2页（共 5 页）所以51885iiy，又51885iiy，所以55551111=0iiiiiiiiieyyyy，9 分结论：对任意具有线性相关关系的变量10niie，证明：111nnniiiiiiiieyyybxa11()0nniiii
4、ybxnanynbxn ybx.12 分（注：18 题第（2）问若只有最后的证明，同样给满分.）19.（1）如图，连接 AC，PAPB，APCBPC，PCPC，PACPBC，90PCAPCB，即PCACPCBC，ACBCC，PC 平面 ABCD，又AD 平面 ABCD，PCAD5 分（2）取 AB 的中点 E，连接 PE，CEPAPB，PEAB，由（1）知ACBC，CEAB，PECEE，AB 平面 PCE，又AB 平面 PAB，平面PAB 平面 PCE8 分过 C 作CHPE于 H，则CH 平面 PAB，由条件知62CH 易知PCCE，设CEm，则23PEm，由1122PC CEPE CH，即
5、26332mm，得3m，3CE 10 分PDAD，ADPC，PCPDP，AD 平面 PCD，ADCD，又ABCD，ADAB，四边形 AECD 为矩形，3ADCE12 分20.解:（1）由题可知，1exfxa当0a 时，0fx恒成立，f x单调递增，00 x，且01xae，使0)1()(10100aeaeaxexfx，所以0a 时不符合题意；当0a 时，0)(1xexf，显然成立；2 分当0a 时，令 0fx，解得1 lnxa，易知,1lnxa 时，f x单调递减；1ln,xa时，f x单调递增高三数学（文科）参考答案 第 3页（共 5 页）若 0f x 恒成立，则1ln1lnln0faaaaa
6、a ，解之得10a 综上可得a的取值范围为1,05 分（2）由题可知0 x，令 elnsin1xg mmxxx，可看成关于m的一次函数，且单调递增当1m时，1g mg，所以若证原不等式成立，即证elnsin10 xxxx，8 分因为lneexxxx，lnelnsin1eln1sinxxxxxxxxxx ，由（1）知1e0 xx，把 x 换成ln1xx易得lneln10 xxxx，10 分不妨设 sinh xxx，1 cos0h xx，所以 h（x）单调递增，又 x0，故 h（x）h（0）=0，所以lneln1sin0 xxxxxx，即原不等式得证12 分（注：20 题第（2）问亦可由1xex放
7、缩并结合正弦函数有界性证明.）21解：（1）抛物线 C：x24y 的焦点为 F（0，1）c1由对称性可知 P、Q 两点关于 y 轴对称，可设),362(0yP代入 C1得320yP 在椭圆上，设椭圆下焦点为F(0,-1)则42FPPFa解得22,3ab椭圆的方程为22143yx.4 分（2）设00(,)M xy，则2222000031,3.434yxyx联立2224143xyyx，化为2316120yy，2,2y，解得23y，02 2,)3y ，设11(,)A x y，22(,)B xy，对24xy求导，可得12yx，切线,MA MB的方程分别为：2212112211(),()4242xxyx
8、 xxyxxx，6 分高三数学（文科）参考答案 第 4页（共 5 页）又00(,)M xy满足上述直线方程,即22120101020211(),()4242xxyx xxyxxx，可得12,x x为方程200240tx ty的两个不等实数根.1202xxx，1204x xy，22212121021214442ABxxyyxxxkkxxxx，直线AB的方程为：21211()44xxxyxx，化为211244xxx xyx，代入可得002xyxy，化为00220 x xyy，8 分点M到直线AB的距离20020|4|,4xydx22220121200|(1)()4(1)(416)4xABkxxx
9、xxy，MAB的面积32222000000111|4|4(4)222Sd ABxyxyxy，10 分2220000033825434()4433yxyyy 又02 2,)3y ，当02y 时，MAB的面积取得最大值且最大值为8 2.12 分22.（1）曲线C的参数方程为1cos1sinxy （为参数），消去参数可得：22(1)(1)1xy，曲线C的普通方程为22(1)(1)1xy，2 分又直线l的极坐标方程为sin3 cos10，且sin,cosyx，直线l的直角坐标方程为310,yx 综上所述：曲线C的普通方程为222210 xyxy；高三数学（文科）参考答案 第 5页（共 5 页）直线l的
10、直角坐标方程为310 xy.5 分（2）由（1）可知：直线l的直角坐标方程为310 xy，即直线过点(0,1)P，斜率为3，倾斜角为3，则可设直线l的参数方程为12312xtyt （t为参数），将12312xtyt 代入22(1)(1)1xy整理得：22 3140tt，设点,M N对应的参数分别为12,t t，判别式0恒成立，可得：12122 310,40ttt t，即120,0tt，12122 31PMPNtttt10 分23.（1）因为为正数，且3abc.据柯西不等式2222222()(111)(111)9abcabc ，所以2223abc，当且仅当1abc时，等号成立5 分（2）据柯西不等式21111119abcabcabcabc，所以1113abc，当且仅当1abc时，等号成立所以3m故m的最大值为310 分（注：23 题亦可利用基本不等式证明.）,a b c
